8.2 Gjennomføring, analyse og presentasjon

Rad 4 — «ca 4 timer». Verdien finst, men er i feil format. $4$ timar er $4 \cdot 60 = 240$ minutt. Vi gjer han om og noterer det. Alternativet — å kaste rada — ville fjerna informasjon vi faktisk har.

Rad 6 — tomt. Eleven svarte ikkje. Her finst ingen verdi å tolke, og rada blir teken ut. Ho tel som fråfall, ikkje som redusert datakvalitet, og skal med i svarprosenten.

Rad 7 — $1\,440$. Eit døgn har $24 \cdot 60 = 1\,440$ minutt. Verdien er altså heile døgnet, søvnen inkludert, og er umogleg som skjermtid. Vi tek han ut, og noterer at vi mistenkjer at eleven las av feil tal i loggen.

Rad 8 — $330$. Dette er den høgaste ekte verdien i materialet, men $5{,}5$ timar på telefonen er fullt mogleg. Vi beheld han. (Vi kontrollerer seinare om han er ein uteliggjar etter regelen i kapittel 1.5 — det er han ikkje.)

Dataloggen:

Gjennomsnittet er summen delt på talet på målingar:

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$$

Summen av alle dei $36$ verdiane er $7\,890$, så

$$\bar{x} = \frac{7\,890}{36} = 219{,}1\overline{6} \approx 219{,}2 \text{ minutt}$$

Det er $3$ timar og $39$ minutt.

For spreiinga brukar vi utvalsstandardavviket $s$, altså det som deler på $n - 1$. Grunnen står i kapittel 5.7: dei $36$ elevane er eit utval som skal seie noko om alle $184$, og då undervurderer $n$-versjonen spreiinga i populasjonen.

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2}$$

I rekneark: =STDAV.S(B2:B37). Det gir

$$s \approx 55{,}4 \text{ minutt}$$

(Blir ikkje ført: heile summen $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 107\,325$ blir rekna av reknearket.)

b) Femtalsamandraget (kapittel 1.5). Med $n = 36$ er medianen snittet av den $18.$ og den $19.$ verdien:

$$\text{median} = \frac{225 + 230}{2} = 227{,}5$$

Nedre kvartil er medianen i dei $18$ lågaste, altså snittet av den $9.$ og $10.$:

$$Q_1 = \frac{175 + 180}{2} = 177{,}5$$

Øvre kvartil er medianen i dei $18$ høgaste, altså snittet av den $27.$ og $28.$:

$$Q_3 = \frac{255 + 255}{2} = 255$$

Femtalsamandraget er $125$ — $177{,}5$ — $227{,}5$ — $255$ — $330$.

Uteliggjargrensene frå kapittel 1.5:

$$Q_3 - Q_1 = 255 - 177{,}5 = 77{,}5$$

$$Q_3 + 1{,}5 \cdot 77{,}5 = 255 + 116{,}25 = 371{,}25$$

$$Q_1 - 1{,}5 \cdot 77{,}5 = 177{,}5 - 116{,}25 = 61{,}25$$

Største verdi er $330$, minste er $125$. Begge ligg godt innanfor. Ingen uteliggjarar — og dermed ingen verdi vi treng å diskutere om skal vere med.

Femtalsamandraget som bilete: 125 — 177,5 — 227,5 — 255 — 330. Boksen rommar dei midtarste 50 % av elevane, og $Q_3 - Q_1 = 77{,}5$ minutt.

Uteliggjargrensene $61{,}25$ og $371{,}25$ ligg utanfor alle målingane, så materialet har ingen uteliggjarar.

Den raude romben er gjennomsnittet 219,2 — det ligg til venstre for medianen, som i ei venstreskeiv fordeling.

c) Vi tel opp i klassar med breidd $50$:

Skjermtid på ein skoledag for dei 36 elevane som svarte, i klassar på 50 minutt. Tyngdepunktet ligg mellom 200 og 300 minutt, og fordelinga er nesten symmetrisk, med eit lite overskot mot venstre: gjennomsnittet 219,2 ligg litt lågare enn medianen 227,5.

Svar: a) $\bar{x} \approx 219{,}2$ minutt og $s \approx 55{,}4$ minutt; b) $125$ — $177{,}5$ — $227{,}5$ — $255$ — $330$, ingen uteliggjarar; c) $5, 8, 10, 10, 3$ — ei tilnærma symmetrisk fordeling utan uteliggjarar.

Vi byrjar med standardfeilen, som begge delane byggjer på:

$$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{55{,}4}{\sqrt{36}} = \frac{55{,}4}{6} \approx 9{,}23$$

a) Formelen for konfidensintervallet (kapittel 7.2), først tom:

$$\bar{x} \pm 1{,}96 \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

og så med tal:

$$219{,}17 \pm 1{,}96 \cdot 9{,}23$$

$$219{,}17 \pm 18{,}09$$

Intervallet blir

$$[\,201{,}1 \ ;\ 237{,}3\,]$$

Vi er altså $95\ \%$ sikre på at gjennomsnittleg skjermtid blant alle dei $184$ VG2-elevane ligg mellom $201$ og $237$ minutt.

Legg merke til breidda: intervallet er $36$ minutt breitt. Undersøkinga kan ikkje skilje $210$ frå $230$ minutt. Det var akkurat det feilmarginrekninga i kapittel 8.1 døme 4 føresa — der kom vi fram til omtrent $17$ minutt kvar veg.

b) Hypotesane:

$$H_0: \mu = 200 \qquad H_1: \mu > 200$$

Testen er einsidig fordi problemstillinga spør om skjermtida er høgare enn i fjor, ikkje om ho er ulik frå i fjor.

Testobservatoren (kapittel 7.5), først tom:

$$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$$

og med tal:

$$z = \frac{219{,}17 - 200}{9{,}23} = \frac{19{,}17}{9{,}23} \approx 2{,}08$$

Den kritiske verdien for ein einsidig test på $5\ \%$-nivå er $1{,}645$. Sidan

$$2{,}08 > 1{,}645$$

forkastar vi $H_0$.

$p$-verdien er sannsynet for å få eit gjennomsnitt minst like høgt som vårt, dersom $H_0$ er sann:

$$p = P(Z \geq 2{,}08) \approx 0{,}019$$

c) På $1\ \%$-nivå er den kritiske verdien $2{,}326$. No er

$$2{,}08 < 2{,}326$$

og vi forkastar ikkje. Det same ser vi på $p$-verdien: $0{,}019 > 0{,}01$.

Dette er verdt å stoppe ved. Det same datamaterialet gir «forkast» på $5\ \%$-nivå og «forkast ikkje» på $1\ \%$-nivå. Konklusjonen er altså ikkje solid — han er akkurat på rett side av grensa vi valde på førehand. Ein ærleg rapport skriv det, i staden for berre å skrive «signifikant».

At 200 ligg utanfor intervallet, er den same opplysninga som at testen forkastar $H_0$. Men marginen er 1,1 minutt på eit intervall som er 36 minutt breitt. Konklusjonen er altså rett — og tynn. Det er verdt å skrive i rapporten, ikkje berre ordet «signifikant».

Svar: a) $[\,201{,}1 \ ;\ 237{,}3\,]$ minutt; b) $z \approx 2{,}08 > 1{,}645$, $p \approx 0{,}019$, så $H_0$ blir forkasta på $5\ \%$-nivå; c) nei — på $1\ \%$-nivå blir $H_0$ ikkje forkasta.

b) Stigingstalet til regresjonslinja (kapittel 2.3), først tomt:

$$b = r \cdot \frac{s_y}{s_x}$$

og med tal:

$$b = -0{,}55 \cdot \frac{0{,}69}{55{,}38} = -0{,}0068527$$

Konstantleddet finn vi av at linja går gjennom $(\bar{x}, \bar{y})$:

$$a = \bar{y} - b \cdot \bar{x}$$

$$a = 7{,}08 - (-0{,}0068527) \cdot 219{,}17 = 7{,}08 + 1{,}5019 = 8{,}5819$$

Linja blir

$$y = -0{,}0068x + 8{,}58$$

(Blir ikkje ført: vi har rekna vidare på dei avrunda tala i tabellen over. Reknar reknearket i staden direkte på dei $36$ talpara, får det $b = -0{,}006825$ og $a = 8{,}5792$. Skilnaden sit i det fjerde gjeldande sifferet og kjem berre av avrundinga i tabellen — linja blir den same. Konstantleddet må derimot reknast med uavrunda $b$: set du inn $-0{,}0068$, får du $8{,}57$, og linja går ikkje lenger gjennom $(\bar{x}, \bar{y})$.)

Søvn mot skjermtid for dei 36 elevane, med regresjonslinja. Den loddrette aksen har eit markert brot, slik kapittel 1.6 krev av ei innzooming. Spreiinga rundt linja er stor — r = −0,55.

c) Stigingstalet fortel kor mykje $y$ endrar seg når $x$ aukar med $1$. Vi gongar med $100$:

$$100 \cdot (-0{,}0068) = -0{,}68$$

Linja svarer til omtrent $0{,}68$ timar mindre søvn, altså rundt $41$ minutt, per $100$ minutt meir skjermtid.

d) Andelen er $r^2$ (kapittel 2.3):

$$r^2 = (-0{,}55)^2 = 0{,}30 = 30\ \%$$

Omtrent $30\ \%$ av variasjonen i søvn heng saman med skjermtida. Dei resterande $70\ \%$ kjem av alt anna: trening, jobb, lekser, uro, kor langt eleven har til skolen.

e) Nei. Dette er kjernen i kapittel 2.4. Materialet er observert, ikkje framkalla: ingen fekk tildelt mykje eller lite skjermtid. Minst tre forklaringar passar like godt til dei same punkta:

- Skjermtid går ut over søvnen.
- Den som søv dårleg, ligg vaken med telefonen — årsaka går andre vegen.
- Ein tredje faktor, til dømes kveldsjobb eller stress, gir både meir skjermtid og mindre søvn.

Skal årsak avgjerast, trengst eit forsøk der skjermtida faktisk blir tildelt tilfeldig — og det er noko anna enn ei spørjeundersøking.

Svar: a) middels sterk negativ samanheng; b) $y = -0{,}0068x + 8{,}58$; c) omtrent $0{,}68$ timar, altså rundt $41$ minutt; d) omtrent $30\ \%$; e) nei — samanheng er ikkje årsak.

- «altfor mykje» — ei verdivurdering. Undersøkinga har ikkje målt noka grense for kva som er for mykje, og kan difor ikkje underbyggje ordet.
- «skjermtid øydelegg søvnen» — ein årsakspåstand frå observerte data (kapittel 2.4). Samanhengen er målt; retninga er ikkje det.
- «auka kraftig» — testen forkasta $H_0$ på $5\ \%$-nivå, men ikkje på $1\ \%$. Skilnaden er $19$ minutt, mot ein feilmargin på $18$. «Kraftig» er ikkje dekkjande.
- «elevane» — kva for nokre? Dataa gjeld VG2 ved éin skole, på éin dag, og berre telefonen.

Utkast B — ein konklusjon materialet ber:

Blant dei $36$ VG2-elevane som svarte, var gjennomsnittleg skjermtid på telefonen måndag 15. september $219$ minutt. Eit $95\ \%$ konfidensintervall for gjennomsnittet blant alle dei $184$ VG2-elevane er $[\,201 \ ;\ 237\,]$ minutt. Ein einsidig test forkastar $H_0$: $\mu = 200$ på $5\ \%$-nivå ($z = 2{,}08$, $p = 0{,}019$), men ikkje på $1\ \%$-nivå. Vi har altså eit visst, men ikkje sterkt, grunnlag for at skjermtida er høgare enn dei $200$ minutta elevrådet målte i fjor.

Vi fann òg ein middels sterk negativ samanheng mellom skjermtid og søvn natta etter ($r = -0{,}55$). Undersøkinga kan ikkje avgjere om skjermtid går ut over søvnen, om dårleg søvn gir meir skjermtid, eller om begge delar heng saman med noko tredje.

Resultatet gjeld telefonbruk på éin skoledag ved éin skole, blant dei $90\ \%$ av dei trekte elevane som svarte. PC og nettbrett er ikkje målte. Samanlikninga med tala frå i fjor føreset at undersøkinga den gongen vart gjord på same måten; det har vi ikkje kunna kontrollere.

Kva utkast B gjer, som A ikkje gjer: kvart tal står saman med uvissa si, kvar påstand er avgrensa til det som faktisk vart målt, og det som ikkje kan avgjerast, står som noko som ikkje kan avgjerast.

Svar: Utkast A går lenger enn dataa på fire punkt. Utkast B er dekkjande.