7.1 Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen

Når trekanten ikkje strekk til

Tenk deg at du sit i eit pariserhjul. Gondolen din startar ved bakken, stig opp, passerer toppen og kjem ned att – runde etter runde. Viss du vil skildre høgda di som funksjon av vinkelen hjulet har dreidd, treng du sinus og cosinus. Men her dukkar det opp eit problem: frå ungdomsskulen kjenner du berre sinus og cosinus for spisse vinklar i rettvinkla trekantar, altså vinklar mellom $0°$ og $90°$. Pariserhjulet dreier jo $360°$ – og held fram vidare!

I dette kapittelet utvidar vi definisjonane slik at dei gjeld for alle vinklar. Nøkkelen er ein av dei mest elegante konstruksjonane i matematikken: einingssirkelen – ein sirkel med sentrum i origo og radius $1$. Vi skal òg byte til eit nytt vinkelmål, radianar, lære eksakte verdiar for standardvinklane, og oppdage ein samanheng som bind sinus og cosinus saman for alltid: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Einingssirkelen – sinus og cosinus for alle vinklar

Sjå for deg ein peikar som startar langs den positive $x$-aksen og roterer mot klokka. Vinkelen $v$ måler kor langt peikaren har rotert. Peikaren treffer einingssirkelen i eit punkt $P$ – og her kjem den geniale definisjonen: punktet har koordinatane

$$P = (\cos v, \sin v)$$

Cosinus er rett og slett $x$-koordinaten til punktet, og sinus er $y$-koordinaten. Denne definisjonen fungerer for alle reelle verdiar av $v$ – òg negative vinklar (rotasjon med klokka) og vinklar over $360°$ (fleire rundar). Tangens blir definert som forholdet $\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$, som berre er definert når $\cos v \neq 0$, altså ikkje for $v = 90° + n \cdot 180°$.

Koordinatsystemet deler sirkelen inn i fire kvadrantar, og forteikna følgjer koordinatane. I første kvadrant ($0°$ til $90°$) er både $x$- og $y$-koordinaten positive, så alle tre funksjonane er positive. I andre kvadrant ($90°$ til $180°$) er berre sinus positiv. I tredje kvadrant er berre tangens positiv (minus delt på minus), og i fjerde kvadrant er berre cosinus positiv.

Lat oss prøve dette i praksis. Kva er $\sin 150°$ og $\cos 150°$? Vinkelen $150°$ ligg i andre kvadrant, og referansevinkelen – avstanden til $x$-aksen – er $180° - 150° = 30°$. I andre kvadrant er sinus positiv og cosinus negativ, så $\displaystyle \sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Då blir $\displaystyle \tan 150° = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Radianar – det naturlege vinkelmålet

Grader er ein gammal babylonsk oppfinning – talet $360$ blei valt fordi det er deleleg med mange tal. Men i matematikken finst det eit meir naturleg vinkelmål: radianar. Éin radian er vinkelen som spenner ut ein boge med lengd lik radien. Sidan omkrinsen av ein sirkel med radius $r$ er $2\pi r$, svarar éi heil omdreiing til nøyaktig $2\pi$ radianar.

Dermed har vi grunnsamanhengen $\pi \text{ rad} = 180°$. Frå denne kan du rekne om begge vegar: frå grader til radianar gangar du med $\displaystyle \frac{\pi}{180}$, og frå radianar til grader gangar du med $\displaystyle \frac{180}{\pi}$.

Lat oss rekne om $135°$: vi får $\displaystyle 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$. Og motsett veg: $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ radianar blir $\displaystyle \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{5 \cdot 180}{4} = 225°$.

Nokre vinklar dukkar opp så ofte at du bør kjenne dei att straks: $\displaystyle 30° = \frac{\pi}{6}$, $\displaystyle 45° = \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle 60° = \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle 90° = \frac{\pi}{2}$, $180° = \pi$, $\displaystyle 270° = \frac{3\pi}{2}$ og $360° = 2\pi$. Kvifor bry seg med radianar? Fordi dei forenklar mange formlar dramatisk – særleg når vi skal derivere trigonometriske funksjonar seinare i boka. Der gjeld dei pene derivasjonsreglane berre i radianar.

Eksakte verdiar – verktøykassa du må kunne utanåt

For standardvinklane $0$, $\displaystyle \frac{\pi}{6}$, $\displaystyle \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ finst det eksakte verdiar som du må kunne utanåt. Heldigvis finst eit vakkert mønster for sinus: verdiane er $\displaystyle \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$ – altså $\displaystyle 0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$. Cosinus har nøyaktig dei same verdiane i motsett rekkjefølgje: $\displaystyle 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0$. Tangens får du ved å dele: $\displaystyle 0, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1, \sqrt{3}$ og udefinert for $\displaystyle \frac{\pi}{2}$.

Men kva med vinklar utanfor første kvadrant? Då bruker du ein to-stegs strategi: finn referansevinkelen (den spisse vinkelen ned til $x$-aksen) og avgjer forteiknet ut frå kvadranten.

Lat oss ta tre eksempel. For $\displaystyle \sin \frac{2\pi}{3}$: vinkelen ligg i andre kvadrant med referansevinkel $\displaystyle \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$, og sinus er positiv der, så $\displaystyle \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. For $\displaystyle \cos \frac{5\pi}{4}$: tredje kvadrant, referansevinkel $\displaystyle \frac{5\pi}{4} - \pi = \frac{\pi}{4}$, og cosinus er negativ der, så $\displaystyle \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. For $\displaystyle \tan \frac{11\pi}{6}$: fjerde kvadrant, referansevinkel $\displaystyle 2\pi - \frac{11\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$, og tangens er negativ der, så $\displaystyle \tan \frac{11\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Den pytagoreiske identiteten

No kjem ein samanheng som følgjer direkte av sjølve konstruksjonen vår. Punktet $(\cos x, \sin x)$ ligg på einingssirkelen, og likninga til sirkelen er $x^2 + y^2 = 1$. Set vi inn koordinatane, får vi den pytagoreiske identiteten:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Dette gjeld for alle vinklar $x$ – det er setninga til Pytagoras forkledd som trigonometri. Identiteten kan skrivast om til $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ eller $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, og desse omskrivingane er gull verdt når du skal forenkle trigonometriske uttrykk.

Han lèt deg òg finne den eine funksjonsverdien når du kjenner den andre. Sei at $\displaystyle \sin x = \frac{3}{5}$ og at $x$ ligg i andre kvadrant. Då gir identiteten $\displaystyle \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1$, altså $\displaystyle \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, som gir $\displaystyle \cos x = \pm\frac{4}{5}$. Her må kvadranten avgjere forteiknet: i andre kvadrant er cosinus negativ, så $\displaystyle \cos x = -\frac{4}{5}$. Til slutt blir $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.

Legg merke til arbeidsflyten: identiteten gir deg storleiken, kvadranten gir deg forteiknet. Den kombinasjonen kjem du til å bruke om og om att.

Oppsummering: sirkelen som forandra trigonometrien

Vi starta med eit pariserhjul og eit problem: dei gamle trekantdefinisjonane strekte ikkje til for vinklar over $90°$. Løysinga var einingssirkelen, der punktet for vinkelen $v$ har koordinatane $(\cos v, \sin v)$ – cosinus er $x$-koordinaten og sinus er $y$-koordinaten, for alle tenkjelege vinklar. Tangens er forholdet $\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$, definert så lenge $\cos v \neq 0$. Forteikna følgjer kvadrantane, fordi dei følgjer forteikna til koordinatane.

Vi bytte òg vinkelmål til radianar, der $\pi$ radianar svarar til $180°$, og du reknar om med faktorane $\displaystyle \frac{\pi}{180}$ og $\displaystyle \frac{180}{\pi}$. Standardvinklane $0$, $\displaystyle \frac{\pi}{6}$, $\displaystyle \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ har eksakte verdiar du må kunne, og for vinklar i andre kvadrantar bruker du referansevinkel pluss forteikn frå kvadranten.

Til slutt fann vi den pytagoreiske identiteten $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ – ein direkte konsekvens av at punktet ligg på sirkelen. Han lèt deg finne cosinus frå sinus (og omvendt), så lenge du lèt kvadranten avgjere forteiknet. Desse verktøya er fundamentet for alt som kjem i dei neste kapitla: grafar, likningar og identitetar.