2.5 Omvendte funksjoner | Matematikk S1

Finne og analysere omvendte funksjoner.

45 min

17 oppgaver

Omvendt funksjonInversSymmetriEksistens

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.4Logaritmefunksjoner

Brukes videre i

2.6Modellering med funksjoner

Kva er ein invers funksjon?

Ein invers funksjon (omvend funksjon) "reverserer" verknaden av ein funksjon. Viss $f$ tek $x$ til $y$ , tek den inverse funksjonen $f^{-1}$ $y$ tilbake til $x$ .

$f(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad f^{-1}(y) = x$

Merk: Notasjonen $f^{-1}$ tyder "den inverse funksjonen til $f$ ", ikkje $\displaystyle \frac{1}{f}$ .

Invers funksjon

f

Korleis finne den inverse funksjonen

For å finne $f^{-1}$ algebraisk:
1. Skriv $y = f(x)$
2. Løys likninga for $x$ (få $x$ åleine på venstre side)
3. Byt om $x$ og $y$

Det resulterande uttrykket er $f^{-1}(x)$ .

✏️Finne invers funksjon

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 3x - 5$ .

Steg 1:

y = 3x - 5

Steg 2: Løys for $x$ :
$y + 5 = 3x$
$x = \frac{y + 5}{3}$

Steg 3: Byt $x$ og $y$ :
$f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$

Sjekk:
$f(f^{-1}(x)) = 3 \cdot \frac{x+5}{3} - 5 = x + 5 - 5 = x \checkmark$
$f^{-1}(f(x)) = \frac{(3x-5)+5}{3} = \frac{3x}{3} = x \checkmark$

Grafisk samanheng

Grafen til $f^{-1}$ er spegelbiletet av grafen til $f$ om linja $y = x$ .

Viss punktet $(a, b)$ ligg på grafen til $f$ , så ligg punktet $(b, a)$ på grafen til $f^{-1}$ .

Domena og verdimengdene blir bytte:
- Definisjonsmengda til $f^{-1}$ = Verdimengda til $f$
- Verdimengda til $f^{-1}$ = Definisjonsmengda til $f$

✏️Eksponential og logaritme

Vis at $f(x) = e^x$ og $g(x) = \ln(x)$ er inverse av kvarandre.

Sjekk 1:

f(g(x)) = e^{\ln(x)} = x

for

x > 0

✓

Sjekk 2: $g(f(x)) = \ln(e^x) = x$ for alle $x$ ✓

Altså er $f$ og $g$ inverse av kvarandre.

Grafisk: Grafane til $y = e^x$ og $y = \ln(x)$ er spegelbilete om linja $y = x$ .

📊Utforsk: Funksjon og omvend funksjon

$f(x) = x^3$ og den omvende funksjonen $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ er symmetriske om linja $y = x$ . Prøv å byte ut $f$ med ein annan injektiv funksjon og finn den omvende grafisk.

Når finst den inverse?

Ikkje alle funksjonar har ein invers. Ein funksjon må vere ein-til-ein (injektiv) for å ha ein invers.

Eksempel: $f(x) = x^2$ har ikkje ein invers fordi $f(2) = f(-2) = 4$ .

Løysing: Vi kan avgrense definisjonsmengda. For $f(x) = x^2$ med $x \geq 0$ er den inverse $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ .

✏️Avgrense definisjonsmengda

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = x^2 + 1$ for $x \geq 0$ .

Steg 1:

y = x^2 + 1

Steg 2: Løys for $x$ :
$y - 1 = x^2$
$x = \sqrt{y - 1}$ (vel positiv rot sidan $x \geq 0$ )

Steg 3: Byt $x$ og $y$ :
$f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$

Definisjonsmengd for $f^{-1}$ : $x \geq 1$ (verdimengda til $f$ )

Ein funksjon har ein invers viss og berre viss kvar horisontal linje skjer grafen høgst éin gong. Dette blir kalla den horisontale linjetesten.

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = x + 7$ .

Finn den inverse funksjonen til $g(x) = 2x$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 4x - 3$ .

Sjekk at $f(f^{-1}(x)) = x$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Finn $f^{-1}(5)$ viss $f(3) = 5$ .

Viss $(2, 7)$ ligg på grafen til $f$ , kva punkt ligg på grafen til $f^{-1}$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Finn den inverse funksjonen til $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{2}$ .

Verifiser at $f^{-1}(f(x)) = x$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = \sqrt{x + 4}$ for $x \geq -4$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 3^x$ .

Kva er definisjonsmengda til $f^{-1}$ ?

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Finn den inverse funksjonen til $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ for $x \neq 0$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Finn den inverse funksjonen til $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ for $x \neq 1$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = (x-2)^3 + 1$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Avgjer om $f(x) = x^3 - x$ har ein invers funksjon.

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 2^{x-3} + 1$ .

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Vis at viss $f$ er ein-til-ein og har invers $f^{-1}$ , så er også $f^{-1}$ ein-til-ein med invers $f$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Invers funksjon: $f^{-1}$ «angrar» det $f$ gjer: $f^{-1}(f(x)) = x$ . Viss $f(a) = b$ , er $f^{-1}(b) = a$ .
- Finne inversen: Set $y = f(x)$ , løys for $x$ , og byt om $x$ og $y$ .
- Grafisk: Grafen til $f^{-1}$ er speglinga av grafen til $f$ om linja $y = x$ .
- Eksistens: Inversen finst berre når $f$ er éin-til-éin (horisontal linjetest). Elles må definisjonsmengda avgrensast.
- Viktige par: $10^x$ og $\lg x$ , $e^x$ og $\ln x$ , $x^2$ (for $x \geq 0$ ) og $\sqrt{x}$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Invers funksjon	Funksjonen som reverserer $f$
Éin-til-éin	Kvar $y$ -verdi blir treft høgst éin gong
Horisontal linjetest	Sjekk om nokon horisontal linje treffer grafen fleire gonger

Viktige formlar

f^{-1}(f(x)) = x

f(f^{-1}(x)) = x

- Lineær funksjon:

f(x) = ax + b

har invers

f^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.