5.4 Hypergeometrisk fordeling | Matematikk S1

Trekking utan tilbakelegging, hypergeometrisk formel og når binomisk fordeling er ei god tilnærming.

60 min

11 oppgaver

Utan tilbakeleggingHypergeometrisk fordelingKvalitetskontrollBinomisk tilnærming

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.3Bayes' setning

Brukes videre i

5.6Simulering med digitale verktøy

Hypergeometrisk fordeling

Tenk deg ei urne med kuler av to fargar. Du trekkjer eit visst tal kuler utan tilbakelegging. Kor mange av ein bestemt farge får du? Sannsynet for dette blir skildra av den hypergeometriske fordelinga.

Situasjonen oppstår når vi:
- Har ein populasjon med to kategoriar (t.d. raud/blå, defekt/ok, gut/jente)
- Trekkjer eit utval utan tilbakelegging
- Er interesserte i talet på den eine kategorien

Hypergeometrisk fordeling

N

✏️Eksempel 1: Trekking av kuler

Ei urne har 12 kuler: 5 raude og 7 blå. Du trekkjer 4 kuler utan tilbakelegging. Finn sannsynet for nøyaktig 2 raude.

Løysing:

$N = 12$ , $M = 5$ (raude), $n = 4$ , $k = 2$ .

$P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}}{\binom{12}{4}} = \frac{10 \cdot 21}{495} = \frac{210}{495} \approx 0{,}424$

Svar: Sannsynet er ca. 42,4 %.

✏️Eksempel 2: Kvalitetskontroll

Eit parti med 20 einingar inneheld 3 defekte. Vi trekkjer 5 for kontroll. Finn $P(X \geq 1)$ .

Løysing:

Det er enklast å bruke komplementsetninga: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ .

$P(X = 0) = \frac{\binom{3}{0} \cdot \binom{17}{5}}{\binom{20}{5}} = \frac{1 \cdot 6188}{15504} \approx 0{,}399$

$P(X \geq 1) = 1 - 0{,}399 = 0{,}601$

Svar: Det er ca. 60,1 % sjanse for å oppdage minst éin defekt.

Når

n

er liten i høve til

N

(tommelfingerregel:

n < 0{,}1 \cdot N

, altså under ca.

10\,\%

), er trekking utan tilbakelegging nesten det same som med tilbakelegging.

I slike tilfelle kan vi approksimere den hypergeometriske fordelinga med ei binomialfordeling med $p = M/N$ (se 6.2):

$X \approx \text{Bin}\!\left(n,\, \frac{M}{N}\right)$

Eksempel: Vel 10 frå ein populasjon på 1000 -- binomial er god approksimasjon. Vel 10 frå ein populasjon på 15 -- må bruke hypergeometrisk.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Ein kortstokk har 52 kort. Du trekkjer 5 kort. Finn sannsynet for nøyaktig 2 ess ( $M = 4$ ess).

Finn forventningsverdien $E(X)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Ein klasse har 18 jenter og 12 gutar. Det blir trekt 5 elevar tilfeldig til eit utval. Finn sannsynet for nøyaktig 3 jenter.

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Eit lotteri har 50 lodd der 8 er gevinst. Du kjøper 6 lodd. Finn $P(X = 0)$ .

Finn $P(X \geq 2)$ .

📝Oppgave 4

(Fordjuping) Eit lager har 100 produkt der 10 er defekte. Kvalitetskontrollen trekkjer 8 produkt. Finn forventningsverdi og standardavvik for talet på defekte i utvalet.

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Sett opp heile sannsynsfordelinga for talet på raude kuler ( $X$ ) når vi trekkjer 3 kuler frå ei urne med 4 raude og 6 blå.

Kontroller at $\displaystyle E(X) = n \cdot \frac{M}{N}$ ved å rekne ut forventningsverdien frå fordelinga.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Ein revisor skal kontrollere 5 tilfeldige bilag frå eit rekneskap med 40 bilag totalt, der 3 inneheld feil.

Kva er sannsynet for at revisoren finn minst 1 bilag med feil?

Er $n = 5$ stor nok i høve til $N = 40$ til at vi kan bruke binomialapproksimasjon?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Hypergeometrisk fordeling skildrar trekning utan tilbakelegging frå ein populasjon med to typar: $P(X = k) = \dfrac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ .
- Tolkinga: $N$ objekt totalt, $M$ av spesialtypen, vi trekkjer $n$ og spør om sannsynet for nøyaktig $k$ spesielle.
- Forventningsverdi: $E(X) = n \cdot \dfrac{M}{N}$ .
- Minst éin: Bruk komplementet: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ .
- Binomisk tilnærming: Er utvalet under ca. $10\,\%$ av populasjonen, gir binomisk fordeling med $\displaystyle p = \frac{M}{N}$ nesten same svar.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Utan tilbakelegging	Sannsyna endrar seg for kvart trekk
$\binom{n}{r}$	Tal måtar å velje $r$ av $n$
Komplement	$P(\text{minst éin}) = 1 - P(\text{ingen})$

Viktige formlar

P(X = k) = \dfrac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}

E(X) = n \cdot \dfrac{M}{N}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.