7.4 Trigonometriske identiteter

Likningar som alltid er sanne

Du har møtt mange likningar som berre stemmer for bestemte verdiar av $x$. Men nokre likningar er sanne for alle verdiar – som $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Slike likningar blir kalla identitetar, og dei er verktøykassa til trigonometrien: dei lèt deg skrive om uttrykk til former som er enklare å rekne med, derivere eller integrere.

Tenk på det som valuta: $\sin 75°$ ser umogleg ut å berekne eksakt – $75°$ er ingen standardvinkel. Men $75° = 45° + 30°$, og begge desse er standardvinklar! Om vi berre hadde ein formel for sinus av ein sum... Det har vi: addisjonsformlane. I dette kapittelet lærer du dei, utleier dobbeltvinkelformlane frå dei, og lærer kunsten å bevise identitetar – ein dugleik som trenar deg i sjølve kjernen av matematisk tenking.

Addisjonsformlane

Først, la oss samle det vi allereie har. Den pytagoreiske identiteten $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ og definisjonen $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ kjenner du. I tillegg har funksjonane symmetrieigenskapar som du kan lese rett ut av einingssirkelen: $\sin(-x) = -\sin x$ og $\tan(-x) = -\tan x$ (odde funksjonar), medan $\cos(-x) = \cos x$ (like funksjon – å spegle vinkelen endrar ikkje $x$-koordinaten).

Så til hovudattraksjonen. For alle vinklar $u$ og $v$ gjeld addisjonsformlane:

$$\sin(u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v$$
$$\cos(u \pm v) = \cos u \cos v \mp \sin u \sin v$$

Og for tangens: $\displaystyle \tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$. Legg merke til mønstera: sinus av ein sum følgjer «sin-cos-cos-sin» med same forteikn som i argumentet, medan cosinus følgjer «cos-cos-sin-sin» med motsett forteikn – pluss i argumentet gir minus i formelen.

No kan vi knekkje $\sin 75°$. Vi skriv $75° = 45° + 30°$ og set inn: $\displaystyle \sin 75° = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. Ein eksakt verdi for ein «umogleg» vinkel!

Formlane fungerer òg når verdiane er ukjende. Sei at $\displaystyle \sin u = \frac{3}{5}$ (med $u$ i første kvadrant) og $\displaystyle \cos v = -\frac{5}{13}$ (med $v$ i andre kvadrant). Den pytagoreiske identiteten gir $\displaystyle \cos u = \frac{4}{5}$ og $\displaystyle \sin v = \frac{12}{13}$ (begge positive ut frå kvadrantane). Då blir $\displaystyle \sin(u+v) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$.

Dobbeltvinkelformlane – addisjon med seg sjølv

Kva skjer om vi set $u = v = x$ i addisjonsformlane? Sinusformelen gir $\sin(x + x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x$, altså:

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$

Cosinusformelen gir $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Og her skjer noko fint: med den pytagoreiske identiteten kan vi byte ut anten $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ eller $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, og få to alternative former:

$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$$

Tre former for same sanning – og kva for ei du vel, kjem an på kva du har for handa. For tangens: $\displaystyle \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$.

La oss bruke dei. Gitt $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5}$ med $\displaystyle x \in (0, \frac{\pi}{2})$. Først finn vi $\displaystyle \sin x = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ (positiv i første kvadrant). Då blir $\displaystyle \sin 2x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$ og $\displaystyle \cos 2x = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$. At $\cos 2x$ er negativ er ikkje rart: når $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5} < \frac{\sqrt{2}}{2}$, er $\displaystyle x > \frac{\pi}{4}$, så $2x$ har passert $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ og hamna i andre kvadrant.

Kunsten å bevise ein identitet

Å bevise ein identitet tyder å vise at venstre og høgre side er like for alle tillatne verdiar av variabelen. Det er ikkje det same som å løyse ei likning – du skal ikkje finne $x$, du skal omforme. Dei fire klassiske strategiane er: start med den mest kompliserte sida og forenkle henne, skriv alt med sinus og cosinus, bruk dei kjende identitetane, og finn fellesnemnar når brøkar er med.

La oss bevise at $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \tan x$. Venstre side er mest komplisert, så vi startar der. I teljaren bruker vi $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. I nemnaren vel vi den forma for $\cos 2x$ som ryddar bort 1-talet, nemleg $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$\begin{aligned} &\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} \\ = {}&\frac{2\sin x \cos x}{1 + 2\cos^2 x - 1} \\ = {}&\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \\ = {}&\frac{\sin x}{\cos x} \\ = {}&\tan x \quad \square \end{aligned}$$

Legg merke til det strategiske valet: av dei tre formene for $\cos 2x$ valde vi nettopp den som fekk $+1$ og $-1$ til å kansellere. Det er slik identitetsbevis fungerer – du ser nokre trekk framover, som i sjakk, og vel den omskrivinga som opnar stillinga.

Eit godt bevis kjenneteiknast av at kvart steg er grunngitt med ein kjend identitet eller algebraregel, og at du aldri «juksar» ved å gå ut frå det du skal vise. Arbeid med éi side om gongen til ho blir lik den andre.

Oppsummering: verktøykassa veks

Vi starta med eit tilsynelatande umogleg spørsmål – den eksakte verdien av $\sin 75°$ – og fann svaret med addisjonsformlane: $\sin(u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v$ og $\cos(u \pm v) = \cos u \cos v \mp \sin u \sin v$. Hugs forteiknsmønsteret: sinus held på forteiknet frå argumentet, cosinus snur det.

Ved å setje $u = v = x$ fekk vi dobbeltvinkelformlane gratis: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, og $\cos 2x$ i tre likeverdige drakter – $\cos^2 x - \sin^2 x$, $2\cos^2 x - 1$ og $1 - 2\sin^2 x$. Valet mellom dei er strategisk: bruk den forma som forenklar uttrykket ditt mest.

Til slutt lærte du å bevise identitetar: start med den mest kompliserte sida, skriv om med kjende identitetar, skriv gjerne alt med sinus og cosinus, og forenkle til sidene møtest. Saman med den pytagoreiske identiteten og symmetrieigenskapane $\sin(-x) = -\sin x$ og $\cos(-x) = \cos x$ har du no ei komplett verktøykasse – og i neste kapittel får ho bryne seg på derivasjon.