2.1 Introduksjon til differensiallikninger

Likningar der svaret er ein funksjon

Differensiallikningar høyrer til matematikk R2 og er fordjupingsstoff i S2.

Korleis klarer Statistisk sentralbyrå å seie noko om kor mange vi blir i Noreg i 2050? Korleis reknar Folkehelseinstituttet ut kor raskt eit virus vil spreie seg? Og korleis veit banken kva lånet ditt veks til? Fellesnemnaren er at ingen av dei kjenner framtida direkte — men dei kjenner endringa. Dei veit kor fort folkesetnaden veks i dag, kor mange som blir smitta per veke, kor mykje renter som blir lagde til per år. Utfordringa er å gå frå kunnskap om endringa til kunnskap om sjølve utviklinga.

Verktøyet i matematikken for nett dette heiter differensiallikningar. Ei differensiallikning er ei likning som inneheld ein ukjend funksjon og éin eller fleire av dei deriverte. Det er ein ny type likning: i likningane du har løyst til no, var den ukjende eit tal — no er den ukjende ein heil funksjon.

Det enklaste dømet: $y' = 2x$ er ei differensiallikning. Ho spør: «Kva funksjon har $2x$ som derivert?» Etter integralkapittelet svarar du på refleks: $y = x^2 + C$. Kvar verdi av $C$ gjev ei løysing, så likninga har uendeleg mange løysingar — ein heil familie av parablar.

I dette kapittelet lærer du omgrepsapparatet: kva orden tyder, skilnaden på generell og partikulær løysing, korleis initialvilkår plukkar ut den eine løysinga verkelegheita følgjer, og korleis du verifiserer at ein funksjon faktisk løyser ei likning. Til slutt ser vi korleis verkelege vekstprosessar blir omsette til differensiallikningar — omsetjinga som heile resten av hovudkapittelet byggjer på.

Orden, løysingar og initialvilkår

Lat oss rydde omgrepa på plass. Ordenen til ei differensiallikning er den høgaste deriverte som førekjem: $y' = f(x)$ er av første orden, $y'' = f(x)$ av andre orden. Løysingane kjem i to variantar. Den generelle løysinga inneheld ein vilkårleg konstant $C$ (eller fleire) og skildrar alle funksjonar som passar i likninga. Ei partikulær løysing er éin bestemt funksjon frå denne familien, der konstanten er fastlagd av eit initialvilkår — ein kjend verdi som $y(0) = 5$.

Likningar på forma $y' = f(x)$ løyser vi med direkte integrasjon. Lat oss ta heile arbeidsgangen på likninga $y' = 3x^2$ med initialvilkåret $y(0) = 5$. Først den generelle løysinga, ved å integrere begge sider:

$$y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C$$

Så den partikulære: initialvilkåret krev $y(0) = 0^3 + C = 5$, altså $C = 5$, og dermed

$$y = x^3 + 5$$

Tenk på det som GPS-koordinatar: den generelle løysinga er vegnettet, initialvilkåret fortel kvar du startar, og den partikulære løysinga er ruta di.

To ting til. For det første: ei andreordens likning som $y'' = 6x$ må integrerast to gonger og får då to frie konstantar — ho treng difor to vilkår for å bli eintydig. For det andre, eit undervurdert triks: å verifisere ei løysing er mykje enklare enn å finne henne. Påstår nokon at $y = x^3 + 5$ løyser $y' = 3x^2$, deriverer du berre: $y' = 3x^2$. Stemmer. Innsetjing av funksjonen og den deriverte i likninga er alltid den endelege kvalitetskontrollen.

Når endringa er avhengig av tilstanden

Likninga $y' = 3x^2$ var grei, men òg litt spesiell: endringa var ein rein funksjon av $x$. Dei verkeleg interessante modellane oppstår når endringsraten er avhengig av tilstanden sjølv — og det er regelen snarare enn unntaket i samfunnet rundt deg. Folkevekst: jo fleire innbyggjarar, desto fleire fødslar per år. Radioaktivt forfall: jo meir materiale, desto fleire atom henfell per sekund. Newtons avkjølingslov: jo varmare kaffien er i forhold til rommet, desto raskare kjølnar han. Økonomisk vekst med rente: jo meir kapital på kontoen, desto meir renter. Epidemiar: jo fleire smitta, desto raskare spreiing.

Lat oss omsetje den vanlegaste formuleringa til matematikk. Ein bakteriekultur «veks med ein rate proporsjonal med storleiken». Kall talet på bakteriar ved tid $t$ for $N(t)$. Raten er $\displaystyle \frac{dN}{dt}$, og «proporsjonal med storleiken» tyder lik ein konstant gonger $N$:

$$\frac{dN}{dt} = kN$$

der $k > 0$ er vekstkonstanten. Dette er den klassiske modellen for eksponentiell vekst — den differensiallikninga som ligg bak eksponentialmodellane du kjenner frå S1 og S2. Legg merke til kor lite som skulle til: éi setning på norsk blei éi linje matematikk. Den omsetjinga — frå «veks proporsjonalt med...» til $y' = ky$ — er sjølve kjernekompetansen i modellering.

Kva er løysinga? Du kan allereie verifisere ein kandidat: prøv $y = Ce^{kx}$. Derivasjon gjev $y' = Cke^{kx} = k \cdot Ce^{kx} = ky$. Han passar! Eksponentialfunksjonen er funksjonen der endringa er proporsjonal med han sjølv — difor dukkar han opp overalt, frå renteberekning til folketalsframskrivingar. Korleis ein finn denne løysinga systematisk (og ikkje berre gjettar og verifiserer), er temaet for neste kapittel om separable likningar. Med forteiknet snudd, $k < 0$, skildrar same likninga radioaktivt forfall og andre prosessar som døyr ut.

Frå endring til utvikling

Du starta med SSB, FHI og banken — alle med same problemet: dei kjenner endringa, men vil vite utviklinga. No har du rammeverket deira. Ei differensiallikning er ei likning med ein ukjend funksjon og den deriverte, og ordenen er den høgaste deriverte som inngår. Den generelle løysinga er ein familie av funksjonar med fri konstant $C$; eit initialvilkår som $y(0) = 5$ fastlegg konstanten og gjev den partikulære løysinga — den eine kurva verkelegheita følgjer. Andreordens likningar treng tilsvarande to vilkår.

Verktøya så langt er to. Likningar på forma $y' = f(x)$ blir løyste ved direkte integrasjon, slik $y' = 3x^2$ med $y(0) = 5$ gav $y = x^3 + 5$. Og kvar føreslått løysing kan verifiserast ved innsetjing — deriver kandidaten, set inn, og sjekk at likninga går opp. Den kontrollen er gratis og bør bli ein vane.

Viktigast av alt lærte du omsetjinga som driv all modellering: «veks med ein rate proporsjonal med storleiken» tyder $\displaystyle \frac{dN}{dt} = kN$, med løysingsfamilien $y = Ce^{kx}$ — eksponentiell vekst når $k > 0$, forfall når $k < 0$. Folkesetnad, renter, radioaktivitet og epidemiar snakkar alle dette språket.

Men å gjette og verifisere er ingen metode i lengda. I neste kapittel lærer du den systematiske teknikken som utleier løysingane: separable differensiallikningar.