6.3 Normalfordelingen

Klokka som dukkar opp overalt

På Statistisk sentralbyrå sit ein forskar og plottar høgda til tusenvis av norske menn frå sesjonsdata. Eit mønster trer fram: dei fleste klumpar seg rundt 180 cm, færre og færre etter kvart som ein beveger seg ut mot 160 eller 200, og histogrammet formar ei perfekt symmetrisk klokke. Så plottar ho noko heilt anna — måleavvik frå eit fysikkeksperiment. Same klokke. IQ-skårar? Same klokke. Fødselsvekter? Same klokke igjen.

Denne kurva blir kalla normalfordelinga (eller Gausskurva), og ho er den viktigaste sannsynsfordelinga i heile statistikken. Ho skildrar høgd og vekt i ein befolkning, måleusikkerheit i eksperiment, testresultat — og, ved store tal, til og med talet på feil i produksjon. At ho dukkar opp overalt er ingen tilfeldigheit: når eit resultat er summen av mange små, uavhengige bidrag — gen, kosthald, målefeil — ordnar totalen seg klokkeforma.

Normalfordelinga skil seg frå dei fordelingane vi har møtt så langt på eitt viktig punkt: ho er kontinuerleg, ikkje diskret. Høgd kan vere 180,3 cm eller 180,31 cm — verdiane flyt. I dette kapittelet lærer du anatomien til klokka, tommelfingerregelen 68–95–99,7, det universelle måleinstrumentet z-score, og til slutt korleis normalfordelinga kan ta over jobben for binomisk fordeling når talet på forsøk blir stort.

Anatomien til klokka og 68–95–99,7-regelen

Ein stokastisk variabel $X$ er normalfordelt med forventningsverdi $\mu$ og standardavvik $\sigma$ — skrive $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ — når sannsynstettleiken er

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Formelen ser fryktinngytande ut, men eigenskapane til kurva er vennlege: ho er symmetrisk om $\mu$, har toppunkt i $x = \mu$, nærmar seg $x$-aksen utan å røre han, og arealet under heile kurva er nøyaktig 1. For kontinuerlege fordelingar er det nettopp areal som er sannsynlegheiter: $P(a < X < b)$ er arealet under kurva mellom $a$ og $b$. Berre to tal styrer alt — $\mu$ plasserer klokka, $\sigma$ avgjer kor brei ho er.

Og her kjem den mest praktiske eigenskapen til fordelinga, 68–95–99,7-regelen (den empiriske regelen): omtrent 68,3 % av verdiane ligg innanfor eitt standardavvik frå gjennomsnittet, 95,4 % innanfor to, og heile 99,7 % innanfor tre. Det gjeld for kvar normalfordeling, uansett $\mu$ og $\sigma$.

Tilbake til sesjonsdataa: høgda til vaksne norske menn er tilnærma $N(180, 7^2)$. Kor stor del er mellom 166 og 194 cm? Vi kjenner att grensene: $166 = 180 - 2 \cdot 7$ og $194 = 180 + 2 \cdot 7$ — intervallet er nøyaktig $\mu \pm 2\sigma$. Regelen svarar med ein gong: cirka 95 %. Slik bruker både klesprodusentar, møbeldesignarar og helsestyresmakter regelen dagleg: to standardavvik til kvar side dekkjer nesten alle.

Z-score — det universelle måleinstrumentet

68–95–99,7-regelen treffer berre ved heile standardavvik. Kva når grensa er 172 cm — som korkje er $\mu - \sigma$ eller $\mu - 2\sigma$? Då treng vi den nøyaktige metoden: standardisering.

Trikset er å omsetje kvar normalfordeling til éin felles referanse, standardnormalfordelinga $Z \sim N(0, 1)$ med gjennomsnitt 0 og standardavvik 1. Omsetjinga heiter z-score:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Z-scoren svarar på spørsmålet «kor mange standardavvik frå gjennomsnittet ligg denne verdien?» Positiv $z$ tyder over gjennomsnittet, negativ under, og null tyder midt på. Sannsynlegheiter følgjer med på kjøpet: $\displaystyle P(X \leq x) = P\!\left(Z \leq \frac{x-\mu}{\sigma}\right)$, og for $Z$ finst tabellar og kalkulatorfunksjonar.

Lat oss rekne. Kor stor del menn er kortare enn 172 cm når $X \sim N(180, 7^2)$? Først z-scoren: $\displaystyle z = \frac{172 - 180}{7} \approx -1{,}14$. Tabellen gir $P(Z < -1{,}14) \approx 0{,}127$ — cirka 12,7 %.

For eit intervall standardiserer vi begge grensene og tek differansen av areala. Kva er $P(175 < X < 190)$? Grensene gir $\displaystyle z_1 = \frac{175-180}{7} \approx -0{,}714$ og $\displaystyle z_2 = \frac{190-180}{7} \approx 1{,}429$, og

$$\begin{aligned} &P(175 < X < 190) \\ = {}&P(Z < 1{,}429) - P(Z < -0{,}714) \\ \approx {}&0{,}9234 - 0{,}2376 \\ = {}&0{,}686 \end{aligned}$$

Z-scoren er dessutan eit samanlikningsverktøy i seg sjølv. Er 187 cm høgd ($z = 1{,}0$) meir uvanleg enn IQ 130 ($z = 2{,}0$)? Z-scorane avgjer: IQ-en er klart sjeldnare. Slik samanliknar forskarar eple og pærer — testresultat, blodverdiar, eksamenskarakterar — på éin felles skala.

Når klokka tek over for binomisk fordeling

Hugsar du valanalytikaren med $X \sim \text{Bin}(100, 0{,}4)$? Å berekne $P(X \leq 45)$ eksakt krev summering av 46 binomiske ledd. Men teiknar du stolpediagrammet for denne fordelinga, ser du noko påfallande: stolpane formar — ei klokke. Det er ikkje tilfeldig, og det gir oss ein snarveg.

Normalapproksimasjonen seier at når $n$ er tilstrekkeleg stor, kan ei binomisk fordeling tilnærmast med ei normalfordeling med same forventning og varians:

$$X \approx N(np, \; np(1-p))$$

Tommelfingerregelen for når dette er trygt: $np \geq 5$ og $n(1-p) \geq 5$ — det må vere «nok» av både suksessar og fiaskoar til at klokka får plass utan å bli kutta av ved 0 eller $n$.

Éi finurleg detalj står att. Binomisk fordeling er diskret (stolpar på heiltal), normalfordelinga kontinuerleg (glatt kurve). Stolpen for verdien 45 strekkjer seg eigentleg frå 44,5 til 45,5, så for å få med heile stolpen bruker vi kontinuitetskorreksjon: vi flyttar grensa eit halvt hakk utover,

$$P(X \leq k) \approx P\left(Z \leq \frac{k + 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$$

No løyser vi eksempelet. Parametrane er $\mu = np = 40$ og $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{24} \approx 4{,}899$, og sjekken passerer: $np = 40 \geq 5$, $n(1-p) = 60 \geq 5$. Med korreksjon: $\displaystyle z = \frac{45{,}5 - 40}{4{,}899} \approx 1{,}123$, og tabellen gir

$$P(X \leq 45) \approx P(Z \leq 1{,}123) \approx 0{,}869$$

Éi enkel z-berekning erstatta 46 ledd. Dette er grunnen til at meiningsmålingar kan oppgi feilmarginar og valkveldar kan kalle resultat tidleg: bak kulissane er det normalapproksimasjonen som reknar.

Oppsummering: éi kurve for nesten alt

Forskaren på SSB såg same klokkeform i høgder, måleavvik og testskårar — og no veit du kvifor den forma fortener tittelen som den viktigaste i statistikken. Normalfordelinga $N(\mu, \sigma^2)$ er kontinuerleg, symmetrisk om $\mu$, med toppunkt i $\mu$ og totalt areal 1 under kurva; sannsynlegheiter er areal, og heile fasongen blir styrt av berre to tal — kor klokka står ($\mu$) og kor brei ho er ($\sigma$).

For raske overslag har vi 68–95–99,7-regelen: cirka 68 % av verdiane innanfor $\mu \pm \sigma$, 95 % innanfor $\mu \pm 2\sigma$ og 99,7 % innanfor $\mu \pm 3\sigma$ — slik fann vi at 95 % av norske menn er mellom 166 og 194 cm. For nøyaktige svar standardiserer vi med z-scoren $\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma}$, som måler avstanden frå gjennomsnittet i standardavvik og omset alle normalfordelingar til standardnormalen $Z \sim N(0,1)$. Intervall blir handterte med differansar: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$. Z-scoren er samtidig samanlikningsverktøyet til forskaren på tvers av skalaar.

Til slutt slo vi bru tilbake til førre kapittel: ei binomisk fordeling med stor $n$ er i praksis ei klokke, og normalapproksimasjonen $X \approx N(np, np(1-p))$ — gyldig når $np \geq 5$ og $n(1-p) \geq 5$, og finjustert med det halve hakket til kontinuitetskorreksjonen — erstattar titals ledd med éi z-berekning. Det er denne mekanikken som ligg under feilmarginane i kvar einaste meiningsmåling. I dei neste kapitla skal vi bruke normalfordelinga som arbeidsverktøy i nettopp slike bruksområde.