8.4 Modellering med reelle datasett

Velg modelltype, vurder kvalitet med R² og residualer, og valider mot ekte samfunnsøkonomiske data fra SSB.

70 min

15 oppgaver

ModellvalgDeterminasjonskoeffisientResidualerValideringSSB-data

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Matematisk modellering

Brukes videre i

8.5Digitale verktøy i modellering

Frå rå data til ein brukbar modell

Når du jobbar med ekte samfunnsøkonomiske data, gir verktøya (GeoGebra, Excel, Python) deg ei regresjonslinje på eit blunk. Men det betyr ikkje at modellen er god. Du må kunne velje rett modelltype, vurdere kvaliteten og validere før du brukar han til noko.

Modell	Formel	Når han passar
Lineær	$y = ax + b$	Konstant absolutt vekst per tidseining
Eksponentiell	$y = a \cdot b^x$	Konstant prosentvis vekst (renter, folketal)
Potens	$y = a \cdot x^b$	Skalaforhold (areal/volum, produksjonsfunksjonar)
Logaritmisk	$y = a \ln x + b$	Avtakande vekst (læring, metting, prisresponsar)

Vel modelltype basert på både matematisk tilpassing og fagleg forståing. Folkevekst er sjeldan lineær. Bustadprisar er sjeldan potensfunksjonar. Dersom modellen ikkje passar fagleg, er han ikkje god uansett

R^2

Determinasjonskoeffisienten

R^2

R^2 = 1 - \frac{\text{SS}_{\text{res}}}{\text{SS}_{\text{tot}}}

1. Plott dataene. Teikn eit spreiingsplott. Kva form har punkta?

2. Vel kandidatmodellar. Typisk 2–3 ulike typar som kan passe.

3. Tilpass modellane i GeoGebra/Excel/Python. Noter $R^2$ for kvar.

4. Sjekk residualane for kvar modell. Vel den som har høg $R^2$ og tilfeldig residualplott.

5. Vurder fagleg. Gir modellen meining i konteksten? Er ekstrapolering rimeleg?

6. Valider. Dersom du har nok data, hald tilbake dei siste 10–20 % og test prediksjonen. Om ikkje, drøft uvissa i prediksjonen.

✏️Eksempel 1: KPI-utvikling i Noreg (SSB-data)

Konsumprisindeksen (KPI) for Noreg, basisår 2015 = 100, frå SSB:

År	2015	2017	2019	2021	2023
KPI	100	105{,}5	110{,}8	117{,}9	132{,}4

Vel ein modell, rekn

R^2

og diskuter.

Vi prøver to modellar (med $t =$ år etter 2015):

Lineær: $\hat{y} = 3{,}9t + 99{,}2$ . Residualar: $0{,}8;\ -1{,}5;\ -1{,}0;\ 1{,}1;\ 1{,}0$ . $R^2 \approx 0{,}97$ .

Eksponentiell: $\hat{y} = 99{,}3 \cdot 1{,}036^t$ . $R^2 \approx 0{,}99$ .

Vurdering: Begge modellane har høg $R^2$ , men den eksponentielle er marginalt betre. Fagleg sett er prisvekst typisk prosentvis (inflasjon), så eksponentiell modell er meir rimeleg.

Tolking av eksponentiell modell: vekstfaktor 1,036 betyr ca. 3,6 % årleg prisvekst i snitt. Dette er konsistent med inflasjonsmålet til Noregs Bank på ca. 2 %, men speglar den uvanleg sterke prisveksten i 2022–2023.

✏️Eksempel 2: Når lineær er feil

Tabellen viser arbeidsløyse i Noreg i utvalde år (% av arbeidsstyrken, SSB):

År	2014	2016	2018	2020	2022
Løyse	3{,}5	4{,}7	3{,}8	4{,}6	3{,}2

Kan vi modellere dette lineært?

Spreiingsplottet viser ingen tydeleg trend — verdiar hoppar opp og ned. Arbeidsløysa varierer med konjunkturar.

Lineær regresjon ( $t =$ år etter 2014): $\hat{y} = -0{,}075t + 4{,}2$ . $R^2 \approx 0{,}03$ . Modellen forklarer nesten ingenting.

Konklusjon: Lineær modell passar ikkje. Korkje eksponentiell eller potens vil hjelpe — dataene har ikkje ein monoton trend, men syklusar. Det er ei grense for kva regresjon kan fange opp.

Rett konklusjon i ein rapport: «Vi finn ingen lineær trend i arbeidsløysa i denne perioden. Arbeidsløyse heng saman med konjunktursyklusar, kriser (pandemien) og strukturelle endringar som ikkje blir fanga av enkle regresjonsmodellar.»

Det er også eit godt resultat å seie at ein modell ikkje fungerer.

Hugsar du frå 7.4: residualplott viser kva $R^2$ ikkje kan sjå.

For kvar modell du tilpassar, teikn residualplott og spør:

- Er residualane tilfeldig spreidde?
- Er spreiinga jamn?
- Finst det uteliggarar?

Vel du modellen som passar fagleg, har høg $R^2$ og tilfeldig residualplott — då har du gjort ein god jobb.

Ein modell som er tilpassa perfekt til dei dataene han er bygd på, kan likevel vere dårleg på nye data. Det blir kalla overtilpassing.

Enkel validering: Hald tilbake dei siste 1–3 datapunkta. Tilpass modellen på resten. Bruk modellen til å predikere dei tilbakehaldne verdiane. Kor langt frå bommar du?

For samfunnsøkonomiske data: Validering er spesielt viktig fordi mekanismane endrar seg. Ein modell som er tilpassa 2010–2019 treng ikkje gjelde i 2024. Ekstrapolering må diskuterast.

Ekstrapolering — pass på!

Modellar er vanlegvis pålitelege innanfor dataområdet dei vart tilpassa til (interpolering). Utanfor (ekstrapolering) er dei mykje meir usikre.

Klassisk feil: Lineær regresjon på BNP 2010–2019 ekstrapolert til 2030. Modellen kan gi eit tal som ser fornuftig ut, men ignorerer pandemiar, krigar, teknologiskift, klimaendringar og andre disrupsjonar.

Tommelfingerregel: Ekstrapoler aldri lenger enn 10–20 % utanfor dataområdet utan å diskutere uvissa eksplisitt.

📝Oppgave 1

Ei bedrift har omsetning (mill. kr): 2018: 5,2; 2019: 5,8; 2020: 6,1; 2021: 6,9; 2022: 7,7.

Rekn årleg prosentvis vekst.

Kva modelltype passar best?

Tilpass modellen og rapporter $b$ .

📝Oppgave 2

Datasett: $(1, 200), (2, 141), (4, 100), (8, 71), (16, 50)$ .

Skildra mønsteret.

Sjekk om $y = 200 \cdot x^{-1/2}$ passar.

Kva er forholdet mellom $y$ -verdiar når $x$ firedoblast?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Lineær modell $\hat{y} = 3x + 5$ er tilpassa 6 datapunkt: $(1, 9), (2, 11), (3, 14), (4, 16), (5, 21), (6, 24)$ .

Rekn residualane.

Rekn $R^2$ gitt $\bar{y} = 15{,}83$ , $\text{SS}_{\text{tot}} \approx 166{,}8$ .

Vurder modellen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Tabellen viser SSB-data for konsumprisindeks for matvarer i Noreg (2015 = 100):

År	2018	2020	2022	2024
Indeks	105	110	121	138

Teikn eit grovt spreiingsplott (med $t$ = år etter 2018) og foreslå modelltype.

Tilpass eksponentiell modell og vurder $R^2$ .

Kva vekstfaktor svarar dette til, og kva betyr det?

Diskuter risikoen ved å ekstrapolere modellen til 2030.

📝Oppgave 5

Tabellen viser oljepris (Brent, gjennomsnitt USD/fat) i utvalde år:

År	2014	2016	2018	2020	2022
Pris	99	44	71	42	99

Kva modelltype passar?

Rekn $R^2$ for lineær modell og kommenter.

Kva ville du skrive i prosjektrapporten?

📝Oppgave 6

Du ønskjer å lage eit realløns-anslag. Tabellen viser gjennomsnittleg årsløn for fulltidsarbeidande i Noreg (SSB, tusen kr):

År	2015	2018	2021	2024
Løn	528	568	610	700
KPI (2015=100)	100	109	119	142

Rekn nominell lønsvekst totalt og årleg.

Rekn reallønsvekst.

Tilpass eksponentiell modell til realløna og bruk han til å predikere 2030.

Vurder rimelegheita fagleg.

📝Oppgave 7

To modellar for same datasett gir:

- Modell A (lineær): $R^2 = 0{,}95$ , residualplott viser tydeleg U-form
- Modell B (eksponentiell): $R^2 = 0{,}92$ , residualar tilfeldig spreidde

Vel modell og grunngi.

📝Oppgave 8

Du ønskjer å modellere talet på el-bilar i Noreg over tid (2015–2024 frå SSB):

År	2015	2017	2019	2021	2023
El-bilar (tusen)	75	142	261	460	754

Kva modelltypar er kandidatar? Grunngi.

Tilpass eksponentiell modell og rapporter $R^2$ .

Bruk modellen til å predikere 2027 og diskuter uvissa.

Kva ville ein logistisk modell sagt?

📝Oppgave 9

Du har 12 datapunkt. Korleis kan du bruke dei til å validere ein modell?

📝Oppgave 10

Drøftingsoppgåve: Kvifor er det farleg å bruke regresjonsmodellar på samfunnsøkonomiske data utan å diskutere strukturelle endringar (regimeskift)?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Frå rådata til modell: Reins dataene, plott dei, vel modellform, tilpass med regresjon og vurder med $R^2$ og residualplott.
- Reelle datakjelder: SSB, Noregs Bank og andre opne kjelder gir ekte tal — KPI, bustadprisar, folketal.
- Ekstrapolering: Prediksjonar utanfor dataområdet er usikre — særleg med eksponentielle modellar.
- Uteliggarar og datakvalitet: Undersøk avvikande verdiar før du modellerer; medianen er meir robust enn gjennomsnittet.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Rådata	Ubehandla observasjonar
KPI	Konsumprisindeksen (SSB)
Ekstrapolering	Prediksjon utanfor dataområdet
Robust mål	Mål som toler uteliggarar (median)

Viktige formlar

R^2

: forklart variasjon — men sjekk alltid residualane
- Indeksregulering: ny verdi

=

gammal

\displaystyle \cdot \frac{I_{ny}}{I_{gammal}}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.