1.5 Ulikheter | Matematikk S1

Rasjonale uttrykk

Eit rasjonalt uttrykk er ein brøk der teljar og nemnar er polynom. For å forenkle:
1. Faktoriser teljar og nemnar fullstendig
2. Forkort felles faktorar
3. Angi avgrensingar på variabelen

Felles faktor:

6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)

Andregradsuttrykk:

x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

Konjugatsetninga:

x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

Kvadratsetningane:

x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2

Gruppering:

x^3 + x^2 - x - 1 = x^2(x+1) - (x+1) = (x+1)(x^2-1)

✏️Eksempel 1: Forenkle rasjonalt uttrykk

Forenkle $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ .

Teljar:

(x-2)(x+2)

. Nemnar:

(x+2)^2

\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}, \quad x \neq -2

✏️Eksempel 2: Addere rasjonale uttrykk

Forenkle $\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{2}{x+1}$ .

Fellesnemnar

(x-1)(x+1)

\frac{(x+1) + 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x-1}{x^2-1}

Vanleg feil

Ein kan berre forkorte faktorar, ikkje ledd! $\displaystyle \frac{x+3}{x+5} \neq \frac{3}{5}$ (FEIL). Men $\displaystyle \frac{x(x+3)}{x(x+5)} = \frac{x+3}{x+5}$ er rett.

📝Oppgave 1.5.1

Faktoriser uttrykka fullstendig.

x^2 - 6x + 9

2x^2 - 8

x^3 - x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.5.2

Forenkle dei rasjonale uttrykka.

\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}

\dfrac{x^2 + 3x}{x^2 + 5x + 6}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.5.3

Utfør rekneoperasjonane og forenkle.

\dfrac{2}{x+1} - \dfrac{1}{x-1}

\dfrac{x}{x-2} \cdot \dfrac{x^2-4}{x^2}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.5.4

Forenkle dei samansette brøkuttrykka.

\displaystyle \dfrac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}

\displaystyle \dfrac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 1.5.5

Vis at $\dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \dfrac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$ for $x \neq 2$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Faktoriseringsmetodar: Set felles faktor utanfor, bruk kvadratsetningane og konjugatsetninga, eller finn nullpunkt med abc-formelen.
- Forenkling av rasjonale uttrykk: Faktoriser teljar og nemnar fullstendig før du forkortar — du kan berre stryke felles faktorar, aldri ledd.
- Addisjon av brøkar: Faktoriser nemnarane for å finne minste fellesnemnar.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Felles faktor	Faktor som finst i alle ledd
Kvadratsetningane	$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
Konjugatsetninga	$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Minste fellesnemnar	Det minste uttrykket alle nemnarane deler

Viktige formlar

a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

der

x_1, x_2

er nullpunkta

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver