5.4 Avansert kombinatorikk | Matematikk S1

Hypergeometrisk fordeling

Tenk deg ei urne med kuler av to fargar. Du trekkjer eit visst tal kuler utan tilbakelegging. Kor mange av ein bestemt farge får du? Sannsynet for dette blir skildra av den hypergeometriske fordelinga.

Situasjonen oppstår når vi:
- Har ein populasjon med to kategoriar (t.d. raud/blå, defekt/ok, gut/jente)
- Trekkjer eit utval utan tilbakelegging
- Er interesserte i talet på den eine kategorien

Hypergeometrisk fordeling

N

✏️Eksempel 1: Trekking av kuler

Ei urne har 12 kuler: 5 raude og 7 blå. Du trekkjer 4 kuler utan tilbakelegging. Finn sannsynet for nøyaktig 2 raude.

Løysing:

$N = 12$ , $M = 5$ (raude), $n = 4$ , $k = 2$ .

$P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}}{\binom{12}{4}} = \frac{10 \cdot 21}{495} = \frac{210}{495} \approx 0{,}424$

Sannsynet er ca. 42,4 %.

✏️Eksempel 2: Kvalitetskontroll

Eit parti med 20 einingar inneheld 3 defekte. Vi trekkjer 5 for kontroll. Finn $P(X \geq 1)$ .

Løysing:

Det er enklast å bruke komplementsetninga: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ .

$P(X = 0) = \frac{\binom{3}{0} \cdot \binom{17}{5}}{\binom{20}{5}} = \frac{1 \cdot 6188}{15504} \approx 0{,}399$

$P(X \geq 1) = 1 - 0{,}399 = 0{,}601$

Det er ca. 60,1 % sjanse for å oppdage minst éin defekt.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Ein kortstokk har 52 kort. Du trekkjer 5 kort. Finn sannsynet for nøyaktig 2 ess ( $M = 4$ ess).

Finn forventningsverdien $E(X)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Ein klasse har 18 jenter og 12 gutar. Det blir trekt 5 elevar tilfeldig til eit utval. Finn sannsynet for nøyaktig 3 jenter.

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Eit lotteri har 50 lodd der 8 er gevinst. Du kjøper 6 lodd. Finn $P(X = 0)$ .

Finn $P(X \geq 2)$ .

📝Oppgave 4

Eit lager har 100 produkt der 10 er defekte. Kvalitetskontrollen trekkjer 8 produkt. Finn forventningsverdi og standardavvik for talet på defekte i utvalet.

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Sett opp heile sannsynsfordelinga for talet på raude kuler ( $X$ ) når vi trekkjer 3 kuler frå ei urne med 4 raude og 6 blå.

Kontroller at $\displaystyle E(X) = n \cdot \frac{M}{N}$ ved å rekne ut forventningsverdien frå fordelinga.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Hypergeometrisk fordeling skildrar trekning utan tilbakelegging frå ein populasjon med to typar: $P(X = k) = \dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ .
- Tolkinga: $N$ objekt totalt, $K$ av spesialtypen, vi trekkjer $n$ og spør om sannsynet for nøyaktig $k$ spesielle.
- Forventningsverdi: $E(X) = n \cdot \dfrac{K}{N}$ .
- Minst éin: Bruk komplementet: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Utan tilbakelegging	Sannsyna endrar seg for kvart trekk
$\binom{n}{r}$	Tal måtar å velje $r$ av $n$
Komplement	$P(\text{minst éin}) = 1 - P(\text{ingen})$

Viktige formlar

P(X = k) = \dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

E(X) = n \cdot \dfrac{K}{N}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver