8.2 Lineær programmering | Matematikk S1

Optimering med lineære betingelser og grafisk løsning.

55 min

19 oppgaver

Lineær programmeringTillatt områdeHjørnepunktMålfunksjonOptimering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Matematisk modellering

Brukes videre i

8.3Lineær optimering utvidet

Kvifor numeriske metodar?

Mange likningar kan ikkje løysast eksakt med algebra. Til dømes har $x = \cos x$ inga analytisk løysing. Numeriske metodar gjev oss tilnærma løysingar med vilkårleg nøyaktigheit.

Vi ser på tre viktige metodar:
1. Halveringsmetoden - enkel og påliteleg
2. Newtons metode - rask og kraftig
3. Numerisk integrasjon - rekne ut areal når vi ikkje finn den antideriverte

Halveringsmetoden (biseksjonsmetoden)

Halveringsmetoden byggjer på skjeringspunktsetninga: Dersom $f$ er kontinuerleg på $[a, b]$ og $f(a)$ og $f(b)$ har motsett forteikn, finst det minst eitt nullpunkt i intervallet.

Algoritme:
1. Start med eit intervall $[a, b]$ der $f(a)$ og $f(b)$ har motsett forteikn
2. Rekn ut midtpunktet $\displaystyle m = \frac{a + b}{2}$
3. Rekn ut $f(m)$
4. Dersom $f(m) = 0$ (eller nær nok): ferdig!
5. Dersom $f(a)$ og $f(m)$ har motsett forteikn: nullpunktet er i $[a, m]$
6. Elles: nullpunktet er i $[m, b]$
7. Gjenta frå steg 2 med det nye intervallet

Halveringsmetoden

f

✏️Eksempel 1: Halveringsmetoden

Finn nullpunktet til $f(x) = x^3 - 2x - 5$ i intervallet $[2, 3]$ med 4 halveringar.

f(2) = 8 - 4 - 5 = -1 < 0

f(3) = 27 - 6 - 5 = 16 > 0

. Motsett forteikn ✓

Halvering 1: $m = 2{,}5$ , $f(2{,}5) = 15{,}625 - 5 - 5 = 5{,}625 > 0$ . Nytt: $[2, 2{,}5]$

Halvering 2: $m = 2{,}25$ , $f(2{,}25) = 11{,}39 - 4{,}5 - 5 = 1{,}89 > 0$ . Nytt: $[2, 2{,}25]$

Halvering 3: $m = 2{,}125$ , $f(2{,}125) = 9{,}60 - 4{,}25 - 5 = 0{,}35 > 0$ . Nytt: $[2, 2{,}125]$

Halvering 4: $m = 2{,}0625$ , $f(2{,}0625) \approx 8{,}77 - 4{,}125 - 5 = -0{,}35 < 0$ . Nytt: $[2{,}0625, 2{,}125]$

Nullpunktet er ca. $x \approx 2{,}09$ . Feilgrense: $\displaystyle \frac{1}{2^4} = 0{,}0625$ .

📝Oppgave 1

Vis at $f(x) = x^2 - 3$ har eit nullpunkt i intervallet $[1, 2]$ . Utfør 3 halveringar.

📝Oppgave 2

Bruk halveringsmetoden til å finne ei løysing av $\cos x = x$ (dvs. nullpunkt til $f(x) = \cos x - x$ ) i $[0, 1]$ med 4 halveringar. (Bruk kalkulator.)

📝Oppgave 3

Kor mange halveringar trengst for å få feilgrense under $0{,}001$ når startintervallet er $[0, 1]$ ?

Newtons metode

Newtons metode er raskare enn halveringsmetoden, men krev at vi kan derivere $f$ .

Idé: Frå eit startpunkt $x_0$ trekkjer vi tangentlinja til $f$ og finn der tangenten kryssar $x$ -aksen. Dette gjev eit nytt, betre estimat $x_1$ .

Newtons metode

x_0

✏️Eksempel 2: Newtons metode

Finn $\sqrt{2}$ ved å løyse $f(x) = x^2 - 2 = 0$ med Newtons metode. Start med $x_0 = 1$ .

f(x) = x^2 - 2

f'(x) = 2x

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n}$

Steg 1: $\displaystyle x_1 = 1 - \frac{1 - 2}{2} = 1 + 0{,}5 = 1{,}5$

Steg 2: $\displaystyle x_2 = 1{,}5 - \frac{2{,}25 - 2}{3} = 1{,}5 - 0{,}0833 = 1{,}4167$

Steg 3: $\displaystyle x_3 = 1{,}4167 - \frac{2{,}007 - 2}{2{,}833} = 1{,}4167 - 0{,}0025 = 1{,}4142$

Etter berre 3 steg har vi $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ , korrekt til 4 desimalar!

Når Newtons metode feilar

Newtons metode kan feile dersom:
- Startverdien er for langt frå nullpunktet
- $f'(x_n) = 0$ (horisontal tangent)
- Funksjonen har fleire nullpunkt (metoden kan konvergere mot feil nullpunkt)

Tips: Bruk gjerne halveringsmetoden først for å finne eit godt startestimat, og deretter Newtons metode for å betre nøyaktigheita.

📝Oppgave 4

Bruk Newtons metode med $x_0 = 2$ for å finne nullpunktet til $f(x) = x^3 - 2x - 5$ . Utfør 3 iterasjonar.

📝Oppgave 5

Bruk Newtons metode til å finne $\sqrt[3]{10}$ (dvs. løys $x^3 = 10$ ). Start med $x_0 = 2$ , utfør 3 iterasjonar.

📝Oppgave 6

Forklar geometrisk kva Newtons metode gjer. Kvifor konvergerer han raskare enn halveringsmetoden? Når kan han feile?

Numerisk integrasjon

Nokre gonger kan vi ikkje finne den antideriverte analytisk. Då bruker vi numerisk integrasjon for å tilnærme $\int_a^b f(x)\,dx$ .

Grunnidéen er å dele arealet under kurva inn i enkle geometriske figurar (rektangel eller trapes) og summere areala.

Trapesmetoden

[a, b]

✏️Eksempel 3: Trapesmetoden

Rekn ut $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ med trapesmetoden og $n = 4$ .

\displaystyle h = \frac{1-0}{4} = 0{,}25

. Punkt:

x_0=0

x_1=0{,}25

x_2=0{,}5

x_3=0{,}75

x_4=1

$x_i$	$f(x_i) = e^{-x_i^2}$
0	1
0,25	$e^{-0{,}0625} \approx 0{,}9394$
0,5	$e^{-0{,}25} \approx 0{,}7788$
0,75	$e^{-0{,}5625} \approx 0{,}5698$
1	$e^{-1} \approx 0{,}3679$

I \approx \frac{0{,}25}{2}[1 + 2(0{,}9394) + 2(0{,}7788) + 2(0{,}5698) + 0{,}3679]

= 0{,}125 \cdot [1 + 1{,}8788 + 1{,}5576 + 1{,}1396 + 0{,}3679] = 0{,}125 \cdot 5{,}9439 \approx 0{,}7430

(Eksakt verdi:

\approx 0{,}7468

. Feil:

0{,}5\,\%

Ein enklare, men mindre nøyaktig metode er rektangelmetoden (midtpunktsregelen):

$\int_a^b f(x)\,dx \approx h \cdot \sum_{i=1}^{n} f\!\left(x_{i-1} + \frac{h}{2}\right)$

Her bruker vi funksjonsverdien i midtpunktet av kvart delintervall. Trapesmetoden er vanlegvis meir nøyaktig for same talet på delintervall.

📝Oppgave 7

Rekn ut $\int_0^2 x^2\,dx$ med trapesmetoden og $n = 4$ . Samanlikn med eksakt verdi.

📝Oppgave 8

Rekn ut $\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ med trapesmetoden og $n = 4$ . Samanlikn med eksakt verdi $\ln 3 \approx 1{,}0986$ .

📝Oppgave 9

Farten til ein bil (km/h) blir målt kvart 10. sekund: 0, 25, 45, 60, 70, 75, 78. Bruk trapesmetoden til å estimere strekninga som er tilbakelagd i dei 60 sekunda. (Hugs å rekne om einingar.)

📝Oppgave 10

Kva skjer med nøyaktigheita i trapesmetoden når vi aukar talet på delintervall $n$ ?

📝Oppgave 11

Bruk både halveringsmetoden (3 steg) og Newtons metode (2 steg) for å finne nullpunktet til $f(x) = e^x - 3x$ i $[1, 2]$ . Samanlikn resultata.

📝Oppgave 12

Straumen gjennom ein krets blir målt kvart 0,1 sekund over 0,5 sekund: $I(0)=0$ , $I(0{,}1)=3{,}2$ , $I(0{,}2)=5{,}1$ , $I(0{,}3)=4{,}8$ , $I(0{,}4)=2{,}9$ , $I(0{,}5)=0{,}5$ (ampere). Bruk trapesmetoden til å rekne ut total ladning $Q = \int_0^{0{,}5} I(t)\,dt$ (i coulomb).

📝Oppgave 13

Rekn ut $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ med trapesmetoden og $n = 6$ . Samanlikn med eksakt verdi 2.

📝Oppgave 14

Samanlikn halveringsmetoden og Newtons metode langs tre aksar: konvergenshastigheit, pålitelegheit og krav til funksjonen.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Halveringsmetoden: Finn eit intervall $[a, b]$ med forteiknsskifte for $f$ , og halver intervallet gong på gong. Påliteleg, men langsam. Feilgrense: $\displaystyle \frac{b-a}{2^n}$ .
- Newtons metode: $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ — svært rask når startverdien er god, men kan feile dersom $f'(x_n) \approx 0$ .
- Trapesmetoden: Tilnærmar areal under graf med trapes: $\displaystyle T = \frac{h}{2}\bigl(f_0 + 2f_1 + \ldots + 2f_{n-1} + f_n\bigr)$ .
- Kvifor numerikk: Mange likningar og areal kan ikkje løysast eksakt — numeriske metodar gjev kontrollerbare tilnærmingar.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Halveringsmetoden	Intervallhalvering med forteiknstest
Newtons metode	Tangentbasert iterasjon
Trapesmetoden	Numerisk integrasjon
Feilgrense	Garantert maksimal feil

Viktige formlar

- Halvering: feil

\leq \dfrac{b-a}{2^n}

- Newton:

x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}

- Trapes:

T = \dfrac{h}{2}(f_0 + 2f_1 + \ldots + f_n)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.