6.3 Ikkje-lineær regresjon | Matematikk S2

Eksponentiell, potensiell, logaritmisk og polynomisk regresjon, logistisk modell, linearisering og modellval.

50 min

20 oppgaver

Eksponentiell regresjonPotensregresjonLogaritmisk regresjonPolynomisk regresjonLogistisk regresjonLinearisering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Korrelasjon

Kvifor ikkje-lineær regresjon?

Mange fenomen i røyndommen følgjer ikkje eit lineært mønster:
- Bakterievekst (eksponentiell)
- Planetbanar og skaleringslovene i biologi (potensiell)
- Avtakande avkastning i økonomi (logaritmisk)

Når residualplottet frå ein lineær modell viser eit systematisk bua mønster, bør vi vurdere ein ikkje-lineær modell.

Dei vanlegaste ikkje-lineære modellane i S2:
1. Eksponentiell: $y = a \cdot b^x$
2. Potensiell: $y = a \cdot x^b$
3. Logaritmisk: $y = a + b \cdot \ln x$
4. Polynomisk: $y = a + bx + cx^2$ (andregrad) eller høgare grad

Eksponentiell regresjon

y = a \cdot b^x \quad \text{der } a > 0, \; b > 0, \; b \neq 1

✏️Eksponentiell regresjon

Talet på bakteriar i ein kultur vart målt over tid:

Tid $x$ (timar)	Tal $y$
0	100
1	150
2	220
3	340
4	500

Tilpass ein eksponentiell modell

y = a \cdot b^x

Linearisering med

\ln y

$x$	$y$	$\ln y$
0	100	4,605
1	150	5,011
2	220	5,394
3	340	5,829
4	500	6,215

Lineær regresjon på

(x, \ln y)

med

n = 5

\sum x = 10

\sum x^2 = 30

\sum \ln y = 27{,}054

\sum x \ln y = 58{,}146

\displaystyle B = \frac{5 \cdot 58{,}146 - 10 \cdot 27{,}054}{5 \cdot 30 - 10^2} = \frac{290{,}73 - 270{,}54}{50} = \frac{20{,}19}{50} \approx 0{,}404

A = \overline{\ln y} - B \cdot \bar{x} = 5{,}411 - 0{,}404 \cdot 2 \approx 4{,}603

Tilbake til dei opphavlege parametrane:

b = e^{B} = e^{0{,}404} \approx 1{,}50

$a = e^{A} = e^{4{,}603} \approx 99{,}8$

Kontroll i GeoGebra: RegEksp på punkta gir $y = 99{,}8 \cdot 1{,}497^x$ .

Svar: $y \approx 99{,}8 \cdot 1{,}50^x$ . Kulturen startar på ca. 100 bakteriar og veks med ca. 50 % per time.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Eksponentiell regresjon

Datapunkt med omtrent fast prosentvis vekst og modellen frå RegEksp-kommandoen. Samanlikn gjerne med RegLin(

l_1

) og vurder kva modell som best skildrar dataa.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

l1 = {(0, 5), (1, 7.4), (2, 11.2), (3, 16.8), (4, 25.1)}
f = RegEksp(l1)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Potensiell regresjon

y = a \cdot x^b \quad \text{der } a > 0, \; x > 0

✏️Potensiell regresjon

Kroppsvekt ( $x$ , kg) og hjartefrekvens ( $y$ , slag/min) for ulike pattedyr:

Dyr	$x$	$y$
Mus	0,03	600
Kanin	2	200
Hund	20	100
Menneske	70	72
Hest	500	38

Tilpass ein potensiell modell

y = a \cdot x^b

Logaritmar av dataa:

$\ln x$	$\ln y$
$-3{,}507$	6,397
0,693	5,298
2,996	4,605
4,248	4,277
6,215	3,638

Lineær regresjon på

(\ln x, \ln y)

gir

B \approx -0{,}282

A \approx 5{,}444

Tilbake til dei opphavlege parametrane:

b = B \approx -0{,}28

a = e^{5{,}444} \approx 231

Kontroll i GeoGebra: RegPot på punkta gir

y = 231{,}4 \cdot x^{-0{,}282}

Tolking: Når kroppsvekta blir dobla, blir hjartefrekvensen multiplisert med $2^{-0{,}28} \approx 0{,}82$ . Større dyr har lågare hjartefrekvens. Denne samanhengen blir kalla allometrisk skalering.

Svar: $y \approx 231 \cdot x^{-0{,}28}$

Logaritmisk regresjon

y = a + b \cdot \ln x \quad \text{der } x > 0

✏️Logaritmisk regresjon

Erfaring ( $x$ , år) og lønn ( $y$ , tusen kr/år) for ei gruppe tilsette:

$x$	$y$
1	400
2	450
5	520
10	570
20	620

Tilpass ein logaritmisk modell

y = a + b \cdot \ln x

Rekn ut $\ln x$ :

$\ln x$	$y$
0	400
0,693	450
1,609	520
2,303	570
2,996	620

Lineær regresjon på

(\ln x, y)

\overline{\ln x} \approx 1{,}520

\bar{y} = 512

b \approx 73{,}7

a = \bar{y} - b \cdot \overline{\ln x} \approx 512 - 73{,}72 \cdot 1{,}520 \approx 399{,}9

Kontroll i GeoGebra: RegLog på punkta gir

y = 399{,}9 + 73{,}7 \ln x

.
Tolking: Når erfaringa blir dobla, aukar lønna med

73{,}7 \cdot \ln 2 \approx 51

tusen kr — både frå 1 til 2 år og frå 10 til 20 år. Det trengst altså stadig fleire år for å oppnå same lønnsauke.

Svar: $y \approx 399{,}9 + 73{,}7 \cdot \ln x$

Polynomisk regresjon

y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k

✏️Kvadratisk regresjon

Høgde $h$ (m) ved tid $t$ (s) for ein ball:

$t$	$h$
0	1,0
0,5	4,6
1,0	6,8
1,5	7,2
2,0	5,9
2,5	3,1

Andregradsregresjon (RegPoly(…, 2) i GeoGebra) gir

h = 0{,}97 + 9{,}06t - 3{,}29t^2

R^2 \approx 0{,}9995

. Tolk.

Starthøgd: $h(0) \approx 0{,}97$ m

$h'(t) = 9{,}06 - 6{,}58t = 0$

$\displaystyle t = \frac{9{,}06}{6{,}58} \approx 1{,}38$ s

$h(1{,}38) \approx 0{,}97 + 9{,}06 \cdot 1{,}38 - 3{,}29 \cdot 1{,}38^2 \approx 7{,}2$ m

$R^2 \approx 0{,}9995$ : modellen forklarer 99,95 % av variasjonen i høgda.

Svar: Ballen blir kasta frå ca. 0,97 m høgd og er høgast, ca. 7,2 m, etter ca. 1,38 s. Modellen passar svært godt.

Velje beste modell

For å avgjere kva modell som passar best, brukar vi:

$R^2$ -samanlikning:
Rekn ut $R^2$ for kvar modell. Modellen med høgast $R^2$ gir best tilpassing.

Viktig: Samanlikn $R^2$ for $y$ mot $\hat{y}$ (ikkje for dei lineariserte variablane). Alternativt kan ein samanlikne $R^2$ for lineariserte modellar, men dette gir ei tilnærming.

Residualplott:
Vel modellen der residualplottet viser minst systematisk mønster.

Fagleg vurdering:
Kva modell gir mest meining i konteksten? Til dømes er eksponentiell vekst rimeleg for bakteriar, men ikkje for folkevekst over lang tid.

Prediksjon:
Kva modell gir rimelege prediksjonar for relevante $x$ -verdiar?

✏️Modellsamanlikning

For datasettet om bakterievekst, samanlikn lineær og eksponentiell modell.

Lineær modell (RegLin):

\hat{y} = 99x + 64

R^2 \approx 0{,}949

Eksponentiell modell (RegEksp): $\hat{y} \approx 99{,}8 \cdot 1{,}50^x$ , $R^2 \approx 0{,}9996$

Residual for den lineære modellen:

$x$	$y - \hat{y}$
0	36
1	$-13$
2	$-42$
3	$-21$
4	40

Forteikna er

+

-

-

-

+

: modellen undervurderer i endane og overvurderer på midten. Det er eit boga mønster.
Residuala for den eksponentielle modellen er små (under 5 bakteriar) og utan systematisk mønster.
Den eksponentielle modellen er også fagleg rimeleg: bakteriar deler seg, så talet veks med fast prosent per time.
Svar: Den eksponentielle modellen passar klart best (

R^2 \approx 0{,}9996

mot

0{,}949

, og ikkje noko boga residualmønster).

Logistisk regresjon

Når veksten først er nesten eksponentiell og så flatar ut mot eit tak, passar ein logistisk modell

$f(x) = \frac{a}{1 + b\,e^{-kx}}, \qquad k > 0$

Når $x \to \infty$ , går $b\,e^{-kx} \to 0$ og $f(x) \to a$ . Talet $a$ er bereevna, taket modellen nærmar seg. Modellen kan ikkje lineariserast med logaritmar som modellane ovanfor, så parametrane blir funne med digitalt verktøy: RegLogist(liste1) i GeoGebra, der liste1 er ei liste med punkt.

Grafen veks raskast i vendepunktet, der $f(x) = \dfrac{a}{2}$ :

$\frac{a}{1 + b\,e^{-kx}} = \frac{a}{2} \;\Rightarrow\; b\,e^{-kx} = 1 \;\Rightarrow\; x = \frac{\ln b}{k}$

✏️Logistisk regresjon i GeoGebra

Tabellen viser talet på elsparkesyklar registrerte i ein by $x$ månader etter at utleiga starta.

$x$	Talet
0	100
2	230
4	450
6	750
8	1070
10	1260
12	1410
14	1520

a) Finn ein logistisk modell for talet på elsparkesyklar.
b) Kva seier modellen om talet på lang sikt?
c) Når aukar talet raskast, og kor raskt aukar det då?

a)
I GeoGebra:
liste1 = {(0, 100), (2, 230), (4, 450), (6, 750), (8, 1070), (10, 1260), (12, 1410), (14, 1520)}
f(x) = RegLogist(liste1)
$f(x) \approx \dfrac{1559}{1 + 12{,}76\,e^{-0{,}410x}}$

Svar: $f(x) = \dfrac{1559}{1 + 12{,}76\,e^{-0{,}410x}}$

b)
Når $x \to \infty$ , går $f(x) \to 1559$ .

Svar: Ifølgje modellen nærmar talet seg om lag 1560 elsparkesyklar.

c)
$x = \dfrac{\ln 12{,}76}{0{,}410} \approx 6{,}2$
f'(6.2) gir $\approx 160$

Svar: Talet aukar raskast etter om lag 6,2 månader, med om lag 160 elsparkesyklar per månad.

Oppsummering: Linearisering

Modell	Formel	Linearisering	Plott
Eksponentiell	$y = a \cdot b^x$	$\ln y = \ln a + x\ln b$	$(x, \ln y)$
Potensiell	$y = a \cdot x^b$	$\ln y = \ln a + b\ln x$	$(\ln x, \ln y)$
Logaritmisk	$y = a + b\ln x$	$y = a + bX$ der $X = \ln x$	$(\ln x, y)$

Kvifor linearisere? Fordi lineær regresjon (MKM) er enkel, veletablert og har gode statistiske eigenskapar. Ved å transformere dataa kan vi bruke dei same verktøya som for lineær regresjon.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Korleis lineariserer ein modellen $y = a \cdot b^x$ ?

Korleis lineariserer ein modellen $y = a \cdot x^b$ ?

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Ein eksponentiell modell gir $A = \ln a = 3{,}2$ og $B = \ln b = 0{,}15$ . Finn $a$ og $b$ .

Tolk modellen: kva betyr $b = 1{,}162$ ?

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Når er ein logaritmisk modell meir passande enn ein lineær modell?

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Ein populasjon veks: $(0, 50)$ , $(5, 130)$ , $(10, 350)$ , $(15, 920)$ , $(20, 2400)$ . Vis at $\ln y$ er tilnærma lineær i $x$ , og finn den eksponentielle modellen.

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Avstand frå sola ( $x$ , AU) og omløpstid ( $y$ , jordår) for planetar: $(0{,}39, 0{,}24)$ , $(1, 1)$ , $(1{,}52, 1{,}88)$ , $(5{,}20, 11{,}86)$ , $(9{,}54, 29{,}46)$ . Tilpass ein potensiell modell $y = a \cdot x^b$ .

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Tilpass ein logaritmisk modell $y = a + b\ln x$ til: $(1, 20)$ , $(3, 35)$ , $(5, 42)$ , $(10, 50)$ , $(20, 58)$ .

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Tre modellar blir tilpassa til eit datasett: Lineær ( $R^2 = 0{,}82$ ), eksponentiell ( $R^2 = 0{,}96$ ), logaritmisk ( $R^2 = 0{,}88$ ). Kva modell vel du, og kvifor?

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Kvadratisk $R^2 = 0{,}92$ vs. lineær $R^2 = 0{,}85$ . Er kvadratisk nødvendigvis betre?

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Verdien av ein bil søkk over tid: $(0, 350000)$ , $(2, 280000)$ , $(4, 225000)$ , $(6, 180000)$ , $(8, 145000)$ . Tilpass ein eksponentiell modell. Kva blir bilen verdt etter 10 år?

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Forklar forskjellen mellom eksponentiell ( $y = a \cdot b^x$ ) og potensiell ( $y = a \cdot x^b$ ) vekst. Gi eit eksempel der kvar modell er naturleg.

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Forklar kvifor vi tek logaritmen for å linearisere, og diskuter ei avgrensing ved denne metoden.

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

BNP per innbyggjar ( $x$ , i tusen USD) og forventa levealder ( $y$ , år) for 6 land: $(2, 55)$ , $(5, 65)$ , $(10, 72)$ , $(25, 77)$ , $(40, 80)$ , $(60, 82)$ . Samanlikn lineær, logaritmisk og potensiell modell. Kva passar best?

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Halveringstida til eit radioaktivt stoff er 5 timar. Startverdien er 800 gram. Set opp ein eksponentiell modell og finn kor mykje som er igjen etter 12 timar.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Tabellen viser høgda (i cm) til ei solsikke $x$ dagar etter at ho vart planta ut.

$x$	Høgd
0	10
7	22
14	43
21	72
28	117
35	162
42	207
49	225
56	245

Bruk logistisk regresjon til å finne ein modell $h$ for høgda.

Kor høg blir solsikka ifølgje modellen?

Når veks solsikka raskast, og kor fort veks ho då?

Løs oppgaven

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.