2.3 Eksponentialfunksjonar | Matematikk S1

Eksponentialfunksjonar og bruken av dei.

55 min

17 oppgaver

EksponentialfunksjonVekstfaktorHalveringDoblinge-funksjonen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.4Logaritmefunksjoner

Kva er ein eksponentialfunksjon?

Ein eksponentialfunksjon er ein funksjon der variabelen står i eksponenten:

$f(x) = a \cdot b^x$

der $a \neq 0$ , $b > 0$ og $b \neq 1$ .

Eksponentialfunksjonar blir brukte til å modellere situasjonar med konstant prosentvis vekst eller nedgang, til dømes folkevekst, radioaktivt forfall og rentesrekning.

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekstfaktor og prosentvis endring

Vekstfaktoren $b$ er knytt til prosentvis endring $p$ per tidseining:

$b = 1 + \frac{p}{100}$

Døme:
- 5% auke: $b = 1 + 0{,}05 = 1{,}05$
- 3% nedgang: $b = 1 - 0{,}03 = 0{,}97$
- 12% auke: $b = 1 + 0{,}12 = 1{,}12$

✏️Folkevekst

Ein by har 50 000 innbyggjarar og veks med 2% per år.
a) Set opp ein eksponentialfunksjon som skildrar folkesetnaden.
b) Kor mange innbyggjarar vil byen ha etter 10 år?

a) Startverdi

a = 50000

Vekstfaktor

b = 1 + 0{,}02 = 1{,}02

$P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$

der $t$ er talet på år.

b) Etter 10 år:
$P(10) = 50000 \cdot 1{,}02^{10} \approx 50000 \cdot 1{,}219 \approx 60950$

Svar: a) $P(t) = 50\,000 \cdot 1{,}02^t$ b) ca. 60 950 innbyggjarar

Fordjuping (utanfor læreplanen). Talet

e

, den naturlege eksponentialfunksjonen og kontinuerleg vekst (dei to neste avsnitta og oppgåve 11) høyrer ikkje til læreplanen i matematikk S1 (MAT04-02). Stoffet høyrer heime i S2 og R1. Du treng det ikkje til S1-eksamen.

Den naturlege eksponentialfunksjonen

Den naturlege eksponentialfunksjonen har grunntal $e \approx 2{,}718$ :

$f(x) = e^x$

Talet $e$ er definert som:
$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828$

Denne funksjonen er spesielt viktig fordi han er sin eigen deriverte: $(e^x)' = e^x$

✏️Radioaktivt forfall

Eit radioaktivt stoff har halveringstid på 5 år. Viss vi startar med 100 gram, kor mykje er igjen etter 15 år?

Ved halveringstid blir mengda halvert, så vekstfaktoren per halvering er

0{,}5

Etter $n$ halveringar: $m = 100 \cdot 0{,}5^n$

Etter 15 år har det gått $\displaystyle \frac{15}{5} = 3$ halveringstider:

$m = 100 \cdot 0{,}5^3 = 100 \cdot 0{,}125 = 12{,}5 \text{ gram}$

Alternativ metode:
Per år er vekstfaktoren $b = 0{,}5^{1/5} = 0{,}5^{0{,}2} \approx 0{,}871$

$m(t) = 100 \cdot 0{,}5^{t/5} \approx 100 \cdot 0{,}871^t$
$m(15) = 100 \cdot 0{,}5^{15/5} = 12{,}5 \text{ gram}$

Svar: 12,5 gram

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Eksponentialfunksjonar med ulike grunntal

Tre eksponentialfunksjonar:

f(x) = 2^x

(vekst),

g(x) = e^x

(naturleg grunntal) og

h(x) = 0{,}5^x

(avtakande). Alle går gjennom

(0, 1)

. Sjå korleis grunntalet styrer forma.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 2^x
g(x) = e^x
h(x) = 0.5^x

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Grafiske eigenskapar

Alle eksponentialfunksjonar $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ har:
- Definisjonsmengd: alle reelle tal
- Verdimengd: $\langle 0, \rightarrow \rangle$ (alltid positive verdiar)
- Skjering med $y$ -aksen: $(0, a)$
- Ingen nullpunkt (grafen kryssar aldri $x$ -aksen)
- Horisontal asymptote: $y = 0$

For $b > 1$ : Grafen er stigande
For $0 < b < 1$ : Grafen er synkande

✏️Skissere grafar

Skisser grafane til $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ i same koordinatsystem.

For $f(x) = 2^x$ :
-

\displaystyle f(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{4}

\displaystyle f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}

f(0) = 2^0 = 1

f(1) = 2^1 = 2

f(2) = 2^2 = 4

Stigande graf med horisontal asymptote $y = 0$ mot venstre.

For $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ :
Dette er spegelbiletet av $f(x)$ om $y$ -aksen.
- $g(-2) = 4$
- $g(-1) = 2$
- $g(0) = 1$
- $\displaystyle g(1) = \frac{1}{2}$
- $\displaystyle g(2) = \frac{1}{4}$

Synkande graf med horisontal asymptote $y = 0$ mot høgre.

Begge grafane går gjennom punktet $(0, 1)$ .

Kontinuerleg vekst

For kontinuerleg vekst med veksthastigheit $k$ brukar vi:
$f(t) = a \cdot e^{kt}$

- $k > 0$ : vekst
- $k < 0$ : nedgang

Samanhengen med diskret vekstfaktor $b$ :
$b = e^k \quad \text{eller} \quad k = \ln(b)$

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Finn vekstfaktoren når noko aukar med 8% per tidseining.

Finn vekstfaktoren når noko minkar med 15% per tidseining.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Finn $f(0)$ og $f(3)$ for $f(x) = 5 \cdot 2^x$ .

Finn $g(0)$ og $g(2)$ for $g(x) = 100 \cdot 0{,}5^x$ .

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Eit beløp på 10 000 kr blir sett i banken med 3% rente. Set opp ein funksjon for beløpet etter $t$ år.

Kor mykje er beløpet etter 5 år?

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Ein bakteriekultur doblar seg kvar time. Viss det er 1000 bakteriar no, kor mange er det etter 6 timar?

Etter kor mange timar er det over 1 million bakteriar?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Ein bil mistar 12% av verdien kvart år. Bilen kosta 400 000 kr ny. Set opp ein funksjon for verdien.

Kva er bilen verd etter 5 år?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Grafen til ein eksponentialfunksjon $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom $(0, 4)$ og $(2, 16)$ . Finn $a$ og $b$ .

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Eit radioaktivt stoff har halveringstid 10 dagar. Finn vekstfaktoren per dag.

Viss vi startar med 200 mg, kor mykje er igjen etter 25 dagar?

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Løys likninga $3^x = 81$ .

Løys likninga $2^{x+1} = 32$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Ei investering veks frå 50 000 kr til 80 000 kr på 8 år. Finn årleg rente (konstant prosentvis vekst).

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Forklar kvifor $2^x > 0$ for alle $x$ .

Har likninga $2^x = -1$ noka løysing?

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene (fordjuping):

Vis at $e^{\ln 2 \cdot x} = 2^x$ .

Skriv om $5^x$ på forma $e^{kx}$ .

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Ein folkesetnad veks eksponentielt. I 2020 var han 100 000, og i 2025 var han 115 000. Set opp ein modell og estimer folkesetnaden i 2030.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Eksponentialfunksjon: $f(x) = a \cdot b^x$ der $a = f(0)$ er startverdien og $b > 0$ er vekstfaktoren.
- Vekst og avtaking: $b > 1$ gir vekst, $0 < b < 1$ gir avtaking. Prosentvis endring per periode: $p = (b - 1) \cdot 100\,\%$ .
- Den naturlege eksponentialfunksjonen (fordjuping): $e^x$ med $e \approx 2{,}718$ , blir brukt ved kontinuerleg vekst.
- Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ (med $a > 0$ ) ligg alltid over $x$ -aksen og har $y = 0$ som horisontal asymptote.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Startverdi	$a = f(0)$
Vekstfaktor	Talet $b$ vi gangar med per eining
Eulertalet $e$	$e \approx 2{,}718$ , grunntal for naturleg eksponentialfunksjon
Kontinuerleg vekst	Vekst som skjer heile tida, modellert med $e^{kx}$

Viktige formlar

f(x) = a \cdot b^x

- Vekstfaktor:

\displaystyle b = 1 \pm \frac{p}{100}

- Kontinuerleg vekst (fordjuping):

f(t) = a \cdot e^{kt}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.