6.3 Hastighet og akselerasjon

a) Vi set inn verdiane for $t$:

Ved $t = 0$: $\vec{r}(0) = [2 \cdot 0 + 1, 3 \cdot 0 - 2] = [1, -2]$

Ved $t = 1$: $\vec{r}(1) = [2 \cdot 1 + 1, 3 \cdot 1 - 2] = [3, 1]$

Ved $t = 2$: $\vec{r}(2) = [2 \cdot 2 + 1, 3 \cdot 2 - 2] = [5, 4]$

b) Objektet startar i punktet $(1, -2)$ og rører seg langs ei rett linje. For kvart sekund flyttar det seg 2 meter i $x$-retning og 3 meter i $y$-retning.

Dette er rettlinja rørsle med konstant fart.

a) Vi reknar ut avstanden frå origo:

$$|\vec{r}(t)| = \sqrt{(3\cos t)^2 + (3\sin t)^2}$$
$$= \sqrt{9\cos^2 t + 9\sin^2 t}$$
$$= \sqrt{9(\cos^2 t + \sin^2 t)}$$
$$= \sqrt{9 \cdot 1} = 3$$

Avstanden frå origo er alltid 3, så partikkelen rører seg på ein sirkel med radius 3.

b) Posisjonane:

Ved $t = 0$: $\vec{r}(0) = [3\cos 0, 3\sin 0] = [3, 0]$

Ved $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$: $\displaystyle \vec{r}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left[3\cos \frac{\pi}{2}, 3\sin \frac{\pi}{2}\right] = [0, 3]$

Ved $t = \pi$: $\vec{r}(\pi) = [3\cos \pi, 3\sin \pi] = [-3, 0]$

Partikkelen startar i $(3, 0)$ og rører seg mot klokka rundt sirkelen.

Vi deriverer komponent for komponent:

$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [\frac{d}{dt}(2t + 1), \frac{d}{dt}(3t - 2)]$$
$$= [2, 3]$$

Fartsvektoren er konstant: $\vec{v}(t) = [2, 3]$.

Dette stadfestar at objektet har konstant fart - det rører seg med 2 m/s i $x$-retning og 3 m/s i $y$-retning.

a) Vi deriverer:

$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [\frac{d}{dt}(3\cos t), \frac{d}{dt}(3\sin t)]$$
$$= [-3\sin t, 3\cos t]$$

b) To vektorar står vinkelrett på kvarandre viss skalarproduktet er null:

$$\vec{r}(t) \cdot \vec{v}(t) = [3\cos t, 3\sin t] \cdot [-3\sin t, 3\cos t]$$
$$= 3\cos t \cdot (-3\sin t) + 3\sin t \cdot 3\cos t$$
$$= -9\cos t \sin t + 9\sin t \cos t$$
$$= 0$$

Skalarproduktet er alltid null, så $\vec{v}(t) \perp \vec{r}(t)$ for alle $t$.

Dette gjev fysisk meining: ved sirkelrørsle peikar farten langs tangenten, som er vinkelrett på radiusvektoren.

a) Fartsvektoren:
$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [2t, 2]$$

b) Farten:
$$v(t) = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(2t)^2 + 2^2} = \sqrt{4t^2 + 4} = 2\sqrt{t^2 + 1}$$

c) Ved $t = 2$:
$$v(2) = 2\sqrt{2^2 + 1} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \text{ m/s}$$

Farten ved $t = 2$ sekund er $2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ m/s.

Frå Eksempel 4 har vi fartsvektoren:
$$\vec{v}(t) = [-3\sin t, 3\cos t]$$

Farten blir:
$$v(t) = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2}$$
$$= \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t}$$
$$= \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t)}$$
$$= \sqrt{9} = 3$$

Farten er konstant lik 3 m/s for alle $t$.

Dette er karakteristisk for uniform sirkelrørsle: farten er konstant sjølv om farten (retninga) endrar seg kontinuerleg.

a) Vi deriverer fartsvektoren $\vec{v}(t) = [-3\sin t, 3\cos t]$:

$$\vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = [-3\cos t, -3\sin t]$$

b) Vi ser at:
$$\vec{a}(t) = [-3\cos t, -3\sin t] = -[3\cos t, 3\sin t] = -\vec{r}(t)$$

Akselerasjonen peikar i motsett retning av posisjonsvektoren, altså mot origo (sentrum av sirkelen).

Dette blir kalla sentripetalakselerasjon - akselerasjonen som held objektet i sirkelbana.

c) Storleiken:
$$|\vec{a}(t)| = |-\vec{r}(t)| = |\vec{r}(t)| = 3$$

Akselerasjonen har konstant storleik 3 m/s$^2$.

a) Farten:
$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [3t^2 - 3, 2t]$$

Akselerasjonen:
$$\vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = [6t, 2]$$

b) Ved $t = 1$:
$$\vec{a}(1) = [6 \cdot 1, 2] = [6, 2]$$

Storleiken: $|\vec{a}(1)| = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ m/s$^2$.

c) Akselerasjonen er null når $\vec{a}(t) = [0, 0]$:
- $6t = 0 \Rightarrow t = 0$
- $2 = 0$ (umogleg)

Det finst ingen $t$ der begge komponentane er null. Akselerasjonen er aldri null fordi $y$-komponenten alltid er 2.

Vi har $v_0 = 20$ m/s, $\alpha = 30°$, $g = 10$ m/s$^2$.

Først reknar vi ut:
- $\displaystyle \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$
- $\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2} = 0{,}5$

a) Posisjonsvektoren:
$$\vec{r}(t) = [20t \cdot \cos 30°, 20t \cdot \sin 30° - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2]$$
$$= [20t \cdot 0{,}866, 20t \cdot 0{,}5 - 5t^2]$$
$$= [17{,}32t, 10t - 5t^2]$$

b) Maksimal høgd blir nådd når $v_y(t) = 0$:
$$v_y(t) = 20 \sin 30° - 10t = 10 - 10t = 0$$
$$t = 1 \text{ s}$$

Maksimal høgd:
$$y(1) = 10 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 10 - 5 = 5 \text{ m}$$

c) Ballen landar når $y(t) = 0$:
$$10t - 5t^2 = 0$$
$$5t(2 - t) = 0$$
$$t = 0 \text{ eller } t = 2 \text{ s}$$

Ved $t = 2$ s:
$$x(2) = 17{,}32 \cdot 2 = 34{,}64 \text{ m}$$

Skotlengda er ca. $34{,}6$ m.

Horisontalt kast betyr $\alpha = 0°$, så $\cos 0° = 1$ og $\sin 0° = 0$.

a) Posisjonsvektoren:
$$\vec{r}(t) = [15t, 0 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2] = [15t, -5t^2]$$

(Negativ $y$ betyr nedover frå startpunktet.)

b) Ballen landar når $y = -80$:
$$-5t^2 = -80$$
$$t^2 = 16$$
$$t = 4 \text{ s}$$

c) Horisontal avstand:
$$x(4) = 15 \cdot 4 = 60 \text{ m}$$

d) Farten ved landing:
$$\vec{v}(t) = [15, -10t]$$
$$\vec{v}(4) = [15, -40]$$

Farten:
$$v(4) = |\vec{v}(4)| = \sqrt{15^2 + (-40)^2} = \sqrt{225 + 1600} = \sqrt{1825} \approx 42{,}7 \text{ m/s}$$

a) Vinkelfarten:

Ei omdreiing = $2\pi$ radianar på 8 sekund:
$$\omega = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \text{ rad/s}$$

b) Posisjonsvektoren med $r = 4$:
$$\vec{r}(t) = \left[4\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right), 4\sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)\right]$$

c) Farten:
$$v = r\omega = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi \approx 3{,}14 \text{ m/s}$$

d) Sentripetalakselerasjonen:
$$|\vec{a}| = r\omega^2 = 4 \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = 4 \cdot \frac{\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{4} \approx 2{,}47 \text{ m/s}^2$$

Alternativt: $\displaystyle |\vec{a}| = \frac{v^2}{r} = \frac{\pi^2}{4}$ m/s$^2$.

Gjer om til SI-einingar:
- $r = 7000 \text{ km} = 7{,}0 \times 10^6$ m
- $T = 90 \text{ min} = 5400$ s

a) Vinkelfarten:
$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{5400} \approx 1{,}16 \times 10^{-3} \text{ rad/s}$$

b) Farten:
$$v = r\omega = 7{,}0 \times 10^6 \cdot 1{,}16 \times 10^{-3} \approx 8140 \text{ m/s} \approx 8{,}1 \text{ km/s}$$

c) Akselerasjonen:
$$|\vec{a}| = \frac{v^2}{r} = \frac{(8140)^2}{7{,}0 \times 10^6} \approx 9{,}5 \text{ m/s}^2$$

Dette er nesten lik tyngdeakselerasjonen på jordoverflata ($g \approx 9{,}8$ m/s$^2$), noko som gjev meining fysisk.

a) Avstanden frå origo er $|\vec{r}(t)| = \sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin^2 t} = |t|$.

For $t > 0$ aukar avstanden lineært med tida medan partikkelen roterer rundt origo. Dette er ein arkimedisk spiral som utvidar seg utover.

b) Fartsvektoren (produktregelen):
$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [\cos t - t\sin t, \sin t + t\cos t]$$

c) Farten:
$$v(t) = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(\cos t - t\sin t)^2 + (\sin t + t\cos t)^2}$$

Utvidar vi og forenklar:
$$= \sqrt{\cos^2 t - 2t\cos t\sin t + t^2\sin^2 t + \sin^2 t + 2t\sin t\cos t + t^2\cos^2 t}$$
$$= \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t + t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}$$
$$= \sqrt{1 + t^2}$$

Farten aukar med tida: $v(t) = \sqrt{1 + t^2}$.

Steg 1: Finn farten ved integrasjon

$$\vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) \, dt = \int [2, 6t] \, dt = [2t + C_1, 3t^2 + C_2]$$

Bruker initialvilkåret $\vec{v}(0) = [1, 0]$:
$$[C_1, C_2] = [1, 0]$$

Altså: $\vec{v}(t) = [2t + 1, 3t^2]$

Steg 2: Finn posisjonen ved integrasjon

$$\vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) \, dt = \int [2t + 1, 3t^2] \, dt = [t^2 + t + D_1, t^3 + D_2]$$

Bruker initialvilkåret $\vec{r}(0) = [0, 0]$:
$$[D_1, D_2] = [0, 0]$$

Svar:
$$\vec{r}(t) = [t^2 + t, t^3]$$

Horisontal komponent: $a_x = -0{,}1v_x$
- Negativ akselerasjon proporsjonal med $v_x$
- Dette representerer luftmotstand som bremsar horisontal rørsle
- Jo raskare objektet går, desto større er motstanden

Vertikal komponent: $a_y = -10 - 0{,}1v_y$
- Leddet $-10$ er tyngdeakselerasjonen (ned)
- Leddet $-0{,}1v_y$ er vertikal luftmotstand
- Når objektet går oppover ($v_y > 0$): både tyngdekraft og luftmotstand verkar nedover
- Når objektet fell ($v_y < 0$): tyngdekrafta verkar ned, men luftmotstanden verkar oppover (bremsar fallet)

Konsekvensar:
- Objektet når ikkje så høgt som utan luftmotstand
- Rekkevidda blir kortare
- Objektet når til slutt ein terminalfart der luftmotstanden balanserer tyngdekrafta

a) Farten:
$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [1 - \cos t, \sin t]$$

Akselerasjonen:
$$\vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = [\sin t, \cos t]$$

b) Farten:
$$v(t) = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(1 - \cos t)^2 + \sin^2 t}$$

Utvidar:
$$= \sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t}$$
$$= \sqrt{1 - 2\cos t + 1}$$
$$= \sqrt{2 - 2\cos t}$$
$$= \sqrt{2(1 - \cos t)}$$

Bruker identiteten $\displaystyle 1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$:
$$= \sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}} = 2\left|\sin\frac{t}{2}\right|$$

c) Farten er null når $\displaystyle \sin\frac{t}{2} = 0$:
$$\frac{t}{2} = n\pi, \quad n = 0, 1, 2, ...$$
$$t = 0, 2\pi, 4\pi, ...$$

Dette er tidspunkta der punktet på hjulet er i kontakt med bakken - då står det mellombels stille!