6.1 Diskrete sannsynlighetsfordelinger

Reknestykket til spelutviklaren

Eit lite norsk spelselskap utviklar eit brettspel der spelarane flyttar like langt som summen av to terningar. Testpanelet klagar: «Sju kjem heile tida!» Utviklaren treng å vite om panelet har rett, og i så fall kor skeivt det eigentleg er. Ho treng med andre ord ein fullstendig oversikt over alle moglege utfall og kor sannsynlege dei er.

Verktøyet ho grip til, er den stokastiske variabelen — ein variabel som tek ulike talverdiar avhengig av eit tilfeldig utfall, der kvar verdi har eit bestemt sannsyn. Vi bruker store bokstavar som $X$, $Y$ og $Z$ for sjølve variabelen, og små bokstavar for dei konkrete verdiane: $P(X = x)$ er sannsynet for at $X$ tek verdien $x$. Eksempla er overalt: $X$ = tal auge på éin terning (verdiar 1 til 6), $Y$ = tal kron i tre myntkast (0 til 3), $Z$ = tal rette på ei flervalsprøve med 10 spørsmål.

Ein stokastisk variabel blir kalla diskret når han kan ta eit endeleg (eller tellbart) tal verdiar — typisk noko vi tel: kast, kundar, rette svar. I dette kapittelet byggjer vi heile grunnmuren for å analysere slike variablar: sannsynsfordelinga som skildrar dei, forventningsverdien som angir tyngdepunktet, og variansen og standardavviket som måler spreiinga. Med dei verktøya kan spelutviklaren — og kvar forskar eller analytikar — gjere tilfeldigheit om til presise tal.

Sannsynsfordelinga — heile biletet i éin tabell

Ei sannsynsfordeling er ein tabell (eller formel) som viser alle verdiane $x_1, x_2, \ldots, x_n$ variabelen kan ta, saman med sannsynet for kvar. To krav må vere oppfylte: kvart sannsyn ligg mellom 0 og 1, og summen er nøyaktig 1: $\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$.

Lat oss lage fordelinga spelutviklaren treng. $X$ er summen av to terningar, med moglege verdiar frå 2 til 12. Av dei $6 \times 6 = 36$ like sannsynlege utfalla gir nøyaktig eitt utfall sum 2 (1+1), to gir sum 3 (1+2 og 2+1), og så vidare opp til seks utfall for sum 7 — før talet fell symmetrisk ned igjen til eitt utfall for sum 12. Fordelinga blir:

Forventningsverdien — tyngdepunktet i fordelinga

Tilbake til spelutviklaren: kor langt flyttar ein spelar i gjennomsnitt per kast? Svaret er forventningsverdien — det vekta gjennomsnittet av alle verdiane, der kvar verdi tel med sannsynet sitt:

$$\begin{aligned} E(X) &= \mu \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) \\ &= x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n \end{aligned}$$

Symbolet $\mu$ (mu) er standardnotasjonen, og tolkinga er presis: over mange forsøk vil gjennomsnittet av utfalla nærme seg $E(X)$. Det er ikkje nødvendigvis ein verdi $X$ faktisk kan ta — han er eit tyngdepunkt, ikkje eit typisk enkeltutfall.

Sjå på eit rekneeksempel. Ein variabel $X$ har fordelinga

Gjennomsnittet over mange trekningar vil kretse rundt 2,7 — sjølv om inga enkelttrekning nokon gong gir 2,7.

Tenk på korleis dette blir brukt rundt deg. Eit forsikringsselskap reknar ut forventa utbetaling per kunde og legg premien like over. Ein kommune anslår forventa tal barnehagesøknader. Spelselskapet finn at to terningar gir $E(X) = 7$ — informasjon som avgjer kor langt brettet bør vere. Forventningsverdien er avgjerdstalet i alt som involverer gjenteke tilfeldigheit. Men eitt tal kan ikkje fortelje alt: to fordelingar kan dele tyngdepunkt og likevel oppføre seg heilt forskjellig. Det leier oss til spreiinga.

Varians og standardavvik — målet på spreiing

Spelselskapet vurderer ein alternativ regel: i staden for to terningar trekkjer spelarane eit kort som alltid seier «flytt 7». Forventningsverdien er identisk — men spelopplevinga er totalt forskjellig! Skilnaden er spreiinga, og ho blir målt av variansen.

Variansen er den gjennomsnittlege kvadrerte avstanden frå forventningsverdien:

$$\text{Var}(X) = \sigma^2 = E\big[(X - \mu)^2\big] = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$$

I praksis er den alternative formelen ofte raskare:

$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

der $E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot p_i$ — «forventninga av kvadratet minus kvadratet av forventninga». Standardavviket $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ bringar oss tilbake til same eining som $X$, og er difor talet vi faktisk tolkar: lite $\sigma$ tyder at verdiane klumpar seg tett rundt $\mu$; stort $\sigma$ tyder store svingingar.

Lat oss fullføre eksempelet frå førre seksjon, der $E(X) = 2{,}7$. Først $E(X^2)$:

$$\begin{aligned} E(X^2) &= 1^2 \cdot 0{,}1 + 2^2 \cdot 0{,}3 + 3^2 \cdot 0{,}4 + 4^2 \cdot 0{,}2 \\ &= 0{,}1 + 1{,}2 + 3{,}6 + 3{,}2 = 8{,}1 \end{aligned}$$

Så variansen: $\text{Var}(X) = 8{,}1 - 2{,}7^2 = 8{,}1 - 7{,}29 = 0{,}81$, og standardavviket $\sigma = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$. Eit typisk utfall ligg altså i underkant av éi eining unna tyngdepunktet 2,7.

Dette talparet — $\mu$ og $\sigma$ — er universalspråket i statistikken. Finansanalytikaren rapporterer forventa avkastning og volatilitet; meteorologen normaltemperatur og variasjon; kvalitetsingeniøren målsett verdi og toleranse. Når du i dei neste kapitla møter binomisk fordeling og normalfordelinga, er det nettopp $\mu$ og $\sigma$ som skildrar dei.

Oppsummering: reknskapen til tilfeldigheita

Testpanelet hos spelselskapet hadde rett, og no kan vi tallfeste kvifor: summen av to terningar har ei pyramideforma fordeling der $\displaystyle P(X=7) = \frac{6}{36}$ er størst, med tyngdepunkt $E(X) = 7$. Undervegs bygde vi det komplette verktøysettet for diskrete tilfeldige storleikar.

Ein stokastisk variabel tilordnar kvart utfall ein talverdi, og er diskret når verdiane kan teljast. Sannsynsfordelinga er den fullstendige skildringa — ein tabell over verdiar og sannsyn der kvart tal ligg mellom 0 og 1 og summen er nøyaktig 1. Spesialtilfellet der alle verdiar er like sannsynlege, blir kalla uniform fordeling, slik som éin rettferdig terning.

Forventningsverdien $E(X) = \mu = \sum x_i p_i$ er tyngdepunktet i fordelinga: gjennomsnittet over mange forsøk, men ikkje nødvendigvis ein mogleg enkeltverdi. Variansen $\text{Var}(X) = \sigma^2$ måler spreiinga som forventa kvadratavvik frå $\mu$, raskast utrekna med $E(X^2) - [E(X)]^2$, og standardavviket $\sigma$ omset spreiinga tilbake til den eigne eininga til variabelen — lite $\sigma$ tyder utfall tett rundt tyngdepunktet, stort $\sigma$ tyder store svingingar.

Paret $(\mu, \sigma)$ er samandraget kvar fordeling kan presenterast med, frå avkastning og risiko i finans til måleverdiar og toleransar i industrien. Og det er nøyaktig dette paret som skal bere dei neste kapitla, der vi gir dei viktigaste fordelingane i samfunnsfagleg statistikk namn og formlar: den binomiske fordelinga og normalfordelinga.