9.3 Kontrapositiv og kontradiksjon

Kontrapositiv bevisføring og bevis ved selvmotsigelse, inkludert sqrt(2) og primtall.

50 min

10 oppgaver

KontrapositivKontradiksjonIrrasjonale tallPrimtall

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.1Direkte bevis og moteksempler

Kontrapositiv og kontradiksjon

I kapittel 9.1 lærte du direkte bevis, og i 9.2 bevis ved induksjon. Nokre gonger er det vanskeleg eller umogleg å bevise ein påstand direkte. Då kan vi bruke to kraftige indirekte bevismetodar:

- Kontrapositiv: I staden for å bevise «dersom $P$ , så $Q$ », beviser vi den logisk ekvivalente påstanden «dersom ikkje $Q$ , så ikkje $P$ ».
- Kontradiksjon (sjølvmotseiing): Vi antar at påstanden er usann, og utleier ei sjølvmotseiing. Då må påstanden vere sann.

Desse metodane er særleg nyttige for å bevise eksistensresultat og eigenskapar ved irrasjonale tal.

Kontrapositiv

P \Rightarrow Q

✏️Eksempel 1: Kontrapositiv bevisfoering

Bevis: Dersom $n^2$ er odde, så er $n$ odde (der $n$ er eit heiltal).

Bevis (kontrapositiv):

Vi beviser kontrapositivet: «Dersom $n$ er partal, så er $n^2$ partal.»

Lat $n$ vere partal. Då finst det eit heiltal $k$ slik at $n = 2k$ .

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

Sidan $2k^2$ er eit heiltal, er $n^2$ partal. $\square$

Vi har vist at $\neg Q \Rightarrow \neg P$ , som er ekvivalent med $P \Rightarrow Q$ .

📝Oppgave 1

Kontrapositiv bevisfoering.

Skriv kontrapositivet til: «Dersom $n$ er deleleg med 6, så er $n$ deleleg med 3.»

Bevis ved kontrapositiv: Dersom $n^2$ er deleleg med 3, så er $n$ deleleg med 3.

Bevis ved kontradiksjon (sjølvmotseiing)

P

✏️Eksempel 2: sqrt(2) er irrasjonell

Bevis at $\sqrt{2}$ er eit irrasjonelt tal.

Bevis (ved kontradiksjon):

Anta at $\sqrt{2}$ er rasjonell. Då kan vi skrive $\displaystyle \sqrt{2} = \frac{a}{b}$ der $a$ og $b$ er heiltal med $b \neq 0$ og brøken er maksimalt forkorta (dvs. $\gcd(a, b) = 1$ ).

Kvadrer begge sider:
$2 = \frac{a^2}{b^2} \quad \Rightarrow \quad a^2 = 2b^2$

Altså er $a^2$ partal. Frå Eksempel 1 (kontrapositiv) veit vi at dette tyder at $a$ er partal. Skriv $a = 2k$ :

$4k^2 = 2b^2 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 2k^2$

Altså er $b^2$ partal, som tyder at $b$ òg er partal.

Men viss både $a$ og $b$ er partal, er brøken $\displaystyle \frac{a}{b}$ ikkje maksimalt forkorta. Dette motseier antakinga.

Altså er $\sqrt{2}$ irrasjonell. $\square$

📝Oppgave 2

Irrasjonale tal.

Bevis at $\sqrt{3}$ er irrasjonell. (Hint: Du treng først å vise at $n^2$ deleleg med 3 medfører at $n$ er deleleg med 3.)

Bevis at $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ er irrasjonell. (Hint: Anta at summen er rasjonell og vis at dette fører til at $\sqrt{2}$ er rasjonell.)

📜Euklids teorem: Det finst uendeleg mange primtal

Teorem (Euklid, ca. 300 f.Kr.): Det finst uendeleg mange primtal.

Bevis (ved kontradiksjon):

Anta at det finst endeleg mange primtal: $p_1, p_2, \ldots, p_n$ .

Konstruer talet:
$N = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1$

Då er $N > 1$ , så $N$ har minst éin primfaktor $p$ . Men $N$ gjev rest 1 ved divisjon med kvart av primtala $p_1, p_2, \ldots, p_n$ . Altså er $p$ eit primtal som ikkje er blant $p_1, \ldots, p_n$ .

Dette motseier antakinga om at lista inneheld alle primtal.

Altså finst det uendeleg mange primtal. $\square$

📝Oppgave 3

Primtal og Euklids bevis.

I Euklids bevis: Viss vi startar med primtala $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5$ , kva er $N$ ? Er $N$ sjølv eit primtal?

Gjenta med $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7$ . Er $N$ eit primtal?

Gjenta med $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7, p_5 = 11, p_6 = 13$ . Er $N$ eit primtal? Viss ikkje, faktoriser.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært to indirekte bevismetodar:

- Kontrapositiv: For å bevise $P \Rightarrow Q$ , bevis $\neg Q \Rightarrow \neg P$ i staden.
- Kontradiksjon: Anta at påstanden er usann, og utlei ei sjølvmotseiing.

Når brukar du kva metode?

Metode	Når
Direkte bevis	Naturleg veg frå antaking til konklusjon
Kontrapositiv	Enklare å starte frå negasjonen av konklusjonen
Kontradiksjon	Påstanden handlar om «umoglegheit» eller «ikkje-eksistens»
Induksjon	Påstand om alle naturlege tal

Beviset for at

\sqrt{2}

er irrasjonell og Euklids bevis er to av dei mest kjende eksempla i matematikkens historie.

📝Oppgave 4

Avanserte bevis.

Bevis ved kontradiksjon at det ikkje finst noko største partal.

Bevis ved kontrapositiv: For heiltal $a$ og $b$ , dersom $ab$ er odde, så er både $a$ og $b$ odde.

Bevis at $\log_2 3$ er irrasjonell.

📝Oppgave 5

Kva bevismetode er mest tenleg for å vise at $\sqrt{5}$ er irrasjonell?

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.