1.5 Uendelege rekkjer og konvergens | Matematikk R2

Når konvergerer ei uendeleg rekkje?

55 min

9 oppgaver

KonvergensDivergensGrenseverdiKonvergenskriterium

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.4Rekker og summasjon

Uendelege rekkjer

I førre kapittel såg vi på endelege rekkjer - summar med eit bestemt tal på ledd. Men kva skjer når vi lèt talet på ledd gå mot uendeleg?

Tenk på rekkja $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ . Sjølv om vi legg saman uendeleg mange ledd, veks ikkje summen over alle grenser - han nærmar seg talet 2.

Uendeleg rekkje

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

Konvergens og divergens

\{S_n\}

📜Uendeleg geometrisk rekkje

For ei geometrisk rekkje med første ledd

a_1

og kvotient

k

der

|k| < 1

$\sum_{n=1}^{\infty} a_1 \cdot k^{n-1} = \frac{a_1}{1 - k}$

Dersom $|k| \geq 1$ , divergerer rekkja.

✏️Døme 1: Geometrisk rekkje

Finn summen av den uendelege geometriske rekkja $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$

Vi har

a_1 = 1

\displaystyle k = \frac{1}{2}

Delsummane:
- $S_1 = 1$
- $S_2 = 1{,}5$
- $S_3 = 1{,}75$
- $S_4 = 1{,}875$

Når $n \to \infty$ , går $\displaystyle (\frac{1}{2})^n \to 0$ , så:
$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

Svar: Rekkja konvergerer mot $2$ .

📝Oppgave 1

Finn summen av den uendelege geometriske rekkja $\displaystyle 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$

✏️Døme 2: Sprettball

Ein ball blir sleppt frå 10 m og spretter til 60 % av førre høgd. Finn total strekning.

Første fall: 10 m ned.
Første sprett: 6 m opp + 6 m ned = 12 m
Andre sprett: 3,6 m opp + 3,6 m ned = 7,2 m

Total strekning:
$S = 10 + 2(6 + 3{,}6 + 2{,}16 + \cdots)$

Rekkja $6 + 3{,}6 + \cdots$ er geometrisk med $a_1 = 6$ , $k = 0{,}6$ :
$S = 10 + 2 \cdot \frac{6}{1-0{,}6} = 10 + 2 \cdot 15 = 40 \text{ m}$

Svar: Den totale strekninga er $40$ m.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Konvergens av ei geometrisk rekkje

Delsummane

S_n = 2(1 - 0{,}5^n)

av rekkja

\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots

nærmar seg grensa

S = 2

(stipla linje). Endre kvotienten og sjå kva som skjer når

|k| \ge 1

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

l1 = Sequence((n, 2 (1 - 0.5^n)), n, 1, 15)
g: y = 2
SetLineStyle(g, 2)
SetColor(g, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 2

Ein pendel svingar frå side til side med avtagande utslag. Den første svinginga er 20 cm lang, og kvar ny svinging er 75 % av den førre. Finn kor langt pendelen rører seg til saman.

Divergente rekkjer

Ikkje alle uendelege rekkjer konvergerer. Den harmoniske rekkja $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$ divergerer, sjølv om ledda går mot null.

📜Nødvendig vilkår for konvergens

Dersom rekkja $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergerer, så må $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ .

Merk: Dette er nødvendig, men ikkje tilstrekkeleg. At $a_n \to 0$ garanterer ikkje konvergens!

✏️Døme 3: Harmonisk rekkje

Undersøk om den harmoniske rekkja $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ konvergerer.

Ledda går mot null:

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Men rekkja divergerer! Vi kan gruppere ledda:
$1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{8}\right) + \cdots$

Kvar gruppe er større enn $\displaystyle \frac{1}{2}$ , så summen veks utan grense.

Svar: Den harmoniske rekkja divergerer.

📝Oppgave 3

Avgjer om rekkja $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$ konvergerer eller divergerer.

📜Fordjuping: p-rekker

Rekka $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ konvergerer viss $p > 1$ og divergerer viss $p \leq 1$ .

Fordjuping: setninga blir ikkje vist i R2 og er ikkje eksamensstoff. Den harmoniske rekka ( $p = 1$ ) i eksempel 3 er det tilfellet du må kjenne.

✏️Eksempel 4 (fordjuping): p-rekker

Avgjer om $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ og $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ konvergerer.

Rekkje 1:

p = 2 > 1

, så rekkja konvergerer.

Rekkje 2: $\displaystyle p = \frac{1}{2} < 1$ , så rekkja divergerer.

Svar: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ konvergerer, og $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ divergerer.

📝Oppgave 4

(Fordjuping) Avgjer om rekka $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1{,}5}}$ konvergerer.

Oppsummering

Type rekkje	Vilkår	Konklusjon
Geometrisk	$\|k\| < 1$	Konvergerer, sum $\displaystyle = \frac{a_1}{1-k}$
Geometrisk	$\|k\| \geq 1$	Divergerer
p-rekke (fordjuping)	$p > 1$	Konvergerer
p-rekke (fordjuping)	$p \leq 1$	Divergerer

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.