5.4 Kryssproduktet

Vektoren som peker ut av planet

En romsonde nærmer seg en asteroide og skal lande på en skrå flate. Sondens datamaskin kjenner to retninger som ligger i flaten — men det den virkelig trenger, er retningen som peker rett ut av den: normalretningen, slik at landingsmotorene kan bremse vinkelrett mot bakken. Hvordan finner man en vektor som står vinkelrett på to gitte vektorer samtidig?

Svaret er vektorregningens andre multiplikasjon: kryssproduktet, også kalt vektorproduktet. Der skalarproduktet ga oss et tall, gir kryssproduktet $\vec{a} \times \vec{b}$ en helt ny vektor — og denne vektoren har nøyaktig egenskapen sonden trenger: den står vinkelrett på både $\vec{a}$ og $\vec{b}$. Dermed er kryssproduktet selve verktøyet for å finne normalvektorer til plan, og det kommer til å bære store deler av romgeometrien i kapitlene som følger.

Kryssproduktet har også en annen overraskelse på lager: lengden $|\vec{a} \times \vec{b}|$ er lik arealet av parallellogrammet vektorene spenner ut — geometri og algebra i samme pakke. Men produktet har særegenheter du må respektere: det er bare definert i tre dimensjoner, og det bryr seg om rekkefølgen — $\vec{a} \times \vec{b}$ og $\vec{b} \times \vec{a}$ peker motsatt vei.

I denne fortellingen lærer vi regneoppskriften med den sykliske huskeregelen, utforsker geometrien — ortogonalitet, høyrehåndsregelen og areal — og bruker til slutt kryssproduktet til nøyaktig det sonden trengte: å finne normalvektoren til et plan gjennom tre punkter.

Regneoppskriften

Her er definisjonen. For $\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]$ og $\vec{b} = [b_1, b_2, b_3]$ er

$$\vec{a} \times \vec{b} = [a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1]$$

Formelen ser kryptisk ut, men det bor et mønster i den. Tenk syklisk på indeksene, $1 \to 2 \to 3 \to 1 \to \ldots$: i første komponent hopper du over indeks 1 og bruker 2 og 3; i andre komponent hopper du over 2 og bruker 3 og 1; i tredje hopper du over 3 og bruker 1 og 2. Hver komponent er et lite «kryss»: gang på skrå og trekk fra.

Mange foretrekker huskeregelen med determinant:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

der $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ er enhetsvektorene langs aksene — utvikler du determinanten langs første rad, faller komponentformelen ut.

La oss regne et eksempel grundig: $\vec{a} = [2, 3, 1]$ og $\vec{b} = [1, -1, 2]$. Første komponent: $a_2b_3 - a_3b_2 = 3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 7$. Andre komponent: $a_3b_1 - a_1b_3 = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = -3$. Tredje komponent: $a_1b_2 - a_2b_1 = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -5$. Altså

$$\vec{a} \times \vec{b} = [7, -3, -5]$$

Én ting til, og den er viktig: kryssproduktet er kun definert i tre dimensjoner. Det finnes ingen tilsvarende konstruksjon i planet — dette er romgeometriens helt eget verktøy.

Geometrien: vinkelrett, høyrehånd og areal

Nå til egenskapen som gjør kryssproduktet uunnværlig: vektoren $\vec{a} \times \vec{b}$ står vinkelrett på begge faktorene. Det kan vi kontrollere med skalarproduktet fra forrige kapittel. Med $\vec{a} = [2, 3, 1]$, $\vec{b} = [1, -1, 2]$ og $\vec{a} \times \vec{b} = [7, -3, -5]$: prikker vi med $\vec{a}$, får vi $14 - 9 - 5 = 0$; prikker vi med $\vec{b}$, får vi $7 + 3 - 10 = 0$. Begge null — kryssproduktet står ortogonalt på både $\vec{a}$ og $\vec{b}$, alltid.

Men vinkelrett på et plan kan man stå på to måter: opp eller ned. Hvilken vei peker $\vec{a} \times \vec{b}$? Det avgjør høyrehåndsregelen: pek fingrene på høyre hånd langs $\vec{a}$, krøll dem mot $\vec{b}$ — tommelen peker langs $\vec{a} \times \vec{b}$. Et alternativt bilde er en skrue: skrur du fra $\vec{a}$ mot $\vec{b}$, beveger skruen seg i kryssproduktets retning.

Lengden av kryssproduktet bærer sin egen geometri:

$$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\theta$$

der $\theta$ er vinkelen mellom vektorene. Kjenner du igjen strukturen? Grunnlinje ganger høyde: $|\vec{a} \times \vec{b}|$ er nøyaktig arealet av parallellogrammet som $\vec{a}$ og $\vec{b}$ spenner ut. Legg merke til arbeidsdelingen mellom de to produktene: skalarproduktet bruker $\cos\theta$ og måler hvor like retningene er; kryssproduktet bruker $\sin\theta$ og måler hvor mye de spriker. Parallelle vektorer gir $\sin\theta = 0$ og dermed kryssprodukt $\vec{0}$ — et flatklemt parallellogram har ikke noe areal.

Regneregler, enhetsvektorer — og sondens normalvektor

Kryssproduktet følger sine egne lover, og den viktigste skiller det fra all multiplikasjon du er vant til: det er antikommutativt,

$$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$$

Bytter du rekkefølgen, snur vektoren. Du kan sjekke selv med $\vec{a} = [1, 0, 2]$ og $\vec{b} = [0, 1, 1]$: utregning gir $\vec{a} \times \vec{b} = [-2, -1, 1]$ og $\vec{b} \times \vec{a} = [2, 1, -1]$ — nøyaktig motsatte. Ellers gjelder distributivitet, $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$, skalarer flyttes fritt, og to regler følger av parallellitet: $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ og $\vec{a} \times \vec{0} = \vec{0}$.

Enhetsvektorene danner et vakkert lite system: $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$, $\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$ og $\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$ — syklisk rekkefølge $i \to j \to k \to i$ gir pluss, motsatt rekkefølge gir minus, som i $\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}$.

Og så, endelig, sondens problem. Tre punkter på asteroideflaten er målt opp: $A = (1, 0, 2)$, $B = (3, 1, 1)$ og $C = (2, 2, 3)$. Hva er normalretningen? Først to vektorer som ligger i flaten: $\overrightarrow{AB} = [2, 1, -1]$ og $\overrightarrow{AC} = [1, 2, 1]$. Så krysser vi dem: første komponent $1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2 = 3$, andre $(-1) \cdot 1 - 2 \cdot 1 = -3$, tredje $2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3$. Normalvektoren er

$$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [3, -3, 3]$$

som vi gjerne forenkler til $[1, -1, 1]$ — lengden spiller ingen rolle for en normalretning, bare retningen. Sonden vet nå nøyaktig hvilken vei som er «rett opp» fra landingsflaten, og du har verktøyet som i neste kapitler skal gi oss planlikninger, arealer og volumer.

Oppsummering

Romsonden trengte retningen rett ut av landingsflaten, og kryssproduktet leverte. Definisjonen var $\vec{a} \times \vec{b} = [a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1]$ — husket syklisk («hopp over indeksen du regner ut») eller via determinanten med $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ i toppraden. Resultatet er en ny vektor, og konstruksjonen finnes bare i tre dimensjoner.

Geometrien ga produktet dets mening: $\vec{a} \times \vec{b}$ står vinkelrett på begge faktorene — verifiserbart ved at skalarproduktene blir null — og av de to mulige normalretningene velger høyrehåndsregelen den tommelen peker langs. Lengden $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ er arealet av parallellogrammet vektorene spenner ut; der skalarproduktet med sin cosinus måler samklang mellom retninger, måler kryssproduktet med sin sinus hvor mye de spriker.

Regnereglene hadde én stor overraskelse: antikommutativiteten $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ — rekkefølgen bestemmer fortegnet. Videre er $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$, distributiviteten holder, og enhetsvektorene danser syklisk: $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$, $\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$, $\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$.

Og hovedanvendelsen: normalvektoren til et plan gjennom tre punkter er kryssproduktet av to vektorer i planet, $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$. Det grepet blir nøkkelen til planlikninger, arealer, volumer og avstander i kapitlene som kommer — sonden har landet, men kryssproduktet har bare så vidt begynt å jobbe.