4.9 Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Hvor fort svinger bølgen?

En pendel svinger fram og tilbake i et urverk. Du vet nøyaktig hvor den er til enhver tid — posisjonen følger en cosinuskurve — men hvor fort beveger den seg? Og når akselererer den mest? Spørsmål om fart og endring er derivasjonens domene, og skal vi analysere alt som svinger — bølger, toner, pendler, strøm — må vi kunne derivere de trigonometriske funksjonene.

Det er målet for denne fortellingen. Vi skal utlede de tre grunnreglene: at $(\sin x)' = \cos x$, at $(\cos x)' = -\sin x$, og at $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Underveis avslører vi hvorfor sinus og cosinus danser så elegant rundt hverandre under derivasjon, og hvorfor det lille minustegnet i cosinusregelen er så lett å glemme — og så viktig å huske. Deretter kobler vi på kjerneregelen, slik at også sammensatte funksjoner som $\sin(2x)$, $\cos(x^2)$ og $e^{\sin x}$ lar seg derivere. Til slutt bruker vi alt sammen til funksjonsdrøfting — ekstremalpunkter, vendepunkter og tangenter — og vender tilbake til pendelen for å finne farten og akselerasjonen dens.

Én ting må på plass før vi starter: i hele dette kapitlet måles vinkler i radianer. Derivasjonsreglene gjelder bare da — det er selve grunnen til at radianer ble innført. Med grader ville hver eneste formel fått en stygg omregningsfaktor på slep.

De tre grunnreglene — og hvorfor de stemmer

Alt hviler på to grenseverdier som kan leses ut av enhetssirkelen: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ og $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$. Den første sier at for små vinkler i radianer er $\sin x \approx x$ — buen og høyden blir like — og det er nettopp her radianene gjør jobben sin. I grader ville grensen blitt et annet tall, og alle reglene nedenfor ville fått faktorer hengende ved seg.

Med grenseverdiene i hånden deriverer vi $\sin x$ fra definisjonen. Differansekvotienten er $\displaystyle \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$, og addisjonsformelen $\sin(x+h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h$ lar oss sortere: $\displaystyle \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}$. Når $h \to 0$ går første brøk mot $0$ og andre mot $1$, og igjen står

$$(\sin x)' = \cos x$$

Samme manøver med addisjonsformelen for cosinus gir $(\cos x)' = -\sin x$ — med minus. En vanlig feil er å glemme minustegnet; husk: sinus gir pluss cosinus, cosinus gir minus sinus. For tangens bruker vi brøkregelen på $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$: telleren blir $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, så

$$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$$

Reglene kombineres fritt med dem du kan fra før. Lineære kombinasjoner: $(3\sin x)' = 3\cos x$ og $(-2\cos x + 5)' = 2\sin x$. Produktregelen: $(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$. Brøkregelen: $\displaystyle \left(\frac{\sin x}{x}\right)' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$. Maskineriet er det samme som alltid — bare med tre nye byggeklosser.

Kjerneregelen — derivasjon i flere lag

Virkelighetens svingninger kommer sjelden som naken $\sin x$. En pendel følger kanskje $\cos(2t)$, en modulert lydbølge $\sin(x^2)$, en dempning $e^{\sin x}$. Felles for alle: en funksjon inni en annen. Da trenger vi kjerneregelen — deriver det ytterste laget, behold kjernen urørt, og gang med kjernens deriverte. For trigonometriske funksjoner med kjerne $u = u(x)$:

$$(\sin u)' = \cos u \cdot u', \qquad (\cos u)' = -\sin u \cdot u', \qquad (\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$$

De enkleste tilfellene har lineær kjerne: $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$, $(\cos 3x)' = -3\sin 3x$ og $\displaystyle (\tan 5x)' = \frac{5}{\cos^2 5x}$ — konstanten hopper ut foran. Med rikere kjerner skjer det mer: $(\sin(x^2))' = 2x\cos(x^2)$, og $(\cos(2x + 3))' = -2\sin(2x + 3)$.

Noen ganger er trigonometrien selv kjernen. I $\sin^2 x = (\sin x)^2$ er det ytterste laget kvadratet: $(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot \cos x$, som dobbeltvinkelformelen gjenkjenner som $\sin 2x$. I $\sin(\cos x)$ ligger cosinus innerst: den deriverte blir $\cos(\cos x) \cdot (-\sin x)$. Og kjerneregelen samarbeider gladelig med de andre reglene: produktregelen gir $(e^x\sin x)' = e^x(\sin x + \cos x)$, eksponentialregelen gir $(e^{\sin x})' = \cos x \cdot e^{\sin x}$, og logaritmen gir $\displaystyle (\ln(\sin x))' = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ for $x \in (0, \pi)$.

Selv tre lag går fint, bare du skreller dem utenfra og inn: $f(x) = \sin^3(2x)$ har lagene $u^3$, $\sin v$ og $2x$, og derivasjonen gir $3\sin^2(2x) \cdot 2\cos(2x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$. Tenk løk: ett lag om gangen.

Drøfting: topper, bunner og vendepunkter

Med derivasjonsreglene på plass kan vi drøfte trigonometriske funksjoner akkurat som alle andre: finn definisjonsmengden, løs $f'(x) = 0$ for stasjonære punkter, klassifiser dem med $f''$ eller fortegnsskjema, og finn vendepunkter der $f''$ skifter fortegn. Det eneste nye er at likningene blir trigonometriske — og dem behersker du nå. Et godt råd: begrens deg gjerne til én periode først; resten følger av periodisiteten.

Ta $f(x) = \sin x + \cos x$ på $[0, 2\pi]$. Den deriverte er $f'(x) = \cos x - \sin x$, og $f'(x) = 0$ gir $\tan x = 1$, altså $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$. Andrederiverten $f''(x) = -\sin x - \cos x$ feller dommen: $\displaystyle f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} < 0$ gir maksimum med verdi $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$, mens $\displaystyle f''\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sqrt{2} > 0$ gir minimum med verdi $-\sqrt{2}$. (Kjenner du igjen $\sqrt{2}$? Det er nettopp $R$ fra omskrivingen $\displaystyle \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ — to kapitler møtes.)

Vendepunkter finner vi i $f''$ sitt fortegnsskifte. For $f(x) = \sin x$ er $f''(x) = -\sin x$, som er null i $x = n\pi$ og skifter fortegn der: vendepunkt i $(\pi, 0)$ innenfor $[0, 2\pi]$ (randpunktene regnes ikke med). For $f(x) = x + \sin x$ er $f''(x) = -\sin x$ negativ på $(0, \pi)$ og positiv på $(\pi, 2\pi)$ — grafen er konkav først, så konveks, med vendepunkt i $(\pi, \pi)$.

Tangenter følger den vanlige oppskriften $y = f(a) + f'(a)(x - a)$. For $f(x) = \cos 2x$ i $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$: punktet er $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right)$, stigningen er $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2\sin\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$, og tangenten blir $\displaystyle y = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{1}{2}$.

Pendelen — harmonisk bevegelse

Tilbake til urverket. Pendelens posisjon er $s(t) = 3\cos(2t)$ cm, der $t$ er tid i sekunder. Nå kan vi endelig svare på spørsmålene fra innledningen.

Farten er den deriverte av posisjonen. Kjerneregelen gir $v(t) = s'(t) = 3 \cdot (-\sin 2t) \cdot 2 = -6\sin(2t)$ cm/s. Akselerasjonen er den deriverte av farten: $a(t) = v'(t) = -12\cos(2t)$ cm/s².

Og her åpenbarer det seg noe vakkert. Sammenlign akselerasjonen med posisjonen: $a(t) = -12\cos(2t) = -4 \cdot 3\cos(2t) = -4s(t)$. Akselerasjonen er proporsjonal med utslaget, med motsatt fortegn — jo lenger ut pendelen er, desto hardere trekkes den tilbake mot midten. Dette kjennetegnet, $a = -k \cdot s$, definerer det fysikerne kaller harmonisk bevegelse, og det er ingen tilfeldighet at sinus og cosinus beskriver den: de er nettopp funksjonene som reproduserer seg selv med minusfortegn etter to derivasjoner.

Når står pendelen stille? Farten er null når $\sin(2t) = 0$, altså $2t = n\pi$, som gir $\displaystyle t = \frac{n\pi}{2}$: ved $\displaystyle t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \ldots$ sekunder. Setter du inn, ser du at pendelen da er i ytterstillingene $s = \pm 3$ cm. Og motsatt: farten er størst, $|v| = 6$ cm/s, når $|\sin(2t)| = 1$ — det er idet pendelen suser gjennom likevektspunktet $s = 0$. Stille ytterst, raskest i midten: derivasjonen har gjort pendelens hemmeligheter synlige, og samme analyse gjelder for enhver svingning du måtte møte — fra gitarstrenger til vekselstrøm.

Oppsummering

Vi startet med en pendel og et spørsmål om fart, og endte med full kontroll over derivasjon av alt som svinger. Grunnmuren var grenseverdien $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ — gyldig bare i radianer, og selve grunnen til at radianer er derivasjonens vinkelmål. Fra den og addisjonsformlene fulgte de tre reglene: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$ (glem aldri minustegnet!) og $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$.

Kjerneregelen utvidet repertoaret til sammensatte funksjoner: $(\sin u)' = u'\cos u$ og $(\cos u)' = -u'\sin u$, slik at $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$, $(\cos(x^2))' = -2x\sin(x^2)$ og $(\sin^2 x)' = 2\sin x\cos x = \sin 2x$. Sammen med produkt-, brøk- og eksponentialreglene deriverte vi alt fra $e^x\sin x$ til trelagsfunksjonen $\sin^3(2x)$ — alltid lag for lag, utenfra og inn.

Drøftingen fulgte kjent oppskrift med trigonometriske likninger som nytt krydder: $f(x) = \sin x + \cos x$ fikk maksimum $\sqrt{2}$ i $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og minimum $-\sqrt{2}$ i $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$, sinuskurven fikk vendepunkt i $(\pi, 0)$, og tangenter fulgte $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ som før.

Til slutt ga pendelen oss fysikkens lønn for strevet: posisjon $s(t) = 3\cos(2t)$ ga fart $v(t) = -6\sin(2t)$ og akselerasjon $a(t) = -4s(t)$ — harmonisk bevegelse, der svingningen er som raskest gjennom likevektspunktet og står stille ytterst. Sinus og cosinus deriverer seg i ring, og nettopp derfor er de naturens valg for alt som svinger.