4.3
Normalfordeling og sentralgrensesetninga

4.3 Normalfordeling og sentralgrensesetninga

Alle fag for VG3

Normalfordelinga og kva sentralgrensesetninga har å seie.

60 min
25 oppgaver
NormalfordelingSentralgrensesetningaSummen av stokastiske variable
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 25 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Normalfordelinga - den viktigaste fordelinga

Normalfordelinga er den mest brukte sannsynsfordelinga i statistikk. Ho dukkar opp overalt: høgd, vekt, testresultat, målefeil, og mykje meir.

Grunnen til at normalfordelinga er så viktig, er sentralgrensesetninga: summen (eller gjennomsnittet) av mange uavhengige stokastiske variablar er tilnærma normalfordelt - uansett kva den opphavlege fordelinga er!

Normalfordelinga
Ein kontinuerleg stokastisk variabel XX er normalfordelt med forventningsverdi μ\mu og varians σ2\sigma^2 dersom tettleiksfunksjonen er:

f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2,−∞<x<∞f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < \infty

Vi skriv X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2).

Eigenskapar:
- Kurva er klokkeforma og symmetrisk om μ\mu
- Toppunktet er i x=μx = \mu
- Vendepunkta er i x=μ±σx = \mu \pm \sigma
- Arealet under heile kurva er 1
- P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx (areal under kurva)

📜Empirisk regel (68-95-99,7-regelen)
For ein normalfordelt variabel X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2):

P(μ−σ<X<μ+σ)≈0,68(68%)P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0{,}68 \quad (68\%)
P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0,95(95%)P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0{,}95 \quad (95\%)
P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0,997(99,7%)P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997 \quad (99{,}7\%)

Tolking: Ca. 68 % av observasjonane ligg innanfor ±1σ\pm 1\sigma frå gjennomsnittet, ca. 95 % innanfor ±2σ\pm 2\sigma, og nesten alle (99,7 %) innanfor ±3σ\pm 3\sigma.

✏️Bruke empirisk regel

Høgda til norske menn er tilnærma normalfordelt med μ=180\mu = 180 cm og σ=7\sigma = 7 cm.

a) Kva del er mellom 173 cm og 187 cm?
b) Kva del er over 194 cm?

a) 173=180−7=μ−σ173 = 180 - 7 = \mu - \sigma og 187=180+7=μ+σ187 = 180 + 7 = \mu + \sigma.
Ifølgje 68-95-99,7-regelen: ca. 68 % er mellom 173 og 187 cm.

b) 194=180+2⋅7=μ+2σ194 = 180 + 2 \cdot 7 = \mu + 2\sigma.
Ca. 95 % er mellom μ−2σ\mu - 2\sigma og μ+2σ\mu + 2\sigma.
Altså er ca. 5 % utanfor, og halvparten (2,5 %) er over μ+2σ=194\mu + 2\sigma = 194 cm.

Svar: a) Ca. 68 % b) Ca. 2,5 % av norske menn er over 194 cm.

Standardnormalfordelinga og z-verdiar
Standardnormalfordelinga er normalfordelinga med μ=0\mu = 0 og σ=1\sigma = 1:

Z∼N(0,1)Z \sim N(0, 1)

Kvar normalfordelt variabel kan standardiserast (transformerast til standardnormal):

Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}

ZZ-verdien fortel kor mange standardavvik XX er frå gjennomsnittet.

Bruk av z-tabell / kalkulator:
Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \leq z) er den kumulative fordelingsfunksjonen.

P(X≤a)=P(Z≤a−μσ)=Φ(a−μσ)P(X \leq a) = P\left(Z \leq \frac{a - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)

✏️Rekne ut sannsyn med z-verdiar

Vekta til nyfødde er normalfordelt med μ=3,5\mu = 3{,}5 kg og σ=0,5\sigma = 0{,}5 kg.

a) Finn sannsynet for at ein nyfødd veg mellom 3,0 og 4,0 kg.
b) Finn vekta som berre 5 % overstig.

a) Standardiser:
z1=3,0−3,50,5=−1,0z2=4,0−3,50,5=1,0z_1 = \frac{3{,}0 - 3{,}5}{0{,}5} = -1{,}0 \qquad z_2 = \frac{4{,}0 - 3{,}5}{0{,}5} = 1{,}0

P(3,0<X<4,0)=P(−1<Z<1)=Φ(1)−Φ(−1)\begin{aligned} &P(3{,}0 < X < 4{,}0) = P(-1 < Z < 1) \\ = {}&\Phi(1) - \Phi(-1) \end{aligned}
=0,8413−0,1587=0,6826≈68,3%= 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826 \approx 68{,}3\%

(Stemmer med 68-95-99,7-regelen!)

b) Vi søkjer aa slik at P(X>a)=0,05P(X > a) = 0{,}05, altså P(X≤a)=0,95P(X \leq a) = 0{,}95.

Φ(a−3,50,5)=0,95\Phi\left(\frac{a - 3{,}5}{0{,}5}\right) = 0{,}95

Frå tabell: Φ(1,645)≈0,95\Phi(1{,}645) \approx 0{,}95, så:

a−3,50,5=1,645⇒a=3,5+0,5⋅1,645≈4,32 kg\frac{a - 3{,}5}{0{,}5} = 1{,}645 \Rightarrow a = 3{,}5 + 0{,}5 \cdot 1{,}645 \approx 4{,}32 \text{ kg}

Svar: 95 % veg 4,32 kg eller mindre. Berre 5 % veg meir enn 4,32 kg.

✏️Finne standardavviket

Ein maskin fyller pakkar med kaffi. Vekta XX er normalfordelt med forventingsverdi μ=500\mu = 500 g. Det viser seg at 2 % av pakkane veg under 490 g. Finn standardavviket σ\sigma.

P(X<490)=0,02P(X < 490) = 0{,}02
P(Z<490−500σ)=0,02P\left(Z < \dfrac{490 - 500}{\sigma}\right) = 0{,}02

InversNormal(0, 1, 0.02) gir z≈−2,054z \approx -2{,}054

490−500σ=−2,054\dfrac{490 - 500}{\sigma} = -2{,}054
σ=−10−2,054≈4,87\sigma = \dfrac{-10}{-2{,}054} \approx 4{,}87

Kontroll: Normal(500, 4.87, 490) gir 0,0200{,}020.

Svar: σ≈4,87\sigma \approx 4{,}87 g

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Normalfordelinga og standardisering

Standard normalfordeling N(0,1)N(0, 1) med det skraverte arealet P(−1,96≤Z≤1,96)≈0,95P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) \approx 0{,}95. Desse grensene møter du att i konfidensintervall. Prøv andre grenser og les av sannsynet.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = Normal(0, 1, x, false)
a = Integral(f, -1.96, 1.96)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra(åpnes i ny fane)

Sentralgrensesetninga

Sentralgrensesetninga (SGS) er eitt av dei viktigaste resultata i statistikk. Ho forklarer kvifor normalfordelinga dukkar opp overalt.

📜Sentralgrensesetninga
La X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n vere uavhengige stokastiske variablar med same fordeling, E(Xi)=μE(X_i) = \mu og Var(Xi)=σ2\text{Var}(X_i) = \sigma^2.

Då gjeld for store nn:

Summen:
Sn=X1+X2+⋯+Xn≈N(nμ,nσ2)S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \approx N(n\mu, n\sigma^2)

Gjennomsnittet:
Xˉ=Snn≈N(μ,σ2n)\bar{X} = \frac{S_n}{n} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)

Tolking: Uansett kva den opphavlege fordelinga er, blir summen og gjennomsnittet av mange uavhengige observasjonar tilnærma normalfordelt når nn er stor nok.

Tommelfingerregel: n≥30n \geq 30 er vanlegvis tilstrekkeleg for at approksimasjonen er god.

✏️Sentralgrensesetninga i praksis

Ein fabrikk produserer boltar med gjennomsnittslengd μ=50\mu = 50 mm og standardavvik σ=2\sigma = 2 mm. Vi måler 100 boltar. Kva er sannsynet for at gjennomsnittslengda er mellom 49,5 og 50,5 mm?

Ifølgje sentralgrensesetninga:
Xˉ≈N(50,4100)=N(50,0,04)\bar{X} \approx N\left(50, \frac{4}{100}\right) = N(50, 0{,}04)

Standardavviket til gjennomsnittet: σXˉ=2100=0,2\displaystyle \sigma_{\bar{X}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = 0{,}2 mm.

Standardiser:
z1=49,5−500,2=−2,5z2=50,5−500,2=2,5z_1 = \frac{49{,}5 - 50}{0{,}2} = -2{,}5 \qquad z_2 = \frac{50{,}5 - 50}{0{,}2} = 2{,}5

P(49,5<Xˉ<50,5)=P(−2,5<Z<2,5)P(49{,}5 < \bar{X} < 50{,}5) = P(-2{,}5 < Z < 2{,}5)
=Φ(2,5)−Φ(−2,5)=0,9938−0,0062=0,9876= \Phi(2{,}5) - \Phi(-2{,}5) = 0{,}9938 - 0{,}0062 = 0{,}9876

Svar: Det er ca. 98,8 % sannsyn for at gjennomsnittet ligg mellom 49,5 og 50,5 mm.

Merk: Sjølv om vi ikkje veit fordelinga til enkeltboltane, kan vi bruke normalfordelinga for gjennomsnittet takka vere sentralgrensesetninga.

Normalapproksimasjon til binomisk fordeling

Binomisk fordeling med store nn kan reknast med normalfordelinga. Dette følgjer av sentralgrensesetninga, sidan binomisk fordeling er summen av nn uavhengige Bernoulli-variablar.

Når kan vi bruke approksimasjonen?
X∼B(n,p)X \sim B(n, p) kan approksimerast med N(np,np(1−p))N(np, np(1-p)) når:
- np≥5np \geq 5 og n(1−p)≥5n(1-p) \geq 5

Normalapproksimasjon med kontinuitetskorreksjon
For X∼B(n,p)X \sim B(n, p) med np≥5np \geq 5 og n(1−p)≥5n(1-p) \geq 5:

P(X≤k)≈Φ(k+0,5−npnp(1−p))P(X \leq k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)

P(X=k)≈Φ(k+0,5−npnp(1−p))−Φ(k−0,5−npnp(1−p))P(X = k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) - \Phi\left(\frac{k - 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)

Kontinuitetskorreksjon (±0,5\pm 0{,}5) blir brukt fordi vi approksimerer ei diskret fordeling med ei kontinuerleg. Ho gir betre nøyaktigheit, men kan utelatast for store nn.

✏️Normalapproksimasjon til binomisk

Ein mynt blir kasta 200 gonger. Bruk normalapproksimasjon til å finne sannsynet for mellom 90 og 110 mynt (inklusivt).

X∼B(200,0,5)X \sim B(200, 0{,}5).
μ=np=100\mu = np = 100, σ=np(1−p)=50≈7,07\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{50} \approx 7{,}07.

Sjekk: np=100≥5np = 100 \geq 5 og n(1−p)=100≥5n(1-p) = 100 \geq 5

Med kontinuitetskorreksjon:
P(90≤X≤110)≈Φ(110,5−1007,07)−Φ(89,5−1007,07)\begin{aligned} &P(90 \leq X \leq 110) \\ \approx {}&\Phi\left(\frac{110{,}5 - 100}{7{,}07}\right) - \Phi\left(\frac{89{,}5 - 100}{7{,}07}\right) \end{aligned}
=Φ(1,48)−Φ(−1,48)= \Phi(1{,}48) - \Phi(-1{,}48)
=0,9306−0,0694≈0,8612= 0{,}9306 - 0{,}0694 \approx 0{,}8612

Svar: Sannsynet for mellom 90 og 110 mynt er ca. 86,1 %.

Kontroll med 68-95-99,7-regelen:
[μ−σ,μ+σ]=[93,107][\mu - \sigma, \mu + \sigma] = [93, 107] gir ca. 68 %, og [90,110][90, 110] er litt breiare, så 86 % verkar rimeleg.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

a

IQ-skårar er normalfordelt med μ=100\mu = 100 og σ=15\sigma = 15. Bruk 68-95-99,7-regelen til å finne delen med IQ mellom 85 og 115.

b

Kva del har IQ over 130?

Løs oppgaven
📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

a
X∼N(50,16)X \sim N(50, 16). Finn P(X<54)P(X < 54).
b

Finn P(44<X<56)P(44 < X < 56).

Løs oppgaven
📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

a
X∼N(10,9)X \sim N(10, 9). Finn aa slik at P(X<a)=0,90P(X < a) = 0{,}90.
Løs oppgaven
📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

a

Standardiser følgjande: X∼N(20,25)X \sim N(20, 25). Finn z-verdien for x=30x = 30.

b

Finn z-verdien for x=12x = 12.

Løs oppgaven
📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

a

Levetida til ei lyspære er normalfordelt med μ=1200\mu = 1200 timar og σ=100\sigma = 100 timar. Finn sannsynet for at ei lyspære varer i meir enn 1350 timar.

b

Produsenten garanterer pærene i tt timar og vil at høgst 1 % skal gå i stykke i garantitida. Finn tt.

Løs oppgaven
📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

a

Resultat på ein matematikkeksamen er normalfordelt med μ=55\mu = 55 og σ=12\sigma = 12. Finn delen som skårar mellom 40 og 70.

b

Kva må du skåre for å vere blant dei 10 % beste?

Løs oppgaven
📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

a

Ei maskin fyller posar med 500 g mjøl. Vekta er normalfordelt med σ=5\sigma = 5 g. Kva gjennomsnitt μ\mu bør brukast for at høgst 2 % av posane skal vege under 490 g?

Løs oppgaven
📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

a

Gjennomsnittleg ventetid i ein kø er μ=8\mu = 8 min med σ=3\sigma = 3 min. For eit utval på 36 kundar, finn sannsynet for at gjennomsnittleg ventetid er over 9 minutt. (Bruk sentralgrensesetninga.)

Løs oppgaven
📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

a
X∼B(100,0,4)X \sim B(100, 0{,}4). Bruk normalapproksimasjon til å finne P(X≤45)P(X \leq 45).
b

Finn P(35≤X≤45)P(35 \leq X \leq 45) med normalapproksimasjon.

Løs oppgaven
📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

a

I ei meiningsmåling svarer 55 % ja. Utvalet er 400 personar. Bruk sentralgrensesetninga til å finne sannsynet for at delen ja-svar i utvalet er mellom 50 % og 60 %.

Løs oppgaven
📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

a
X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2) og Y=aX+bY = aX + b. Det er kjent at YY då òg er normalfordelt. Finn E(Y)E(Y) og Var(Y)\text{Var}(Y), og skriv opp fordelinga til YY.
📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

a

Ei kaffemaskin fyller koppar med μ=200\mu = 200 ml og σ=8\sigma = 8 ml (normalfordelt). Koppane rommar 220 ml. Finn sannsynet for at ein kopp renn over.

b

Av 500 koppar, kor mange ventar vi renn over?

Løs oppgaven
📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

a

Dagleg sal i ein butikk har μ=50000\mu = 50000 kr og σ=8000\sigma = 8000 kr. Finn sannsynet for at totalomsetninga over 30 dagar overstig 1 600 000 kr. Bruk sentralgrensesetninga.

Løs oppgaven
📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

a
Z∼N(0,1)Z \sim N(0,1). Finn P(Z>1,96)P(Z > 1{,}96).
b

Finn P(−1,96<Z<1,96)P(-1{,}96 < Z < 1{,}96).

Løs oppgaven
📝Oppgave 15

Løys oppgåvene:

a

Eit politisk parti har oppslutning 25 %. I ei meiningsmåling med 600 respondentar, bruk normalapproksimasjon til å finne P(X≥165)P(X \geq 165) der XX = talet på dei som støttar partiet.

Løs oppgaven
📝Oppgave 16

Løys oppgåvene:

a

Vis at for X∼B(n,p)X \sim B(n, p) med store nn, er X−npnp(1−p)≈N(0,1)\displaystyle \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx N(0, 1). Forklar samanhengen med sentralgrensesetninga.

📝Oppgave 17

Løys oppgåvene:

a

Vekta til eple er normalfordelt med μ=180\mu = 180 g og σ=30\sigma = 30 g. Eple under 150 g blir sorterte bort. Finn delen som blir sortert bort.

b

Eit parti har 2000 eple. Kor mange eple ventar vi blir sorterte bort?

Løs oppgaven
📝Oppgave 18

Løys oppgåvene:

a

Ein terning blir kasta 360 gonger. Bruk normalapproksimasjon til å finne sannsynet for at talet på seksarar er mellom 50 og 70.

Løs oppgaven
📝Oppgave 19

Eit meieri fyller flasker med gjennomsnittleg 1010 ml. Volumet er normalfordelt, og 1 % av flaskene inneheld mindre enn 1000 ml.

a

Finn standardavviket.

Løs oppgaven
📝Oppgave 20

Vekta av sjokoladeplater frå ein maskin er normalfordelt med standardavvik σ=3\sigma = 3 g. Høgst 2,5 % av platene skal vege under 500 g.

a

Kva forventingsverdi μ\mu må maskina minst stillast inn på?

Løs oppgaven

Oppsummering

Normalfordelinga N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2):
- Klokkeforma, symmetrisk om μ\mu
- Standardisering: Z=X−μσ\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
- 68-95-99,7-regelen for ±1σ\pm 1\sigma, ±2σ\pm 2\sigma, ±3σ\pm 3\sigma

Sentralgrensesetninga:
- Gjennomsnitt av nn uavhengige variablar: Xˉ∼N(μ,σ2n)\displaystyle \bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})
- Gjeld for store nn (≥30\geq 30) uansett opphavleg fordeling

Normalapproksimasjon til binomisk:
- B(n,p)≈N(np,np(1−p))B(n, p) \approx N(np, np(1-p)) når np≥5np \geq 5 og n(1−p)≥5n(1-p) \geq 5
- Bruk kontinuitetskorreksjon (±0,5\pm 0{,}5) for betre nøyaktigheit

Viktige z-verdiar: z0,025=1,96z_{0{,}025} = 1{,}96 (95 %), z0,05=1,645z_{0{,}05} = 1{,}645 (90 %), z0,005=2,576z_{0{,}005} = 2{,}576 (99 %)

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.