2.2 Separable differensiallikninger

Sorter variablane, så løyser likninga seg

Differensiallikningar høyrer til matematikk R2 og er fordjupingsstoff i S2.

I førre kapittel enda vi med eit ubesvart spørsmål. Vi visste at $y = Ce^{kx}$ løyser vekstlikninga $y' = ky$ — vi kunne verifisere det ved innsetjing — men vi hadde ingen metode for å finne løysinga frå botnen av. Det er som å kjenne fasiten utan å kunne utrekninga, og det held ikkje når neste likning ser annleis ut.

I dette kapittelet får du metoden. Han gjeld ein stor og praktisk viktig klasse av likningar: ei differensiallikning blir kalla separabel viss ho kan skrivast på forma

$$\frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$$

altså som eit produkt av éin faktor som berre inneheld $x$, og éin som berre inneheld $y$. Vekstlikninga $y' = ky$ er separabel (med $f(x) = k$ og $g(y) = y$), og det same er til dømes $y' = xy$ og Newtons avkjølingslov.

Namnet røper strategien: vi separerer variablane. Alt som har med $y$ å gjere, blir flytta over til venstre side saman med $dy$; alt som har med $x$ å gjere, blir ståande til høgre med $dx$. Då står det eit integral på kvar side — og integrere, det kan du no.

Tenk på det som å sortere før du reknar: så lenge $x$ og $y$ er blanda saman i same uttrykk, kjem du ingen veg, men i det augneblinken kvar variabel står på si eiga side av likskapsteiknet, tek integralrekninga over og gjer resten av jobben. Lat oss gjere metoden presis og bruke han på likningane som styrer alt frå sparekontoar til kaffikoppar.

Separasjonsmetoden

Oppskrifta for å løyse $\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$ har fire trinn. Trinn 1 — separer: del på $g(y)$ og multipliser med $dx$, slik at $\displaystyle \frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$. Trinn 2 — integrer begge sider: $\displaystyle \int \frac{1}{g(y)}\,dy = \int f(x)\,dx$. Trinn 3 — løys for $y$ om mogleg. Trinn 4 — finn den partikulære løysinga ved å bruke initialvilkåret.

Lat oss køyre metoden på sjølve hovudlikninga: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = ky$ med $y(0) = y_0$ — sparekontoen med kontinuerleg rente, bakteriekulturen, folkesetnaden.

Separer: $\displaystyle \frac{dy}{y} = k\,dx$.

Integrer: $\displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \int k\,dx$ gjev $\ln|y| = kx + C_1$.

Løys for $y$: ta eksponentialfunksjonen på begge sider: $|y| = e^{kx + C_1} = e^{C_1}e^{kx}$. Talet $e^{C_1}$ er berre ein positiv konstant, og når vi slepp absoluttverdien, kan forteiknet bakast inn: $y = Ce^{kx}$, der $C = \pm e^{C_1}$.

Initialvilkår: $y(0) = C e^0 = C = y_0$, altså

$$y = y_0 e^{kx}$$

Der er han — formelen vi berre kunne gjette i førre kapittel, no utleidd i fire ryddige trinn. Legg spesielt merke til handgrepet i trinn 3: frå $\ln|y|$ til $Ce^{kx}$ via eksponentialfunksjonen. Den manøveren går att i nesten alle separable likningar, og det er han som forklarar kvifor eksponentialfunksjonar dominerer vekstmodellane i økonomi og naturvitskap.

Fleire modellar: vekst, halveringstid og kald kaffi

Metoden toler meir enn konstant vekstfaktor. Ta $\displaystyle \frac{dy}{dx} = xy$ med $y(0) = 2$ — her aukar vekstraten med $x$. Separasjon gjev $\displaystyle \frac{dy}{y} = x\,dx$, integrasjon gjev $\displaystyle \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1$, og eksponentialmanøveren gjev $y = Ce^{x^2/2}$. Initialvilkåret fastlegg $C$: $y(0) = C = 2$, så løysinga er

$$y = 2e^{x^2/2}$$

— ein funksjon som veks langt meir valdsamt enn vanleg eksponentiell vekst.

Tilbake til samfunnsmodellane. I løysinga $y = y_0e^{kx}$ har konstanten $k$ ein tvilling som er lettare å kommunisere: tida det tek å doble eller halvere mengda. Set vi $y_0e^{kT} = 2y_0$, får vi $e^{kT} = 2$, altså $kT = \ln 2$. Doblingstida (for $k > 0$) og halveringstida (for $k < 0$) er dermed

$$T = \frac{\ln 2}{|k|}$$

Eit oljefond eller ein folkesetnad med 2 % årleg kontinuerleg vekst ($k = 0{,}02$) doblar seg på $\displaystyle \frac{\ln 2}{0{,}02} \approx 35$ år; eit radioaktivt stoff med $k = -0{,}1$ blir halvert på $\displaystyle \frac{\ln 2}{0{,}1} \approx 6{,}9$ år. Merk det merkverdige: tida er den same uansett kor mykje du startar med.

Til slutt ein klassikar: Newtons avkjølingslov. Ein kaffikopp kjølnar med ein rate proporsjonal med temperaturskilnaden til omgivnadene: $\displaystyle \frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$, der $T_s$ er romtemperaturen. Også denne er separabel — separer med $\displaystyle \frac{dT}{T - T_s} = -k\,dt$ og integrer — og løysinga blir

$$T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$$

Temperaturen fell eksponentielt mot $T_s$, men når han aldri heilt: kurva flatar ut mot romtemperaturen som ein grenseverdi. Same likninga skildrar forresten korleis ein pris justerer seg mot marknadslikevekt — matematikken bryr seg ikkje om det er kaffi eller kroner.

Metoden bak eksponentialfunksjonane

Gåta frå førre kapittel er løyst — og med system, ikkje gjetting. Ei separabel differensiallikning $\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ blir løyst i fire trinn: separer variablane til $\displaystyle \frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$, integrer begge sider, løys for $y$, og bruk initialvilkåret. Nøkkelhandgrepet er overgangen frå $\ln|y| = kx + C_1$ til $y = Ce^{kx}$ via eksponentialfunksjonen — det er den manøveren som gjer eksponentialfunksjonar til morsmålet til vekstmodellane.

Hovudresultata er verdt å kunne utanåt. Vekstlikninga $y' = ky$ har løysinga $y = y_0e^{kx}$ — vekst for $k > 0$, forfall for $k < 0$ — og doblings- eller halveringstida er $\displaystyle T = \frac{\ln 2}{|k|}$, uavhengig av startmengda. Likninga $y' = xy$ viste at metoden òg taklar variabel vekstfaktor, med løysingar som $2e^{x^2/2}$. Og Newtons avkjølingslov $\displaystyle \frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ gav $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$: eksponentiell tilnærming til omgivnadene, anten det gjeld kaffitemperatur eller prisar på veg mot likevekt.

Men ikkje alle likningar lèt seg separere. Kva med ein sparekonto der det både løper rente og blir sett inn eit fast beløp kvar månad — $y' = ry + b$? Prøv å separere... det går, men det finst ein meir generell teknikk som òg tek likningar der separasjon er umogleg. Han heiter integrerande faktor og ventar i neste kapittel om lineære differensiallikningar.