5.4 Estimering og konfidensintervall | Matematikk S2

Avanserte metoder for estimering og konstruksjon av konfidensintervall.

55 min

13 oppgaver

KonfidensintervallT-fordelingUtvalgsstørrelseFeilmarginKonfidensgrad

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.3Feiltyper og teststyrke

Presisjon i statistiske undersøkingar

Når vi planlegg ei undersøking, er eit av dei viktigaste spørsmåla: Kor mange observasjonar treng vi? Eit for lite utval gir upresise resultat, medan eit for stort utval kostar unødvendig mykje tid og pengar.

Feilmarginen $E$ fortel oss kor langt konfidensintervallet strekkjer seg frå punktestimatet. Jo smalare intervallet er, desto meir presist er estimatet.

Feilmargin

E

✏️Effekten av utvalsstorleik på feilmargin

Ein produsent av lyspærer har $\sigma = 60$ timar. Samanlikn feilmarginen ved 95 % konfidens for $n = 25$ , $n = 100$ og $n = 400$ .

Vi bruker $\displaystyle E = 1{,}960 \cdot \frac{60}{\sqrt{n}}$ :

$n$	$\sqrt{n}$	$E$
25	5	$1{,}960 \cdot 12 = 23{,}52$
100	10	$1{,}960 \cdot 6 = 11{,}76$
400	20	$1{,}960 \cdot 3 = 5{,}88$

Firedobling av

n

halverer feilmarginen.

📜Nødvendig utvalsstorleik for

\mu

For å oppnå feilmargin

E

ved konfidensnivå

(1-\alpha)

$n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2$

- Bruk eit estimat for $\sigma$ frå tidlegare studiar eller pilotstudie
- Rund alltid opp til næraste heiltal

✏️Planlegging av undersøking

Ei bedrift vil estimere gjennomsnittleg kundetilfredsheit (skala 1-10) med feilmargin $E = 0{,}3$ og 95 % konfidens. Eit pilotstudie gav $s = 1{,}8$ . Kor mange kundar trengst?

Gitt:

E = 0{,}3

\sigma \approx 1{,}8

z_{0{,}025} = 1{,}960

$n \geq \left(\frac{1{,}960 \cdot 1{,}8}{0{,}3}\right)^2 = 11{,}76^2 = 138{,}3$

Rund opp: $n \geq 139$ . Bedrifta treng minst 139 kundar.

📜Nødvendig utvalsstorleik for andel

p

For å estimere ein andel

p

med feilmargin

E

$n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{E^2}$

- Dersom $p$ er ukjend, bruk $p = 0{,}5$ (konservativt, gir størst $n$ )
- Produktet $p(1-p)$ er størst når $p = 0{,}5$

✏️Utvalsstorleik for valundersøking

Ei avis vil estimere oppslutninga til eit parti med feilmargin 2 prosentpoeng og 95 % konfidens. Partiet ligg truleg rundt 15 %. Finn nødvendig $n$ .

Gitt:

E = 0{,}02

p \approx 0{,}15

z_{0{,}025} = 1{,}960

$n \geq \frac{1{,}960^2 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85}{0{,}02^2} = \frac{0{,}4898}{0{,}0004} \approx 1224{,}5$

Rund opp: $n \geq 1225$ . Med $p = 0{,}5$ ville vi fått $n \geq 2401$ .

Avveging mellom presisjon og kostnad

Å halvere feilmarginen krev firedobling av utvalet ( $E \propto 1/\sqrt{n}$ ):

Ønskt reduksjon i $E$	Nødvendig auke i $n$
Halvere $E$	$4 \times n$
Tredele $E$	$9 \times n$
Tidele $E$	$100 \times n$

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Rekn ut feilmarginen for $\bar{x}$ med $s = 12$ , $n = 144$ og 95 % konfidens.

Kva blir feilmarginen dersom $n$ blir auka til 576?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn $n$ for $E = 5$ , $\sigma = 20$ , 95 % konfidens.

Kva blir $n$ ved 99 % konfidens?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Finn $n$ for andel med $E = 0{,}04$ , 95 % konfidens, ukjend $p$ .

Dersom $p \approx 0{,}3$ , kva blir $n$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

KI for $\mu$ er $[82{,}4 \,,\, 89{,}6]$ med $n = 64$ . Finn $\bar{x}$ , $E$ og estimat for $\sigma$ .

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Med $n = 200$ , $\sigma = 10$ , 95 % konfidens: kva er $E$ ?

For $E \leq 1{,}0$ : minste $n$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Vis algebraisk at halvering av $E$ firedoblar $n$ .

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Returandel med $E = 0{,}015$ , 99 % konfidens, $p \approx 0{,}08$ . Finn $n$ .

Kva med $p = 0{,}5$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Forklar kvifor det kostar meir å gå frå $E = 2$ til $E = 1$ enn frå $E = 4$ til $E = 2$ .

Oppsummering

- Feilmarginen $E$ er halvparten av breidda til konfidensintervallet
- For $\mu$ : $n \geq (z_{\alpha/2} \cdot \sigma / E)^2$
- For $p$ : $n \geq z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p) / E^2$ , bruk $p = 0{,}5$ dersom ukjend
- Halvering av $E$ krev firedobling av $n$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.