7.5 Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Farten til bølgja

Du sit i pariserhjulet igjen. Høgda di følgjer ei sinuskurve – men kor fort stig du akkurat no? Det spørsmålet handlar om den deriverte, og i dette kapittelet skal vi derivere dei trigonometriske funksjonane.

Reglane viser seg å vere forbløffande elegante: den deriverte av sinus er cosinus, og den deriverte av cosinus er minus sinus. Dei to funksjonane jagar kvarandre i ein evig dans. Men det er éi føresetnad for at dansen skal gå opp: vinkelen må målast i radianar. Dette er sjølve grunnen til at matematikarar insisterer på radianar – i grader ville formlane fått stygge omrekningsfaktorar.

Vi skal òg kombinere dei nye reglane med kjerneregelen, og til slutt bruke derivasjon til å drøfte trigonometriske funksjonar: finne toppane og botnane i bølgjelandskapet.

Dei grunnleggjande derivasjonsreglane

Her er kjernen i kapittelet:

$$(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x$$

Merk minusteiknet hos cosinus – det er den vanlegaste glippen. Men kvifor er det rimeleg at $(\sin x)' = \cos x$? Sjå på sinusgrafen. I $x = 0$ stig han bratt – og der er $\cos 0 = 1$, maksimal stiging. På toppen ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ er tangenten horisontal – og $\displaystyle \cos \frac{\pi}{2} = 0$. Ved $x = \pi$ søkk grafen bratt – og $\cos \pi = -1$. Cosinuskurva er stigingstalet til sinuskurva, punkt for punkt.

Tangens deriverer vi med brøkregelen på $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\begin{aligned} (\tan x)' &= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} \end{aligned}$$

– der den pytagoreiske identiteten rydda teljaren til $1$. Resultatet kan òg skrivast $1 + \tan^2 x$.

Dei vanlege derivasjonsreglane gjeld sjølvsagt framleis. Til dømes: $f(x) = 3\sin x$ gir $f'(x) = 3\cos x$, og $g(x) = x^2 + \cos x$ gir $g'(x) = 2x - \sin x$. Med produktregelen: $h(x) = \sin x \cos x$ gir $h'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ – og her dukka dobbeltvinkelformelen opp som ein bonus!

Kjerneregelen i sving

Kva med $\sin(3x)$ eller $\cos(x^2)$? Når argumentet er ein samansett funksjon, treng vi kjerneregelen: deriver den ytre funksjonen, og gang med den deriverte av kjernen. For trigonometriske funksjonar med kjerne $u = u(x)$:

$$\begin{aligned} &(\sin u)' = \cos u \cdot u' \\ &(\cos u)' = -\sin u \cdot u' \\ &(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u} \end{aligned}$$

Tre raske eksempel. For $f(x) = \sin(3x)$ er kjernen $u = 3x$ med $u' = 3$, så $f'(x) = 3\cos(3x)$. For $g(x) = \cos(x^2)$ er kjernen $u = x^2$ med $u' = 2x$, så $g'(x) = -2x\sin(x^2)$. For $h(x) = \tan(2x + 1)$ er $u' = 2$, så $\displaystyle h'(x) = \frac{2}{\cos^2(2x+1)}$.

Nokre gonger må kjerneregelen brukast i fleire lag. Ta $f(x) = \sin^2(3x)$, altså $[\sin(3x)]^2$. Ytst har vi ein kvadratfunksjon, i midten sinus, inst $3x$. Vi skrel laga utanfrå og inn:

$$f'(x) = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)$$

I siste steg kjende vi att dobbeltvinkelformelen $2\sin u \cos u = \sin 2u$ med $u = 3x$. Slik spelar identitetane frå førre kapittel og derivasjonen saman – det er sjeldan tilfeldig kva for ei form som er penast.

Å drøfte bølgjelandskapet

Med derivasjonsreglane på plass kan vi drøfte trigonometriske funksjonar akkurat som polynom: finn $f'(x)$, løys $f'(x) = 0$, og undersøk forteiknet for å skilje toppar frå botnar.

La oss drøfte $f(x) = 2\sin x + \cos(2x)$ på $[0, 2\pi]$. Derivasjon gir $f'(x) = 2\cos x - 2\sin(2x)$. Her bruker vi dobbeltvinkelformelen $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ og faktoriserer:

$$f'(x) = 2\cos x - 4\sin x \cos x = 2\cos x(1 - 2\sin x)$$

Dette er nøkkelgrepet – eit produkt er null når éin av faktorane er null. $\cos x = 0$ gir $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2}$. $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ gir $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$. Fire kritiske punkt.

Funksjonsverdiane: $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos\frac{\pi}{3} = \frac{3}{2}$, og tilsvarande $\displaystyle f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{3}{2}$. Vidare $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 + \cos\pi = 1$ og $\displaystyle f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -2 + \cos 3\pi = -3$. Forteiknsanalyse av $f'$ viser at $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ er lokale toppunkt (begge med verdi $\displaystyle \frac{3}{2}$), $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ er eit lokalt botnpunkt (verdi $1$), og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2}$ er det globale botnpunktet (verdi $-3$).

Legg merke til den doble toppen med ein liten dal imellom – eit landskap ei enkel sinuskurve aldri kunne laga. Det er samspelet mellom dei to ledda som skaper det, og derivasjonen avslører heile strukturen.

Oppsummering: dansen mellom sinus og cosinus

Vi har lært derivasjonsreglane til bølgjene: $(\sin x)' = \cos x$ og $(\cos x)' = -\sin x$ – to funksjonar som byter på å skildre stiginga til kvarandre, med eit minusteikn som einaste asymmetri. Tangens følgjer med på lasset: $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, utleidd med brøkregelen og rydda opp av den pytagoreiske identiteten. Og hugs føresetnaden for det heile: vinkelen må målast i radianar.

Kjerneregelen utvidar reglane til samansette uttrykk: $(\sin u)' = u'\cos u$ og $(\cos u)' = -u'\sin u$. Ved fleire lag skrel du utanfrå og inn, som i $\sin^2(3x)$, der svaret $3\sin(6x)$ fall pent på plass takka vere dobbeltvinkelformelen.

Til slutt brukte vi alt saman til funksjonsdrøfting: deriver, faktoriser (aldri del bort ein faktor!), løys $f'(x) = 0$, og lat forteiknsanalysen avsløre toppar og botnar i bølgjelandskapet. Dermed er sirkelen slutta: einingssirkelen gav oss funksjonane, grafane gav oss formspråket, og derivasjonen gir oss full kontroll over kvar einaste bølgjetopp.