8.3 Kombinasjoner

Å setje tal på det usikre

«Det er nok femti-femti.» «Sjansen er liten.» «Det skjer garantert.» Vi snakkar om uvisse heile tida – men upresist. Sannsynsrekninga gjer det presist: ho set eit tal mellom $0$ og $1$ på kor truleg noko er, der $0$ tyder umogleg og $1$ tyder sikkert.

Og her kjem gevinsten frå kombinatorikken du nettopp har lært: Når alle utfall er like sannsynlege, er sannsynet rett og slett eit teljeforhold – talet på gunstige utfall delt på talet på moglege. Kast ein terning: seks moglege utfall, tre av dei er partal, så sannsynet for partal er $\displaystyle \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Å rekne sannsyn blir å telje, og telje kan du no.

I dette kapittelet byggjer vi det formelle fundamentet: utfallsrom og hendingar, den klassiske sannsynsdefinisjonen, og to reknereglar du kjem til å bruke heile tida – komplementsetninga og addisjonssetninga.

Utfallsrom, hendingar og klassisk sannsyn

Først litt vokabular. Eit stokastisk forsøk er eit forsøk med usikkert utfall – eit terningkast, eit korttrekk, eit lottotrekk. Utfallsrommet $\Omega$ er mengda av alle moglege utfall; for eitt terningkast er $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Ei hending $A$ er ei delmengd av utfallsrommet – «å kaste partal» er hendinga $A = \{2, 4, 6\}$. Vi skriv $|\Omega|$ for talet på moglege utfall og $|A|$ for talet på gunstige.

Når alle utfalla er like sannsynlege, gjeld den klassiske sannsynsdefinisjonen (Laplace):

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{talet på gunstige utfall}}{\text{totalt tal på utfall}}$$

Sannsyn ligg alltid mellom $0$ og $1$: $P(A) = 0$ tyder at hendinga er umogleg, $P(A) = 1$ at ho er sikker.

Lat oss kaste to terningar og spørje: kva er sannsynet for at summen blir $7$? Utfallsrommet består av alle par $(første, andre)$ – det er $6 \cdot 6 = 36$ like sannsynlege utfall (multiplikasjonsprinsippet!). Dei gunstige er $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ – seks stykke. Altså $\displaystyle P(\text{sum} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Merk føresetnaden «like sannsynlege»: han er avgjerande. Summane $2$ til $12$ er til dømes ikkje like sannsynlege – det finst seks vegar til sum $7$, men berre éin til sum $2$. Vel alltid eit utfallsrom der symmetrien garanterer like sannsynlege utfall.

Komplement og addisjon – to uunnverlege reglar

Nokre hendingar er lettare å telje baklengs. Kast tre myntar: kva er sannsynet for minst éin krone? Å telje alle utfalla med éin, to eller tre kroner er mogleg, men tungvint. Snu heller på det: motsetnaden til «minst éin krone» er «ingen krone» – og den hendinga har berre eitt utfall (mynt-mynt-mynt) av $2^3 = 8$ moglege. Komplementsetninga seier at for komplementet $A^c$ («$A$ inntreff ikkje») gjeld

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Dermed: $\displaystyle P(\text{minst éin krone}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$. Kvar gong du ser orda «minst éin», bør komplementet vere den første tanken din.

Den andre regelen handterer «eller». For to hendingar $A$ og $B$ gjeld addisjonssetninga:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

der $A \cup B$ tyder «$A$ eller $B$ (eller begge)» og $A \cap B$ tyder «både $A$ og $B$». Kvifor minusleddet? Trekk eit kort og spør: hjarter eller ess? $\displaystyle P(\text{hjarter}) = \frac{13}{52}$ og $\displaystyle P(\text{ess}) = \frac{4}{52}$ – men hjarter ess ligg i begge buntane og ville blitt telt dobbelt. Vi trekkjer frå $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{52}$:

$$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$

Berre når $A$ og $B$ er disjunkte – utan felles utfall – forenklar regelen seg til rein addisjon $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Når kombinatorikken tek over teljinga

For terningar og myntar kan vi telje på fingrane. Men kva med dette: du trekkjer 5 kort frå ein kortstokk – kva er sannsynet for nøyaktig 3 hjarter? No er det millionar av utfall, og det er her verktøya frå kapittel 8.2 kjem inn. Oppskrifta er alltid den same: avgjer utfallsrommet og rekn ut $|\Omega|$, tel dei gunstige utfalla $|A|$, og del.

Utfallsrommet er alle femkorts-hender: $|\Omega| = \binom{52}{5} = 2\,598\,960$.

Dei gunstige hendene har nøyaktig 3 hjarter og 2 ikkje-hjarter. Her bruker vi multiplikasjonsprinsippet på to kombinasjonar: vel 3 av dei 13 hjarterkorta og 2 av dei 39 andre korta:

$$|A| = \binom{13}{3} \cdot \binom{39}{2} = 286 \cdot 741 = 211\,926$$

Dermed blir sannsynet

$$P(A) = \frac{211\,926}{2\,598\,960} \approx 0{,}0815$$

– litt over 8 prosent. Legg merke til strukturen i teljaren: den typen «vel $k$ av suksessane og resten av dei andre»-uttrykk kjem du til å sjå att mange gonger, mellom anna i den hypergeometriske fordelinga seinare i kapittelet. Sannsynsrekning på dette nivået er nitti prosent ryddig teljing – og ti prosent å hugse å dele på rett totaltal.

Oppsummering: sannsyn er teljing med fornuft

Vi har gjort uvisse om til matematikk. Eit stokastisk forsøk har eit utfallsrom $\Omega$ av moglege utfall, ei hending $A$ er ei delmengd av det, og når alle utfalla er like sannsynlege, gjeld den klassiske definisjonen $\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ – med verdiar som alltid ligg mellom $0$ (umogleg) og $1$ (sikkert).

To reknereglar gjer livet enklare. Komplementsetninga $P(A^c) = 1 - P(A)$ er snarvegen for «minst éin»-spørsmål: tel den enkle motsetnaden i staden. Addisjonssetninga $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ handterer «eller»-spørsmål, der minusleddet hindrar dobbeltteljing av utfalla i snittet – og forsvinn heilt når hendingane er disjunkte.

Og når utfallsromma blir store, tek kombinatorikken over: binomialkoeffisientane tel både totalen ($\binom{52}{5}$ pokerhender) og dei gunstige ($\binom{13}{3}\binom{39}{2}$ hender med tre hjarter). I neste kapittel skrur vi opp vanskegraden med spørsmålet som forandrar alt: kva skjer med sannsynet når du får ny informasjon?