2.3 Lineære differensiallikninger

Kontoen med både rente og innskot

Differensiallikningar høyrer til matematikk R2 og er fordjupingsstoff i S2.

Du set opp eit spareprogram: kontoen har rente, og i tillegg overfører du eit fast beløp jamt gjennom året. Endringa i saldoen kjem altså frå to kjelder samtidig — ein del som er proporsjonal med saldoen (renta), og ein del som er konstant (innskota). Modellen blir noko sånt som $y' = ry + b$, eller meir generelt likningar der $y'$, $y$ og eit «pådrag» utanfrå inngår lineært.

Slike likningar har eit eige namn. Ei lineær første ordens differensiallikning har forma

$$y' + p(x)y = q(x)$$

der $p(x)$ og $q(x)$ er kjende funksjonar. Ordet lineær siktar til at $y$ og $y'$ berre opptrer i første potens — ingen $y^2$, ingen $\sqrt{y}$, ingen $y \cdot y'$. Funksjonen $q(x)$ på høgresida spelar rolla som ytre pådrag: innskot på kontoen, tilførsel til eit basseng, oppvarming av eit hus.

Kvifor ein ny metode? Separasjon fungerer fint så lenge høgresida faktoriserer pent, men ei likning som $y' + 2xy = x$ lèt seg ikkje separere — $x$- og $y$-delane er vovne saman med addisjon, ikkje multiplikasjon. Lineære likningar treng sitt eige verktøy.

Verktøyet heiter integrerande faktor, og det er noko så sjeldsynt som eit triks som kjennest som magi første gong og som rein systematikk etterpå: vi gangar heile likninga med ein smart vald funksjon som gjer venstresida til den deriverte av eit produkt — og då kan alt integrerast i eitt jafs. Lat oss sjå nøyaktig korleis.

Integrerande faktor

Metoden for å løyse $y' + p(x)y = q(x)$ går i fire trinn.

Trinn 1: Finn den integrerande faktoren $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$.

Trinn 2: Multipliser heile likninga med $\mu(x)$: $\mu y' + \mu p y = \mu q$. Og her skjer trikset: fordi $\mu' = p\mu$ (det er nett slik $\mu$ er konstruert), er venstresida eksakt produktregelen brukt på $\mu y$:

$$\frac{d}{dx}(\mu y) = \mu q$$

Trinn 3: Integrer begge sider: $\mu y = \int \mu q\,dx + C$.

Trinn 4: Løys for $y$: $\displaystyle y = \frac{1}{\mu}\int \mu q\,dx + \frac{C}{\mu}$.

Magien ligg i trinn 2. Venstresida $\mu y' + \mu p y$ er, ledd for ledd, nøyaktig kva produktregelen gjev når vi deriverer $\mu y$: nemleg $\mu y' + \mu' y$, sidan $\mu' = p\mu$. Heile den uhandterlege venstresida kollapsar til éin derivert — og ei likning på forma «derivert av noko = kjend funksjon» blir løyst ved rein integrasjon, akkurat som i kapittel 2.1.

Lat oss sjekke konstruksjonen på eit konkret døme: for likninga $y' + 2y = 4$ er $p(x) = 2$, så $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Multiplisert med $e^{2x}$ blir likninga $e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 4e^{2x}$ — og venstresida er nøyaktig $(e^{2x}y)'$. Kontroller sjølv med produktregelen: $(e^{2x}y)' = e^{2x}y' + 2e^{2x}y$. Stemmer på ein prikk. Resten av utrekninga tek vi i neste seksjon — og der ventar òg ei tolking som gjer svaret interessant for både sparekontoar og samfunnsmodellar.

Løysing, likevekt og stabilitet

Lat oss fullføre dømet $y' + 2y = 4$. Med $\mu = e^{2x}$ har vi $(e^{2x}y)' = 4e^{2x}$. Integrasjon gjev $e^{2x}y = 2e^{2x} + C$, og deling på $e^{2x}$ gjev løysinga

$$y = 2 + Ce^{-2x}$$

Mønsteret er heilt generelt: likninga $y' + ay = b$ med konstante koeffisientar har løysinga $\displaystyle y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}$. Og denne forma fortel ei historie i to delar. Konstantleddet $\displaystyle \frac{b}{a}$ er likevektsløysinga — den konstante løysinga vi finn ved å setje $y' = 0$ (her: $2y = 4$, altså $y = 2$). Leddet $Ce^{-ax}$ er avviket frå likevekta, og for $a > 0$ døyr det eksponentielt ut.

Konsekvensen er slåande: uansett startverdi nærmar alle løysingar seg likevekta $\displaystyle \frac{b}{a}$ når $x \to \infty$. Startar du over, søkk du ned mot henne; startar du under, stig du opp. Vi seier at likevekta er stabil. Med initialvilkår, sei $y(0) = 5$ for likninga $y' + 3y = 6$: likevekta er $\displaystyle \frac{6}{3} = 2$, løysinga er $y = 2 + Ce^{-3x}$, og $y(0) = 2 + C = 5$ gjev $C = 3$, altså $y = 2 + 3e^{-3x}$ — start i 5, eksponentielt glid ned mot 2.

Det er denne strukturen som gjer lineære likningar til arbeidshesten i praktisk modellering. Ein konto der det blir sett inn pengar med fast rate samtidig som det blir trekt gebyr proporsjonalt med saldoen, eit basseng som blir tilført reint vatn medan blandinga renn ut (blandingsproblem), eit hus som blir varma opp mot ei termostatgrense, ein marknad der prisen blir justert mot likevektsnivået — alle har forma $y' + ay = b$, og alle svarar med same kurva: eksponentiell innsving mot $\displaystyle \frac{b}{a}$. Når du ser ein storleik som «flatar ut mot eit nivå», er det ofte ei lineær differensiallikning som ligg bak.

Produktregelen som låste opp likninga

Sparekontoen med både rente og innskot er ikkje lenger noko problem. Lineære første ordens likningar $y' + p(x)y = q(x)$ blir løyste med integrerande faktor $\mu = e^{\int p(x)\,dx}$: multipliser likninga med $\mu$, og venstresida kollapsar — takka vere konstruksjonen $\mu' = p\mu$ — til produktderiverten $(\mu y)'$. Deretter er det berre å integrere og dele på $\mu$. Fire trinn, ingen gjetting.

For konstante koeffisientar fekk du eit resultat verdt å hugse: $y' + ay = b$ har løysinga $\displaystyle y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}$. Strukturen er likevekt pluss avvik. Likevektsløysinga $\displaystyle \frac{b}{a}$ finn du raskast ved å setje $y' = 0$, og for $a > 0$ døyr avviket $Ce^{-ax}$ eksponentielt ut — likevekta er stabil, og alle løysingar flatar ut mot henne, slik $y' + 3y = 6$ med start i 5 gleid ned mot 2 langs $y = 2 + 3e^{-3x}$.

Det er nett denne innsving-mot-nivå-dynamikken du ser i kontoar med faste innskot og gebyr, i blandingsproblem, i oppvarming mot termostat og i prisar som søkjer mot marknadslikevekt. Saman med separasjonsmetoden frå førre kapittel har du no to kraftige løysingsteknikkar — og i neste kapittel løftar vi blikket frå teknikkane til sjølve modellane: eksponentiell og logistisk vekst, og kunsten å velje rett modell for verkelegheita.