8.4 Binomialkoeffisienter og Pascals trekant

Informasjon forandrar alt

Ein ven kastar ein terning bak ryggen din og seier: «Det blei eit partal.» Kva er no sannsynet for at det er ein seksar? Før beskjeden var svaret $\displaystyle \frac{1}{6}$. Men no veit du noko: utfallet er $2$, $4$ eller $6$. Tre moglegheiter, éi av dei er seks – sannsynet har hoppa til $\displaystyle \frac{1}{3}$.

Dette er kjernen i betinga sannsyn: ny informasjon krympar utfallsrommet, og sannsyna må reknast ut på nytt innanfor det som er att. Spørsmålet «kva er sannsynet for $A$, gitt at $B$ har inntruffe?» blir skrive $P(A \mid B)$, og det er kanskje det viktigaste enkeltomgrepet i heile sannsynslæra – det ligg under alt frå medisinske testar til spamfilter.

I dette kapittelet lærer du definisjonen, produktsetninga for «både-og»-sannsyn, det presise skiljet mellom uavhengige og disjunkte hendingar (som altfor mange blandar saman), og totalsetninga – verktøyet for å rekne seg gjennom oppdelte situasjonar.

Betinga sannsyn – det krympa utfallsrommet

Formelt blir det betinga sannsynet for $A$ gitt $B$ definert som

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$$

Les formelen som eit bilete: informasjonen «$B$ har skjedd» innskrenkar verda til $B$. Innanfor denne nye, mindre verda spør vi kor stor del som også høyrer til $A$ – altså snittet $A \cap B$ målt i forhold til heile $B$.

Terningeksempelet i formelspråk: Lat $A$ = «viser 6» og $B$ = «viser partal». Snittet $A \cap B$ er berre utfallet 6, så $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{6}$, medan $\displaystyle P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Då blir

$$P(A \mid B) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$$

– akkurat som intuisjonen sa: éi gunstig av tre attverande moglegheiter.

Ver nøye med retninga: $P(A \mid B)$ og $P(B \mid A)$ er generelt heilt forskjellige tal. Sannsynet for at nokon er våt gitt at det regnar, er ikkje det same som sannsynet for at det regnar gitt at nokon er våt – vedkomande kan jo ha dusja. Å halde dei to retningane frå kvarandre er halve kunsten i dette kapittelet, og det er nettopp den forvekslinga Bayes' setning (i kapittel 8.6) er laga for å rydde opp i.

Produktsetninga – sannsyn i fleire steg

Snur vi definisjonen av betinga sannsyn rundt, får vi produktsetninga:

$$\begin{aligned} P(A \cap B) &= P(B) \cdot P(A \mid B) \\ &= P(A) \cdot P(B \mid A) \end{aligned}$$

Ho blir lesen naturleg som ei historie i to akter: sannsynet for at begge hendingane skjer, er sannsynet for den første gonger sannsynet for den andre gitt den første. For tre hendingar held kjeda fram: $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \cap B)$.

Paradegreina er trekking utan tilbakelegging. Ei øskje inneheld 8 raude og 4 blå kuler, og du trekkjer to. Kva er sannsynet for at begge er raude? Første trekk: $\displaystyle P(R_1) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. Men no er verda endra – éi raud kule er borte. Andre trekk: $\displaystyle P(R_2 \mid R_1) = \frac{7}{11}$. Produktsetninga limar det saman:

$$P(R_1 \cap R_2) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} = \frac{14}{33} \approx 0{,}424$$

Tenk på det som å vandre nedover eit valtre der greinene er merkte med sannsyn: du gangar deg nedover langs vegen. Kvar grein tek omsyn til alt som har skjedd ovanfor – det er nettopp det det betinga sannsynet gjer. Dette biletet – tre med sannsyn på greinene – er kanskje det nyttigaste mentale verktøyet i heile sannsynsrekninga, og vi skal bruke det att i totalsetninga.

Uavhengigheit – og forvekslinga alle gjer

Nokre gonger gir informasjon ingen effekt. Veit du at første myntkast gav krone, er sannsynet for krone i neste kast framleis $\displaystyle \frac{1}{2}$ – mynten har inga hugsing. Slike hendingar blir kalla uavhengige: $P(A \mid B) = P(A)$. Set vi dette inn i produktsetninga, får vi det ekvivalente og mest brukte vilkåret:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Uavhengigheit er ei gåve når du reknar: «både-og»-sannsyn blir reine produkt, utan betinga ledd.

Men no til forvekslinga som feller flest: uavhengig er ikkje det same som disjunkt. Faktisk er det nesten motsett! Disjunkte hendingar har $A \cap B = \emptyset$, altså $P(A \cap B) = 0$: dersom $A$ skjer, kan $B$ ikkje skje. Det er ekstremt sterk avhengigheit – informasjonen om $A$ avgjer $B$ fullstendig. Uavhengige hendingar, derimot, kan utmerkt godt skje samtidig; poenget er at den eine ikkje påverkar sjansen for den andre.

Konkret: Kast to terningar. Lat $A$ = «terning 1 viser 6» og $B$ = «terning 2 viser 6». Desse er uavhengige – terningane veit ikkje om kvarandre – men ikkje disjunkte, for begge kan vise 6 samtidig: $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$. Samanlikn med $C$ = «terning 1 viser 6» og $D$ = «terning 1 viser 3»: desse er disjunkte (same terning kan ikkje vise begge), og dermed sterkt avhengige. Memorer eksempelet – det reddar deg frå ei klassisk eksamensfelle.

Totalsetninga – å rekne via oppdeling

Siste verktøy i dette kapittelet løyser eit vanleg praktisk problem: du vil finne $P(A)$, men sannsynet er avhengig av kva «situasjon» ein er i – og du kjenner berre dei betinga sannsyna i kvar situasjon.

Ein fabrikk har to maskiner. Maskin I lagar 60 % av delane med 3 % defektrate; maskin II lagar 40 % med 5 % defektrate. Kva er sannsynet for at ein tilfeldig del er defekt? Tenk valtre: først blir maskinen vald (to greiner), deretter blir defekt/ikkje avgjort (to greiner til). Sannsynet for «defekt» er summen over dei to vegane som endar der:

$$\begin{aligned} P(D) &= P(M_1) \cdot P(D \mid M_1) + P(M_2) \cdot P(D \mid M_2) \\ &= 0{,}60 \cdot 0{,}03 + 0{,}40 \cdot 0{,}05 \\ &= 0{,}038 \end{aligned}$$

Altså 3,8 %. Dette er totalsetninga (lova om total sannsyn). Generelt: dersom $B_1, B_2, \ldots, B_n$ er ein partisjon av utfallsrommet – gjensidig utelukkande hendingar som til saman dekkjer alt – gjeld

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$$

Det viktigaste spesialtilfellet har berre to alternativ, $B$ og komplementet $B^c$: $P(A) = P(B)P(A \mid B) + P(B^c)P(A \mid B^c)$.

Intuisjonen er eit vekta gjennomsnitt: kvar situasjon bidreg med sitt betinga sannsyn, vekta med kor sannsynleg situasjonen sjølv er. Totalsetninga er også springbrettet til neste store tema – i kapittel 8.6 snur Bayes' setning reknestykket og spør: gitt at delen var defekt, kva maskin kom han frå?

Oppsummering: å rekne med det du veit

Ny informasjon krympar utfallsrommet, og betinga sannsyn måler verda etter krympinga: $\displaystyle P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Snudd om gir dette produktsetninga $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$ – historia i to akter, perfekt for trekking utan tilbakelegging, der kvart trekk endrar føresetnadene for det neste.

Uavhengige hendingar er dei der informasjonen ikkje bit: $P(A \mid B) = P(A)$, ekvivalent med $P(A \cap B) = P(A)P(B)$. Og hugs det avgjerande skiljet: disjunkte hendingar er ikkje uavhengige – dei er ekstremt avhengige, for den eine utelukkar den andre. To terningar som begge kan vise seks er uavhengige; éin terning som skulle vist både tre og seks er ein umoglegheit.

Totalsetninga $P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ lèt deg rekne ut eit totalsannsyn ved å dele verda i situasjonar og ta eit vekta gjennomsnitt – som fabrikken med to maskiner og 3,8 % samla defektrate. Med desse verktøya er du klar for to kraftfulle framhald: binomisk fordeling, og kronjuvelen Bayes' setning.