8.6 Betinget sannsynlighet og uavhengighet | Matematikk R1

Betinget sannsynlighet, produktregelen og uavhengige hendelser.

55 min

21 oppgaver

Betinget sannsynlighetProduktregelenUavhengige hendelserBayes' setning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.5Sannsynlighetsmodeller

Sannsyn i den verkelege verda

I dette kapittelet set vi saman verktøya frå dei føregåande kapitla og bruker dei på realistiske problem. Vi introduserer også Bayes' setning, eit kraftig verktøy for å oppdatere sannsyn når vi får ny informasjon, og ser på korleis simulering kan brukast til å estimere sannsyn som er vanskelege å rekne ut analytisk.

📜Bayes' setning

Lat

B_1, B_2, \ldots, B_n

vere ein partisjon av utfallsrommet, og lat

A

vere ei hending med

P(A) > 0

. Då gjeld:

$P(B_j \mid A) = \frac{P(B_j) \cdot P(A \mid B_j)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}$

Spesialtilfelle med to alternativ:
$P(B \mid A) = \frac{P(B) \cdot P(A \mid B)}{P(B) \cdot P(A \mid B) + P(B^c) \cdot P(A \mid B^c)}$

Tolking:
- $P(B_j)$ = prior (sannsyn for $B_j$ før vi veit om $A$ )
- $P(B_j \mid A)$ = posterior (oppdatert sannsyn etter å ha observert $A$ )
- $P(A \mid B_j)$ = likelihood (kor sannsynleg er $A$ gitt $B_j$ )

Bayes' setning blir brukt når vi kjenner $P(A \mid B)$ men treng $P(B \mid A)$ -- altså når vi vil «snu» betinginga.

Typiske situasjonar:
- Ein test er positiv -- kva er sannsynet for at personen faktisk er sjuk?
- Eit produkt er defekt -- frå kva maskin blei det truleg produsert?
- Eit dokument inneheld visse ord -- kva kategori høyrer det til?

✏️Eksempel 1: Medisinsk test

Ein medisinsk test for ein sjukdom har:
- Sensitivitet: $P(\text{positiv} \mid \text{sjuk}) = 0{,}99$ (testen fangar opp $99\%$ av sjuke)
- Spesifisitet: $P(\text{negativ} \mid \text{frisk}) = 0{,}95$ (testen frikjenner $95\%$ av friske)
- Prevalens: $P(\text{sjuk}) = 0{,}01$ (1% av befolkninga er sjuk)

Ein tilfeldig person testar positivt. Kva er sannsynet for at personen faktisk er sjuk?

Løysing:

Lat $S$ = sjuk, $T^+$ = positiv test.

$P(T^+ \mid S) = 0{,}99$ , $P(T^+ \mid S^c) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$ (falsk positiv)

$P(S) = 0{,}01$ , $P(S^c) = 0{,}99$

Totalsetninga:
$P(T^+) = P(S) \cdot P(T^+ \mid S) + P(S^c) \cdot P(T^+ \mid S^c) = 0{,}01 \cdot 0{,}99 + 0{,}99 \cdot 0{,}05 = 0{,}0099 + 0{,}0495 = 0{,}0594$

Bayes' setning:
$P(S \mid T^+) = \frac{0{,}01 \cdot 0{,}99}{0{,}0594} = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} \approx 0{,}167$

Berre ca. $17\%$ sjanse for at personen faktisk er sjuk! Sjølv med ein ganske god test gir ein positiv test lågt sannsyn når sjukdomen er sjeldan. Dette er base rate fallacy -- prevalensen spelar ei enorm rolle.

📝Oppgave 1

Ein fabrikk har tre maskiner A, B og C som produserer høvesvis $50\%$ , $30\%$ og $20\%$ av varene. Feilraten er: A: $1\%$ , B: $2\%$ , C: $3\%$ . Ei tilfeldig vare er defekt. Finn sannsynet for at ho blei produsert av maskin C.

📝Oppgave 2

Ein narkotikatest har sensitivitet $0{,}98$ og spesifisitet $0{,}97$ . I ei bedrift er $5\%$ av tilsette brukarar. Ein tilsett testar positivt.
a) Finn sannsynet for at den tilsette faktisk er brukar.
b) Kva skjer med svaret dersom prevalensen aukar til $20\%$ ?

Samansette sannsynsproblem

Mange praktiske problem krev at vi kombinerer fleire teknikkar: betinga sannsyn, binomisk fordeling, komplementsetninga og Bayes' setning. Nøkkelen er å identifisere rett modell for situasjonen og bryte problemet ned i overkommelege delsteg.

✏️Eksempel 2: Kvalitetskontroll

Ein forhandlar tingar varer i parti på $100$ . Defektraten varierer: $80\%$ av partia har $5\%$ defektrate, $20\%$ av partia har $15\%$ defektrate. Forhandlaren testar $5$ tilfeldige varer frå kvart parti. Partiet blir akseptert dersom ingen av dei $5$ er defekte. Finn sannsynet for at eit tilfeldig parti blir akseptert.

Løysing:

Lat $A$ = «partiet blir akseptert», $G$ = «godt parti» (5% defekt), $D$ = «dårleg parti» (15% defekt).

$P(A \mid G)$ : $X \sim \text{Bin}(5, 0{,}05)$ , $P(X = 0) = 0{,}95^5 \approx 0{,}774$

$P(A \mid D)$ : $Y \sim \text{Bin}(5, 0{,}15)$ , $P(Y = 0) = 0{,}85^5 \approx 0{,}444$

Totalsetninga:
$P(A) = 0{,}80 \cdot 0{,}774 + 0{,}20 \cdot 0{,}444 = 0{,}619 + 0{,}089 = 0{,}708$

Ca. $70{,}8\%$ av partia blir aksepterte.

📝Oppgave 3

I eksempelet over: Eit parti blir akseptert (alle $5$ testa varer er OK). Finn sannsynet for at det er eit «dårleg» parti (15% defektrate).

📝Oppgave 4

Du spelar eit spel der du kastar $3$ terningar. Du vinn dersom minst $2$ av dei $3$ viser seksar. Kva er sannsynet for å vinne?

📝Oppgave 5

Du har $3$ myntar: Mynt A er rettferdig ( $P(K) = 0{,}5$ ), mynt B er skeiv ( $P(K) = 0{,}7$ ), og mynt C er skeiv ( $P(K) = 0{,}3$ ). Du vel ein tilfeldig mynt og kastar han $4$ gonger. Resultatet er $3$ krone og $1$ mynt. Finn sannsynet for at du valde mynt B.

Monte Carlo-simulering

Nokre sannsynsproblem er vanskelege å løyse analytisk. Då kan vi bruke simulering (Monte Carlo-metoden): Gjenta forsøket mange gonger på ei datamaskin og tel opp delen gonger hendinga inntreff.

Prinsippet:
1. Simuler forsøket $N$ gonger (t.d. $N = 10{\,}000$ )
2. Tel talet på gonger hending $A$ inntreff: $n_A$
3. Estimer $\displaystyle P(A) \approx \frac{n_A}{N}$

Jo større $N$ , jo betre estimat (lova om store tal).

✏️Eksempel 3: Bursdagsproblemet med simulering

Estimer sannsynet for at minst to av $23$ personar deler fødselsdag, ved simulering.

Pseudokode:

antall_treff = 0
N = 100000

for i = 1 til N:
    generer 23 tilfeldige tall fra 1 til 365
    hvis noen tall er like:
        antall_treff += 1

estimat = antall_treff / N

Med $N = 100{\,}000$ simuleringar får vi typisk eit estimat rundt $0{,}507$ , som stemmer godt med den eksakte verdien $\approx 0{,}5073$ .

📝Oppgave 6

Skildr korleis du ville simulere følgjande eksperiment: Kaste $3$ terningar og finne sannsynet for at summen er nøyaktig $10$ . Skriv pseudokode og oppgi det eksakte sannsynet.

📝Oppgave 7

Eit lotteri har $3$ premiar og $7$ taparlodd (totalt $10$ lodd). Du kjøper $2$ lodd. Finn sannsynet for å vinne minst éin premie.

📝Oppgave 8

Monty Hall-problemet: Du er i eit speleshow. Det er

3

dører. Bak éi dør er ein premie, bak dei to andre er det geiter. Du vel dør

1

. Verten (som veit kva som er bak dørene) opnar dør

3

, som har ei geit. Du får velje: behalde dør

1

eller byte til dør

2

. Kva bør du gjere?

Bruk betinga sannsyn til å vise at du bør byte.

📝Oppgave 9

Ein alarm blir utløyst dersom det er eit innbrot (med sannsyn $0{,}95$ ), men han kan også bli utløyst av jordskjelv (med sannsyn $0{,}02$ ). $P(\text{innbrot}) = 0{,}001$ og $P(\text{jordskjelv}) = 0{,}002$ . Hendingane er uavhengige. Alarmen går. Finn sannsynet for at det er eit innbrot.

📝Oppgave 10

Ei pokermaskin trekkjer $5$ kort frå ein standard kortstokk med $52$ kort.
a) Finn sannsynet for «eitt par» (nøyaktig to kort med same verdi, resten forskjellige).
b) Finn sannsynet for «to par».

📝Oppgave 11

To spelarar (A og B) kastar kvar sin terning. Den som kastar høgast vinn. Ved likt kastar dei på nytt. Finn sannsynet for at A vinn.

📝Oppgave 12

Gambler's ruin: Per har

3

kroner og Kari har

2

kroner. Dei spelar gjentekne rundar der dei kastar ein rettferdig mynt. Ved krone gir Kari

1

krone til Per, ved mynt gir Per

1

krone til Kari. Spelet held fram til éin spelar er blakk.

Finn sannsynet for at Per vinn (dvs. endar med alle $5$ kronene).

📝Oppgave 13

Ei spåkone hevdar ho kan gjette rett farge (raud/svart) på kort trekt frå ein kortstokk. For å teste henne trekkjer du $20$ kort med tilbakelegging. Ho gjettar rett $14$ gonger.

a) Finn sannsynet for å gjette rett $14$ eller fleire gonger ved rein gjetting ( $p = 0{,}5$ ).
b) Er resultatet «overtydande»?

📝Oppgave 14

Pólya-urne: Ei urne inneheld

1

raud og

1

blå kule. Du trekkjer ei kule, noterer fargen, og legg kula tilbake saman med éi ekstra kule av same farge. Deretter trekkjer du att.

a) Finn sannsynet for at begge trekka gir raud.
b) Finn sannsynet for at det andre trekket gir raud.
c) Er dei to trekka uavhengige?

📝Oppgave 15

Eit forsikringsselskap sel bilforsikring. Dei reknar:
- $P(\text{ulukke i løpet av eit år}) = 0{,}05$
- Gjennomsnittleg erstatning ved ulukke: $80{\,}000$ kr
- Driftskostnader per kunde: $500$ kr

Kva er minste årlege premie selskapet kan ta for å gå i pluss i gjennomsnitt?

📝Oppgave 16

Coupon collector: Det finst

6

forskjellige samlekort i ein serie (like sannsynlege). Kvar pakke du kjøper inneheld eitt tilfeldig kort. Kor mange pakkar må du kjøpe i gjennomsnitt for å samle alle

6

Oppsummering

Bayes' setning: $\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(B) \cdot P(A \mid B)}{P(A)}$ -- snur betinginga.

Prior $\rightarrow$ Posterior: Bayes oppdaterer sannsynet for ein hypotese basert på ny evidens.

Base rate fallacy: Ein positiv test tyder ikkje nødvendigvis sjukdom -- prevalensen (base rate) spelar stor rolle.

Monte Carlo-simulering: Gjenta forsøket mange gonger for å estimere sannsyn.

Strategi for samansette problem:
1. Identifiser hendingane og relasjonane (uavhengige? betinga?)
2. Vel rett verktøy (binomisk? kombinatorikk? Bayes?)
3. Sjekk svaret (er det mellom $0$ og $1$ ? gir det meining i konteksten?)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.