2.5 Omvendte funksjoner

Valutakalkulatoren som virker begge veier

Du skal på utveksling og veksler norske kroner til euro. Appen din regner én vei: kroner inn, euro ut. Men på flyplassen hjem trenger du det motsatte — euro inn, kroner ut. De to regnestykkene er ikke uavhengige; det ene angrer det andre. I matematikken kalles et slikt par omvendte funksjoner (inverse funksjoner).

Hvis funksjonen $f$ tar $x$ til $y$, tar den inverse funksjonen $f^{-1}$ verdien $y$ tilbake til $x$:

$$f(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad f^{-1}(y) = x$$

Merk notasjonen: $f^{-1}$ betyr «den inverse funksjonen til $f$», ikke brøken $\displaystyle \frac{1}{f}$. Det formelle kravet er at de opphever hverandre begge veier: to funksjoner $f$ og $g$ er inverse av hverandre hvis

$$f(g(x)) = x \quad \text{og} \quad g(f(x)) = x$$

for alle $x$ i passende definisjonsmengder. Da skriver vi $g = f^{-1}$.

Ikke alle funksjoner kan inverteres. For at inversen skal finnes, må funksjonen være en-til-en (injektiv): forskjellige $x$-verdier må alltid gi forskjellige $y$-verdier. Hvis to ulike beløp i kroner ga samme beløp i euro, ville tilbakeveien vært umulig — hvilket av de to beløpene skulle appen velge? I dette kapittelet lærer du å finne inverser algebraisk, lese dem grafisk, og avgjøre når de finnes — og du skal se at flere av funksjonene du allerede kjenner, opptrer i inverse par.

Å finne inversen — oppskriften

Hvordan finner vi $f^{-1}$ i praksis? Oppskriften har tre steg: skriv $y = f(x)$, løs likningen for $x$, og bytt til slutt om $x$ og $y$. Resultatet er $f^{-1}(x)$.

Ta $f(x) = 3x - 5$. Steg 1: $y = 3x - 5$. Steg 2: Vi løser for $x$: $y + 5 = 3x$ gir $\displaystyle x = \frac{y + 5}{3}$. Steg 3: Bytt $x$ og $y$:

$$f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$$

Kontrollen er alltid den samme dobbeltsjekken: $\displaystyle f(f^{-1}(x)) = 3 \cdot \frac{x+5}{3} - 5 = x$ og $\displaystyle f^{-1}(f(x)) = \frac{(3x-5)+5}{3} = x$. Begge gir $x$ tilbake — paret er ekte. Generelt har den lineære funksjonen $f(x) = ax + b$ inversen $\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}$.

Grafisk er sammenhengen elegant: grafen til $f^{-1}$ er speilbildet av grafen til $f$ om linjen $y = x$. Ligger punktet $(a, b)$ på grafen til $f$, ligger $(b, a)$ på grafen til $f^{-1}$. Speilingen bytter også roller på mengdene: definisjonsmengden til $f^{-1}$ er verdimengden til $f$, og omvendt.

Det vakreste eksempelet kjenner du fra forrige kapittel: $f(x) = e^x$ og $g(x) = \ln(x)$. Sjekken stemmer — $e^{\ln(x)} = x$ for $x > 0$ og $\ln(e^x) = x$ for alle $x$ — så eksponentialfunksjonen og logaritmen er inverse av hverandre, og grafene deres er speilbilder om $y = x$. Det samme gjelder $10^x$ og $\lg x$. Det er derfor logaritmen kunne «pakke ut» eksponenten i kapittel 2.4: den er bokstavelig talt angreknappen.

Når inversen ikke finnes — og hva vi gjør da

Se på $f(x) = x^2$. Både $f(2) = 4$ og $f(-2) = 4$ — to forskjellige innganger gir samme utgang. Skulle inversen sende 4 tilbake, hvilken verdi skulle den velge? Funksjonen er ikke en-til-en, og inversen finnes ikke.

Det finnes en rask grafisk test: den horisontale linjetesten. En funksjon har en invers hvis og bare hvis enhver horisontal linje skjærer grafen høyst én gang. Parabelen $y = x^2$ stryker på testen — linjen $y = 4$ treffer den to ganger.

Løsningen er å begrense definisjonsmengden. Tar vi $f(x) = x^2$ bare for $x \geq 0$, er funksjonen en-til-en, og inversen blir $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$. Kvadratrot og kvadrering er altså et inverst par — men bare på den positive halvdelen.

Samme grep fungerer mer generelt. La $f(x) = x^2 + 1$ med $x \geq 0$. Vi setter $y = x^2 + 1$, løser for $x$: $x = \sqrt{y - 1}$ (vi velger den positive roten siden $x \geq 0$), og bytter variabler:

$$f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$$

Definisjonsmengden til $f^{-1}$ er $x \geq 1$ — nøyaktig verdimengden til $f$, slik teorien lover.

Samlingen av inverse par begynner å bli nyttig: $10^x$ og $\lg x$, $e^x$ og $\ln x$, $x^2$ (for $x \geq 0$) og $\sqrt{x}$, og enhver lineær $ax + b$ med $\displaystyle \frac{x-b}{a}$. Hver gang du «løser en likning» ved å ta roten, logaritmen eller å snu en formel — fra valutakurs til etterspørselsfunksjoner som skal snus fra pris til mengde — bruker du i virkeligheten en invers funksjon.

Oppsummering: funksjoner som angrer hverandre

Valutaappen som regner begge veier var hele tiden et bilde på dagens tema. En invers funksjon $f^{-1}$ angrer det $f$ gjør: hvis $f(a) = b$, er $f^{-1}(b) = a$, og kravet $f^{-1}(f(x)) = x = f(f^{-1}(x))$ må gjelde begge veier.

Oppskriften for å finne inversen er kort: sett $y = f(x)$, løs for $x$, og bytt om $x$ og $y$. For lineære funksjoner gir det $\displaystyle f(x) = ax + b \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}$. Grafisk er $f^{-1}$ speilbildet av $f$ om linja $y = x$ — punktet $(a, b)$ blir til $(b, a)$, og definisjonsmengde og verdimengde bytter plass.

Eksistensen er ikke gratis: bare en-til-en-funksjoner kan inverteres, og den horisontale linjetesten avslører raskt hvem som består. Funksjoner som $x^2$ må få begrenset definisjonsmengde først — derfra kommer paret $x^2$ (for $x \geq 0$) og $\sqrt{x}$.

De viktigste parene bør du nå kunne på rams: $10^x$ og $\lg x$, $e^x$ og $\ln x$, $x^2$ og $\sqrt{x}$. Tanken om å «snu» en funksjon dukker opp igjen flere steder i S1 — ikke minst i økonomien, der etterspørselen snus fra mengde som funksjon av pris til pris som funksjon av mengde, alt etter hva analysen trenger.