7.4 Residualanalyse

Bruk residualer og residualplott til å vurdere modellkvalitet og avgjøre når en annen modelltype bør prøves.

50 min

17 oppgaver

ResidualResidualplottModellvurderingUteliggere

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Lineær regresjon

Kvifor er ikkje $R^2$ åleine nok?

I 7.1 brukte vi $R^2$ til å seie kor godt regresjonslinja passar. Ein høg $R^2$ ser fin ut, men fortel ikkje heile historia. To datasett kan ha same $R^2$ , men det eine kan likevel vere håplaust dårleg modellert.

For å vere sikre på at modellen er god, må vi sjå på residuala — avvika mellom det vi observerte og det modellen seier.

Residual

\hat{y} = ax + b

Ein god regresjonsmodell har residual som

- ligg tilfeldig spreidde rundt null,
- har omtrent same spreiing for små og store $x$ -verdiar,
- ikkje viser noko systematisk mønster (ingen kurvatur, inga trakt, inga bølgje).

Viss residuala viser eit mønster, tyder det at modellen ikkje har fanga opp alt som ligg i dataene. Då bør vi prøve ein annan modelltype.

Residualplott

e_i

1. Tilfeldig sky rundt null — modellen passar godt. Inga handling nødvendig.

2. U-form eller boge — den lineære modellen manglar kurvatur. Prøv andregrads-, eksponentiell eller potensmodell.

3. Trakt (vifteform) — spreiinga er ujamn. Lågare x-verdiar gir små residual, høgare x-verdiar gir store. Vurder om $y$ bør transformerast ( $\ln y$ ) eller om modelltypen er feil.

4. Eit fåtal punkt med svært store residual — uteliggjarar. Sjekk om det er målefeil i datasettet, eller om punktet er ein reell avvikande observasjon.

✏️Eksempel 1: Rekne ut residual

For datasettet $(1, 9), (2, 11), (3, 14), (4, 16), (5, 21), (6, 24)$ er regresjonslinja $\hat{y} = 3x + 5{,}5$ .

Rekn ut residuala og vurder om ein lineær modell passar.

Tabell over $\hat{y}_i$ og $e_i$ :

$x_i$	$y_i$	$\hat{y}_i$	$e_i$
1	9	8{,}5	0{,}5
2	11	11{,}5	$-0{,}5$
3	14	14{,}5	$-0{,}5$
4	16	17{,}5	$-1{,}5$
5	21	20{,}5	0{,}5
6	24	23{,}5	0{,}5

Residuala er små og byter forteikn (

+, -, -, -, +, +

). Det er ikkje eit tydeleg systematisk mønster, og

\sum e_i = 0

som venta. Lineær modell passar godt.

✏️Eksempel 2: Når residuala avslører at modellen er feil

Ein forskar tilpassar ein lineær modell $\hat{y} = 4x + 2$ til datasettet:

$x$	1	2	3	4	5	6
$y$	5	7	12	18	27	38

Rekn ut residuala og vurder modellen.

Tabell:

$x$	$y$	$\hat{y}$	$e = y - \hat{y}$
1	5	6	$-1$
2	7	10	$-3$
3	12	14	$-2$
4	18	18	0
5	27	22	5
6	38	26	12

Residuala har eit systematisk mønster: store negative for små

x

, store positive for store

x

. Plottet ville vist ei tydeleg U-/boge-form.

R^2

kan likevel vere ganske høg (

\approx 0{,}9

) fordi den lineære trenden fangar noko. Men residuala avslører at ein andregrads- eller eksponentiell modell ville passe betre.
Konklusjon: Den lineære modellen blir forkasta til fordel for ikkje-lineær.

R^2

gir eitt enkelt tal — ei oppsummering. Residualplott gir eit bilete av kva som faktisk skjer punkt for punkt.

Bruk alltid begge:

- Høg $R^2$ + tilfeldig residualplott $\Rightarrow$ god modell.
- Høg $R^2$ + systematisk mønster $\Rightarrow$ misvisande. Modellen er ikkje rett type.
- Låg $R^2$ + tilfeldig residualplott $\Rightarrow$ rett modelltype, men dataene har mykje støy.
- Låg $R^2$ + systematisk mønster $\Rightarrow$ feil modelltype og mykje støy. Start på nytt.

✏️Eksempel 3: Uteliggjar i eit datasett

Eit datasett over månadleg straumforbruk og utetemperatur gir éin observasjon med residual på $-15{,}0$ kWh, medan alle andre residual ligg mellom $-2$ og $+2$ kWh.

Korleis bør dette handterast?

Residualet er svært stort samanlikna med dei andre — observasjonen er ein uteliggjar.

Praktisk handtering:

1. Sjekk dataene. Er det ein målefeil eller skrivefeil? Var det ein spesiell månad (ferie, straumstans, ny målar)?
2. Viss målefeil: rett opp eller fjern observasjonen, og køyr regresjonen på nytt.
3. Viss reell, men spesiell hending: dokumenter henne, men vurder å halde henne utanfor modellen — og forklar valet i rapporten.
4. Viss du ikkje veit: rapporter resultat både med og utan uteliggjaren slik at lesaren ser effekten.

Uteliggjarar må aldri fjernast berre fordi dei er ubehagelege. Grunngi alltid valet.

GeoGebra har innebygd støtte for residual:

1. Skriv inn punkta som ei liste, t.d. data = {(1,9),(2,11),(3,14),(4,16),(5,21),(6,24)}.
2. Lag regresjonslinja: f = FitLine(data).
3. Rekn ut residuala: Residualer = Sequence(y(Element(data, k)) - f(x(Element(data, k))), k, 1, Length(data)).
4. Lag residualpunkt: Sequence((x(Element(data, k)), Element(Residualer, k)), k, 1, Length(data)).
5. Teikn $e = 0$ -linja som referanse.

I Excel: legg til ei kolonne =B2-(SLOPE*A2+INTERCEPT) og lag spreiingsplott av residuala mot $x$ .

I Python: residuals = y - (a*x + b) og plt.scatter(x, residuals).

📝Oppgave 1

For datasettet $(1, 4), (2, 6), (3, 9), (4, 11), (5, 14)$ er regresjonslinja $\hat{y} = 2{,}5x + 1{,}3$ .

Rekn ut residuala for alle fem punkt.

Verifiser at $\sum e_i \approx 0$ .

Vurder om modellen passar.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Ein lineær modell $\hat{y} = 0{,}8x + 50$ er tilpassa til kroppshøgd og skostorleik. For ein person med $x = 175$ cm er $y = 42$ .

Kva er $\hat{y}$ ?

Kva er residualet?

Kva fortel det enorme residualet oss?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Eit residualplott viser at residuala er små for $x$ -verdiar mellom 0 og 10, men aukar jamt med $x$ heilt opp til $|e| \approx 30$ ved $x = 50$ . Kva fortel dette?

📝Oppgave 4

To modellar for same datasett gir:

- Modell A: lineær, $R^2 = 0{,}94$ , residualplott viser tydeleg U-form.
- Modell B: andregrad, $R^2 = 0{,}91$ , residualplott er tilfeldig spreidd.

Kva for ein modell bør føretrekkjast?

📝Oppgave 5

Tabellen viser SSB-data for prisindeks for nye einebustader (2015 = 100):

År	2015	2017	2019	2021	2023
Indeks	100	110	117	132	138

Ei lineær regresjonslinje (med

t =

år etter 2015) er

\hat{y} = 4{,}9t + 100{,}2

Rekn ut residuala.

Er det noko systematisk mønster?

Kva slags reelle hendingar i 2020–2021 kunne forklart avviket?

📝Oppgave 6

Ei gruppe elevar har samla inn data om talet på kundar per dag og inntekter. Regresjonsmodellen $\hat{y} = 250x + 1200$ gir $R^2 = 0{,}88$ . Når dei teiknar residualplottet ser dei eit tydeleg U-forma mønster.

Kva skal dei gjere, og korleis kan dei grunngi det i prosjektrapporten?

📝Oppgave 7

For ein regresjonsmodell på eit datasett med

n = 8

punkt er residuala:

$-0{,}3,\ 0{,}1,\ -0{,}2,\ 0{,}4,\ -0{,}1,\ 0{,}3,\ -0{,}5,\ 0{,}3$

Rekn ut $\sum e_i$ og kontroller at modellen er tilpassa korrekt.

Rekn ut $\text{SS}_{\text{res}} = \sum e_i^2$ .

Viss $\text{SS}_{\text{tot}} = 8{,}2$ , finn $R^2$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Ein elev har tilpassa ein eksponentiell modell $\hat{y} = 50 \cdot 1{,}05^x$ til årleg BNP-vekst. Residualplottet viser ei lett bølgjeform rundt nullinja.

Kan modellen brukast til prediksjon? Drøft.

📝Oppgave 9

Du har gjennomført regresjon på eit reelt datasett om arbeidsløyse i Noreg frå SSB. $R^2 = 0{,}97$ for både ein lineær og ein eksponentiell modell. Korleis vel du mellom dei?

📝Oppgave 10

Ein klassekamerat påstår: «Viss $R^2 > 0{,}9$ , er modellen alltid god nok til å bruke i ein samfunnsøkonomisk rapport.» Vurder denne påstanden.

📝Oppgave 11

Tabellen viser månadleg konsumprisindeks (KPI, 2015 = 100) i Noreg:

Månad	Jan	Mar	Mai	Jul	Sep	Nov
KPI	124	125	126	127	128	129

Ein elev tilpassar

\hat{y} = 1{,}0t + 124

med

t

som månadsnummer (Jan = 0, Mar = 2, Mai = 4 osv.).

Rekn ut residuala.

Kva slags mønster ser du?

Kva tyder dette på?

📝Oppgave 12

Drøftingsoppgåve: Kvifor er det viktig å presentere både $R^2$ og residualplott i ein samfunnsøkonomisk prosjektrapport, og ikkje berre velje talet som ser best ut?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Residualet $e_i = y_i - \hat{y}_i$ måler avviket mellom observasjon og modell for kvart datapunkt.
- Residualplott: Residuala mot $x$ . Ein god modell gir tilfeldig spreiing rundt null — systematiske mønster (U-form, trakt) avslører feil modellform eller ujamn varians.
- $R^2$ er ikkje nok: Høg $R^2$ kan skjule systematiske avvik; residualplottet ser det $R^2$ ikkje ser.
- Uteliggjarar: Punkt med store residual bør undersøkjast — er det målefeil eller reell variasjon?

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Residual	$y_i - \hat{y}_i$
Residualplott	Residual plotta mot $x$
Uteliggjar	Punkt med uvanleg stort residual
SSE	Summen av kvadrerte residual

Viktige formlar

e_i = y_i - \hat{y}_i

- God modell: residual tilfeldig rundt 0

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Kvifor er ikkje R2R^2R2 åleine nok?

Oppsummering

Nøkkelomgrep

Viktige formlar

Kvifor er ikkje $R^2$ åleine nok?