7.4 Residualanalyse

Bruk residualar og residualplott til å vurdere modellkvalitet og avgjere når ein annan modelltype bør prøvast.

50 min

17 oppgaver

ResidualResidualplottModellvurderingUteliggjarar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Lineær regresjon

Kvifor er ikkje $R^2$ åleine nok?

I 7.1 brukte vi $R^2$ til å seie kor godt regresjonslinja passar. Ein høg $R^2$ ser fin ut, men fortel ikkje heile historia. To datasett kan ha same $R^2$ , men det eine kan likevel vere håplaust dårleg modellert.

For å vere sikre på at modellen er god, må vi sjå på residuala — avvika mellom det vi observerte og det modellen seier.

Residual

\hat{y} = ax + b

Ein god regresjonsmodell har residual som

- ligg tilfeldig spreidde rundt null,
- har omtrent same spreiing for små og store $x$ -verdiar,
- ikkje viser noko systematisk mønster (ingen kurvatur, inga trakt, inga bølgje).

Viss residuala viser eit mønster, tyder det at modellen ikkje har fanga opp alt som ligg i dataene. Då bør vi prøve ein annan modelltype.

Residualplott

e_i

1. Tilfeldig sky rundt null — modellen passar godt. Inga handling nødvendig.

2. U-form eller boge — den lineære modellen manglar kurvatur. Prøv andregrads-, eksponentiell eller potensmodell.

3. Trakt (vifteform) — spreiinga er ujamn. Lågare x-verdiar gir små residual, høgare x-verdiar gir store. Vurder om $y$ bør transformerast ( $\ln y$ ) eller om modelltypen er feil.

4. Eit fåtal punkt med svært store residual — uteliggjarar. Sjekk om det er målefeil i datasettet, eller om punktet er ein reell avvikande observasjon.

✏️Eksempel 1: Rekne ut residual

For datasettet $(1, 9), (2, 11), (3, 14), (4, 16), (5, 21), (6, 24)$ er regresjonslinja $\hat{y} = 3{,}06x + 5{,}13$ .

Rekn ut residuala og vurder om ein lineær modell passar.

Tabell over $\hat{y}_i$ og $e_i$ :

$x_i$	$y_i$	$\hat{y}_i$	$e_i$
1	9	8,19	0,81
2	11	11,25	$-0{,}25$
3	14	14,30	$-0{,}30$
4	16	17,36	$-1{,}36$
5	21	20,42	0,58
6	24	23,48	0,52

Residuala er små og byter forteikn (

+, -, -, -, +, +

). Det er ikkje eit tydeleg systematisk mønster, og

\sum e_i = 0{,}81 - 0{,}25 - 0{,}30 - 1{,}36 + 0{,}58 + 0{,}52 = 0

, slik det skal vere for regresjonslinja.
Svar: Residuala er små og utan tydeleg mønster. Den lineære modellen passar godt.

✏️Eksempel 2: Når residuala avslører at modellen er feil

Ein forskar finn regresjonslinja $\hat{y} = 6{,}6x - 5{,}27$ for datasettet:

$x$	$y$
1	5
2	7
3	12
4	18
5	27
6	38

Rekn ut residuala og vurder modellen.

Tabell:

$x$	$y$	$\hat{y}$	$e = y - \hat{y}$
1	5	1,33	3,67
2	7	7,93	$-0{,}93$
3	12	14,53	$-2{,}53$
4	18	21,13	$-3{,}13$
5	27	27,73	$-0{,}73$
6	38	34,33	3,67

Residuala har eit systematisk mønster: positive i begge endar og negative i midten. Plottet viser ei tydeleg U-form.

R^2 \approx 0{,}94

er likevel høg, fordi den lineære trenden fangar mykje av variasjonen. Men residuala avslører at ein andregrads- eller eksponentiell modell ville passe betre.
Svar: Residuala viser U-form, så den lineære modellen blir forkasta til fordel for ein ikkje-lineær modell.

R^2

gir eitt enkelt tal — ei oppsummering. Residualplott gir eit bilete av kva som faktisk skjer punkt for punkt.

Bruk alltid begge:

- Høg $R^2$ + tilfeldig residualplott $\Rightarrow$ god modell.
- Høg $R^2$ + systematisk mønster $\Rightarrow$ misvisande. Modellen er ikkje rett type.
- Låg $R^2$ + tilfeldig residualplott $\Rightarrow$ rett modelltype, men dataene har mykje støy.
- Låg $R^2$ + systematisk mønster $\Rightarrow$ feil modelltype og mykje støy. Start på nytt.

✏️Eksempel 3: Uteliggjar i eit datasett

Eit datasett over månadleg straumforbruk og utetemperatur gir éin observasjon med residual på $-15{,}0$ kWh, medan alle andre residual ligg mellom $-2$ og $+2$ kWh.

Korleis bør dette handterast?

Residualet er svært stort samanlikna med dei andre — observasjonen er ein uteliggjar.

Praktisk handtering:

- Sjekk dataene. Er det ein målefeil eller skrivefeil? Var det ein spesiell månad (ferie, straumstans, ny målar)?
- Viss målefeil: rett opp eller fjern observasjonen, og køyr regresjonen på nytt.
- Viss reell, men spesiell hending: dokumenter henne, men vurder å halde henne utanfor modellen — og forklar valet i rapporten.
- Viss du ikkje veit: rapporter resultat både med og utan uteliggjaren slik at lesaren ser effekten.

Uteliggjarar må aldri fjernast berre fordi dei er ubehagelege. Grunngi alltid valet.

Svar: Undersøk observasjonen før noko blir fjerna. Ved målefeil: rett eller fjern og køyr regresjonen på nytt. Elles: behald henne eller rapporter med og utan, og grunngi valet.

GeoGebra har innebygd støtte for residual:

1. Skriv inn punkta som ei liste, t.d. data = {(1,9),(2,11),(3,14),(4,16),(5,21),(6,24)}.
2. Lag regresjonslinja: f = RegLin(data).
3. Rekn ut residuala: Residualer = Følge(y(Element(data, k)) - f(x(Element(data, k))), k, 1, Lengde(data)).
4. Lag residualpunkt: Følge((x(Element(data, k)), Element(Residualer, k)), k, 1, Lengde(data)).
5. Teikn $e = 0$ -linja som referanse.

I Excel: rekn ut stigningstalet i ei eiga celle, =STIGNINGSTALL(B2:B7;A2:A7) i D1, og konstantleddet med =SKJÆRINGSPUNKT(B2:B7;A2:A7) i D2. Legg så til ei kolonne =B2-($D$1*A2+$D$2) og lag spreiingsplott av residuala mot $x$ .

I Python: residuals = y - (a*x + b) og plt.scatter(x, residuals).

📝Oppgave 1

For datasettet $(1, 4), (2, 6), (3, 9), (4, 11), (5, 14)$ er regresjonslinja $\hat{y} = 2{,}5x + 1{,}3$ .

Rekn ut residuala for alle fem punkt.

Verifiser at $\sum e_i \approx 0$ .

Vurder om modellen passar.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Ein lineær modell for skostorleik $y$ som funksjon av kroppshøgd $x$ (cm) er $\hat{y} = 0{,}25x - 2$ . For ein person med $x = 175$ cm er $y = 46$ .

Kva er $\hat{y}$ ?

Kva er residualet?

Residuala for dei andre personane i datasettet er mindre enn 1,5. Kva fortel residualet for denne personen?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Eit residualplott viser at residuala er små for $x$ -verdiar mellom 0 og 10, men aukar jamt med $x$ heilt opp til $|e| \approx 30$ ved $x = 50$ . Kva fortel dette?

📝Oppgave 4

To modellar for same datasett gir:

- Modell A: lineær, $R^2 = 0{,}94$ , residualplott viser tydeleg U-form.
- Modell B: andregrad, $R^2 = 0{,}91$ , residualplott er tilfeldig spreidd.

Kva for ein modell bør føretrekkjast?

📝Oppgave 5

Tabellen viser ein prisindeks for nye einebustader (2015 = 100, forenkla tal):

År	Indeks
2015	100
2017	110
2019	117
2021	132
2023	138

Ei lineær regresjonslinje (med

t =

år etter 2015) er

\hat{y} = 4{,}9t + 99{,}8

Rekn ut residuala.

Er det noko systematisk mønster?

Kva slags reelle hendingar i 2020–2021 kunne forklart avviket?

📝Oppgave 6

Ei gruppe elevar har samla inn data om talet på kundar per dag og inntekter. Regresjonsmodellen $\hat{y} = 250x + 1200$ gir $R^2 = 0{,}88$ . Når dei teiknar residualplottet ser dei eit tydeleg U-forma mønster.

Kva skal dei gjere, og korleis kan dei grunngi det i prosjektrapporten?

📝Oppgave 7

For ein regresjonsmodell på eit datasett med

n = 8

punkt er residuala:

$-0{,}3,\ 0{,}1,\ -0{,}2,\ 0{,}4,\ -0{,}1,\ 0{,}3,\ -0{,}5,\ 0{,}3$

Rekn ut $\sum e_i$ og kontroller at modellen er tilpassa korrekt.

Rekn ut $\text{SS}_{\text{res}} = \sum e_i^2$ .

Viss $\text{SS}_{\text{tot}} = 8{,}2$ , finn $R^2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Ein elev har tilpassa ein eksponentiell modell $\hat{y} = 50 \cdot 1{,}05^x$ til årleg BNP-vekst. Residualplottet viser ei lett bølgjeform rundt nullinja.

Kan modellen brukast til prediksjon? Drøft.

📝Oppgave 9

Du har gjennomført regresjon på eit reelt datasett om arbeidsløyse i Noreg frå SSB. $R^2 = 0{,}97$ for både ein lineær og ein eksponentiell modell. Korleis vel du mellom dei?

📝Oppgave 10

Ein klassekamerat påstår: «Viss $R^2 > 0{,}9$ , er modellen alltid god nok til å bruke i ein samfunnsøkonomisk rapport.» Vurder denne påstanden.

📝Oppgave 11

Tabellen viser ein månadleg konsumprisindeks (KPI, 2015 = 100, forenkla tal):

Månad	KPI
Jan	124
Mar	125
Mai	126
Jul	127
Sep	128
Nov	129

Ein elev tilpassar

\hat{y} = 1{,}0t + 124

med

t

som månadsnummer (Jan = 0, Mar = 2, Mai = 4 osv.).

Rekn ut residuala.

Kva slags mønster ser du?

Kva tyder dette på?

📝Oppgave 12

Drøftingsoppgåve: Kvifor er det viktig å presentere både $R^2$ og residualplott i ein samfunnsøkonomisk prosjektrapport, og ikkje berre velje talet som ser best ut?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Residualet $e_i = y_i - \hat{y}_i$ måler avviket mellom observasjon og modell for kvart datapunkt.
- Residualplott: Residuala mot $x$ . Ein god modell gir tilfeldig spreiing rundt null — systematiske mønster (U-form, trakt) avslører feil modellform eller ujamn varians.
- $R^2$ er ikkje nok: Høg $R^2$ kan skjule systematiske avvik; residualplottet ser det $R^2$ ikkje ser.
- Uteliggjarar: Punkt med store residual bør undersøkjast — er det målefeil eller reell variasjon?

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Residual	$y_i - \hat{y}_i$
Residualplott	Residual plotta mot $x$
Uteliggjar	Punkt med uvanleg stort residual
SSE	Summen av kvadrerte residual

Viktige formlar

e_i = y_i - \hat{y}_i

- God modell: residual tilfeldig rundt 0

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Kvifor er ikkje R2R^2R2 åleine nok?

Oppsummering

Nøkkelomgrep

Viktige formlar

Kvifor er ikkje $R^2$ åleine nok?