5.5 Bayesiansk statistikk | Matematikk S2

Introduksjon til bayesiansk tankegang og oppdatering av sannsynligheter.

50 min

12 oppgaver

Bayes teoremPriorPosteriorBayesiansk oppdateringBetinget sannsynlighet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Estimering

Når normalfordelinga ikkje held

Z-testen og t-testen føreset at dataa er (tilnærma) normalfordelte. Men kva gjer vi når:
- Dataa er sterkt skeive?
- Vi har ordinale data (rangordna kategoriar)?
- Vi vil teste om ei fordeling passar ein bestemt modell?

Ikkje-parametriske testar krev ikkje spesifikke fordelingsantakingar. Dei er robuste, men generelt noko svakare enn parametriske testar når normalfordelinga faktisk held.

Fortegnstesten (teiknest)

m_0

✏️Fortegnstest for median

Produsenten hevdar median levetid er 1000 timar. 15 komponentar: 11 over, 4 under. Test med $\alpha = 0{,}05$ (tosidig).

H_0: m = 1000

H_1: m \neq 1000

n_+ = 11

n = 15

n_+ \sim \text{Bin}(15, 0{,}5)

$P = 2 \cdot P(X \geq 11) = 2 \cdot \frac{1941}{32768} \approx 0{,}118 > 0{,}05$

Forkastar ikkje $H_0$ .

Wilcoxons rangtest

|d_i|

Kjikvadrattest som ikkje-parametrisk test

Tilpassingstest: Testar om observerte frekvensar passar ei forventa fordeling.
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}, \quad df = k - 1$

Uavhengigheitstest: Testar om to kategoriske variablar er uavhengige.
$E_{ij} = \frac{R_i \cdot C_j}{N}, \quad df = (r-1)(c-1)$

Krav: Alle $E_i \geq 5$ .

✏️Kjikvadrattest for uavhengigheit

God søvn	Dårleg søvn	Sum
Trenar	45	15	60
Trenar ikkje	30	30	60
Sum	75	45	120

Test uavhengigheit med

\alpha = 0{,}05

E_{11} = 37{,}5

E_{12} = 22{,}5

E_{21} = 37{,}5

E_{22} = 22{,}5

$\chi^2 = 1{,}5 + 2{,}5 + 1{,}5 + 2{,}5 = 8{,}0$

$df = 1$ , $\chi^2_{krit} = 3{,}841$ . $8{,}0 > 3{,}841$ — forkastar $H_0$ . Signifikant samanheng.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

I eit utval på 20 er 14 over $m_0$ og 6 under. Kva er testobservatoren?

Nemn to situasjonar der ikkje-parametriske testar passar betre.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Mynt blir kasta 80 gonger: 50 krone, 30 mynt. Rekn ut $\chi^2$ .

Signifikant ved $\alpha = 0{,}05$ ? ( $\chi^2_{0{,}05;1} = 3{,}841$ )

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

200 fødselsdagar over 4 kvartal: 58, 45, 52, 45. Test lik fordeling, $\alpha = 0{,}05$ . ( $\chi^2_{0{,}05;3} = 7{,}815$ )

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Krysstabell $r = 2$ , $c = 4$ . Fridomsgrader?

R_i = 80

C_j = 50

N = 200

. Finn

E_{ij}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

12 pasientar: 9 betring, 2 forverring, 1 uendra. Fortegnstest, $\alpha = 0{,}05$ , einsidig.

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Røyking vs. lungesjukdom: Røykjar+sjuk 40, Røykjar+frisk 60, Ikkje-røykjar+sjuk 20, Ikkje-røykjar+frisk 80. Test med $\alpha = 0{,}05$ .

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Skilnad mellom fortegnstesten og Wilcoxon? Når velje Wilcoxon?

Fordel og ulempe med ikkje-parametriske testar?

Oppsummering

- Fortegnstesten: Testar medianen, $n_+ \sim \text{Bin}(n, 0{,}5)$ under $H_0$
- Wilcoxons rangtest: Sterkare, bruker rangert informasjon
- Kjikvadrattest: $\chi^2 = \sum (O_i - E_i)^2/E_i$ , krav $E_i \geq 5$
- Ikkje-parametriske testar er robuste men har lågare styrke

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.