3.2 Kontinuitet | Matematikk R1

Kontinuitet og diskontinuitet i funksjonar.

45 min

11 oppgaver

KontinuitetDiskontinuitetHoppunktAsymptotisk åtferd

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Grenseverdi

Kva er kontinuitet?

Intuitivt tenkjer vi på ein kontinuerleg funksjon som ein funksjon der grafen kan teiknast utan å løfte pennen frå papiret. Funksjonen har ingen "hopp", "hol" eller "brot".

I dette kapitlet skal vi gi ein presis matematisk definisjon av kontinuitet og lære å identifisere ulike typar diskontinuitet.

✏️Motiverande døme

Sjå på følgjande funksjonar:

1. $f(x) = x^2$ (polynomfunksjon)
2. $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$ (rasjonell funksjon)
3. $h(x) = \begin{cases} 1 & \text{viss } x \geq 0 \\ -1 & \text{viss } x < 0 \end{cases}$ (trappefunksjon)

Kva for nokre av desse er kontinuerlege?

Løysing:

1. $f(x) = x^2$ er kontinuerleg for alle $x \in \mathbb{R}$ . Grafen er ein parabel utan brot.

2. $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$ er kontinuerleg for alle $x \neq 0$ . I $x = 0$ er funksjonen ikkje definert, så han har ein diskontinuitet der (vertikal asymptote).

3. $h(x)$ har eit hopp i $x = 0$ . Grenseverdiane frå venstre ( $-1$ ) og høgre ( $1$ ) er forskjellige, så funksjonen er diskontinuerleg i $x = 0$ .

Svar: $f$ er kontinuerleg overalt. $g$ er kontinuerleg i heile definisjonsmengda, men ikkje definert i $x = 0$ . $h$ er diskontinuerleg i $x = 0$ .

Definisjon av kontinuitet

Kontinuitet i eit punkt

f

Dei tre krava i praksis:

Krav 1: Sjekk at $a$ er i definisjonsmengda til $f$ .

Krav 2: Sjekk at $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$ (einsidige grenseverdiar er like).

Krav 3: Sjekk at grenseverdien frå krav 2 er lik funksjonsverdien $f(a)$ .

Merk: I denne boka kallar vi eit punkt $a$ utanfor definisjonsmengda eit diskontinuitetspunkt når $f$ er definert rett til venstre og rett til høgre for $a$ , slik som $\displaystyle \frac{1}{x}$ i $x = 0$ . Eit heilt intervall der $f$ ikkje er definert, gir ingen diskontinuitetspunkt. I eksamensløysingar er det òg vanleg å seie at $f$ er kontinuerleg i heile definisjonsmengda og å skildre $x = a$ som eit hol eller ein vertikal asymptote. Skriv gjerne begge delar.

✏️Døme 1: Sjekke kontinuitet

Undersøk om $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ er kontinuerleg i $x = 2$ .

Løysing:

Vi sjekkar dei tre krava:

Krav 1: Er $f(2)$ definert?

$\displaystyle f(2) = \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ er udefinert.

Sidan krav 1 ikkje er oppfylt, er $f$ diskontinuerleg i $x = 2$ .

Merk: Vi kan forenkle uttrykket:
$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2, \quad x \neq 2$

Grenseverdien $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ eksisterer, men funksjonen er ikkje definert i $x = 2$ . Dette er ein fjernbar diskontinuitet.

✏️Døme 2: Verifisere kontinuitet

Vis at $f(x) = x^3 - 2x + 1$ er kontinuerleg i $x = 1$ .

Løysing:

Vi sjekkar dei tre krava:

Krav 1: $f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 + 1 = 0$ ✓ (eksisterer)

Krav 2: $\lim_{x \to 1} (x^3 - 2x + 1) = 1 - 2 + 1 = 0$ ✓ (eksisterer)

Krav 3: $\lim_{x \to 1} f(x) = 0 = f(1)$ ✓ (like)

Alle tre krav er oppfylte, så $f$ er kontinuerleg i $x = 1$ .

Generelt: Polynomfunksjonar er kontinuerlege overalt i $\mathbb{R}$ .

📝Oppgave 1

Undersøk om funksjonen er kontinuerleg i det oppgitte punktet ved å sjekke dei tre krava.

f(x) = 2x + 3

x = 1

\displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

x = 1

h(x) = |x|

x = 0

k(x) = \sqrt{x}

x = 4

Typar diskontinuitet

Når ein funksjon er diskontinuerleg i eit punkt, kan vi klassifisere kva for type diskontinuitet det er basert på kva som går gale med dei tre krava.

Fjernbar diskontinuitet

f

Hopppunkt (sprangdiskontinuitet)

f

Pol (uendeleg diskontinuitet)

f

Gjør dette i GeoGebra

Typar diskontinuitet

Samanlikning av fjernbar diskontinuitet, hopppunkt og pol.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = If(x != 1, (x^2 - 1)/(x - 1))
g(x) = If(x < 0, -1, 1)
h(x) = 1/x
A = (1, 2)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Døme 3: Klassifisere diskontinuitet

Klassifiser diskontinuiteten til følgjande funksjonar:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ i $x = 3$

b) $g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{viss } x < 2 \\ 5 & \text{viss } x \geq 2 \end{cases}$ i $x = 2$

c) $\displaystyle h(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$ i $x = 1$

Løysing:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ for $x \neq 3$

$\lim_{x \to 3} f(x) = 6$ , men $f(3)$ er udefinert.

Fjernbar diskontinuitet (hol i $x = 3$ , $y = 6$ ).

Svar: Fjernbar diskontinuitet i $x = 3$ .

b) $\lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4$

$\lim_{x \to 2^+} g(x) = 5$

Dei einsidige grenseverdiane er forskjellige ( $4 \neq 5$ ).

Hopppunkt med hopp $5 - 4 = 1$ .

Svar: Hopp i $x = 2$ .

c) $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty$

Funksjonen går mot uendeleg når $x \to 1$ .

Pol (vertikal asymptote $x = 1$ ).

Svar: Vertikal asymptote $x = 1$ .

📝Oppgave 2

Klassifiser diskontinuiteten som fjernbar diskontinuitet, hopppunkt eller pol.

\displaystyle f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2}

x = 2

\displaystyle g(x) = \frac{1}{x - 3}

x = 3

h(x) = \begin{cases} 2x & \text{viss } x < 1 \\ 3 - x & \text{viss } x \geq 1 \end{cases}

x = 1

k(x) = \lfloor x \rfloor

(golvfunksjon) i

x = 2

Kontinuitet på eit intervall

Ein funksjon kan vere kontinuerleg på heile definisjonsmengda si, eller berre på delar av ho.

Kontinuitet på eit intervall

f

📜Standardfunksjonar og kontinuitet

Følgjande funksjonar er kontinuerlege på heile si naturlege definisjonsmengd:

- Polynomfunksjonar: $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$ (kontinuerleg for alle $x \in \mathbb{R}$ )
- Rasjonale funksjonar: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ (kontinuerleg der $Q(x) \neq 0$ )
- Eksponentialfunksjonar: $a^x$ , $e^x$ (kontinuerleg for alle $x \in \mathbb{R}$ )
- Logaritmefunksjonar: $\ln x$ , $\log_a x$ (kontinuerleg for $x > 0$ )
- Rotfunksjonar: $\sqrt[n]{x}$ (kontinuerleg på definisjonsmengda)
- Trigonometriske funksjonar: $\sin x$ , $\cos x$ (kontinuerleg for alle $x \in \mathbb{R}$ )

📜Reknereglar for kontinuitet

Dersom $f$ og $g$ er kontinuerlege i $x = a$ , så er også følgjande funksjonar kontinuerlege i $x = a$ :

- $f + g$ (sum)
- $f - g$ (differanse)
- $f \cdot g$ (produkt)
- $\displaystyle \frac{f}{g}$ (kvotient, føresett $g(a) \neq 0$ )
- $f \circ g$ (komposisjon, føresett at $g(a)$ er i definisjonsmengda til $f$ )

✏️Døme 4: Finne diskontinuitetspunkt

Finn alle punkt der følgjande funksjonar er diskontinuerlege:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$

b) $g(x) = \ln(x^2 - 1)$

Løysing:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4} = \frac{x + 1}{(x-2)(x+2)}$

Funksjonen er udefinert (og diskontinuerleg) der nemnaren er null:
$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$

Diskontinuerleg i $x = -2$ og $x = 2$ (begge er polar).

b) $g(x) = \ln(x^2 - 1)$

Logaritmen krev positivt argument: $x^2 - 1 > 0$
$(x-1)(x+1) > 0 \Rightarrow x < -1$ eller $x > 1$

Definisjonsmengd: $D_g = \langle \leftarrow, -1 \rangle \cup \langle 1, \rightarrow \rangle$

$g$ er kontinuerleg i heile definisjonsmengda. For $-1 \leq x \leq 1$ er $g$ ikkje definert, og når $x \to -1^-$ eller $x \to 1^+$ , går $g(x) \to -\infty$ .

Her manglar eit heilt intervall i definisjonsmengda, ikkje einskilde punkt der $g$ er definert på begge sider. Difor har $g$ ingen diskontinuitetspunkt.

Svar: a) $f$ er diskontinuerleg i $x = -2$ og $x = 2$ . b) $g$ har ingen diskontinuitetspunkt i definisjonsmengda; $g$ er ikkje definert for $-1 \leq x \leq 1$ .

📝Oppgave 3

Finn alle punkt der funksjonen er diskontinuerleg, og klassifiser diskontinuiteten.

\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x^2 - 9}

\displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}

h(x) = \sqrt{4 - x^2}

k(x) = \tan x

på

[0, 2\pi]

(fordjuping, R2-stoff)

Asymptotisk åtferd

Asymptotar skildrar korleis ein funksjon oppfører seg når $x$ nærmar seg visse verdiar eller går mot uendeleg.

Vertikal asymptote

x = a

Horisontal asymptote

y = L

✏️Døme 5: Finne asymptotar

Finn alle asymptotar til $\displaystyle f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ .

Løysing:

Vertikal asymptote:
Nemnaren er null når $x - 3 = 0$ , altså $x = 3$ .
Teljaren i $x = 3$ : $2(3) + 1 = 7 \neq 0$ .

$\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$ og $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$

Vertikal asymptote: $x = 3$

Horisontal asymptote:
$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$

Tilsvarande: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$

Horisontal asymptote: $y = 2$

Svar: Vertikal asymptote $x = 3$ og horisontal asymptote $y = 2$ .

Tips for å finne asymptotar til rasjonale funksjonar $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ :

Vertikale asymptotar: Løys $Q(x) = 0$ . Sjekk at $P(x) \neq 0$ i desse punkta.

Horisontale asymptotar: Samanlikn gradene til $P$ og $Q$ :
- Dersom $\text{grad}(P) < \text{grad}(Q)$ : Horisontal asymptote $y = 0$
- Dersom $\text{grad}(P) = \text{grad}(Q)$ : Horisontal asymptote $\displaystyle y = \frac{\text{leiande koeff. i } P}{\text{leiande koeff. i } Q}$
- Dersom $\text{grad}(P) > \text{grad}(Q)$ : Ingen horisontal asymptote

Gjør dette i GeoGebra

Asymptotar

Visualisering av

\displaystyle f(x) = \frac{2x+1}{x-3}

med asymptotar.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = (2x + 1)/(x - 3)
v: x = 3
h: y = 2

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 4

Finn alle vertikale og horisontale asymptotar.

\displaystyle f(x) = \frac{3}{x + 2}

\displaystyle g(x) = \frac{x - 1}{x + 4}

\displaystyle h(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}

\displaystyle k(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 1}

Bruk av diskontinuerlege funksjonar

Diskontinuerlege funksjonar er ikkje berre teoretiske konstruksjonar - dei modellerer mange verkelege fenomen.

✏️Døme 6: Porto og trappefunksjonar

Portoen for eit brev avheng av vekta:

$P(x) = \begin{cases} 17 & \text{viss } 0 < x \leq 50 \\ 27 & \text{viss } 50 < x \leq 100 \\ 42 & \text{viss } 100 < x \leq 350 \end{cases}$

der $x$ er vekta i gram og $P(x)$ er portoen i kroner.

a) Teikn grafen til $P$ .
b) Kvar er $P$ diskontinuerleg?

Løysing:

a) Grafen er ein trappefunksjon med tre "trinn":
- $P = 17$ kr for $0 < x \leq 50$ g
- $P = 27$ kr for $50 < x \leq 100$ g
- $P = 42$ kr for $100 < x \leq 350$ g

b) $P$ er diskontinuerleg i $x = 50$ og $x = 100$ g.

- I $x = 50$ : $\lim_{x \to 50^-} P(x) = 17$ , $\lim_{x \to 50^+} P(x) = 27$ (hopppunkt)
- I $x = 100$ : $\lim_{x \to 100^-} P(x) = 27$ , $\lim_{x \to 100^+} P(x) = 42$ (hopppunkt)

Slike trappefunksjonar er naturlege i mange prismodellar, skattesatsar og avgifter.

Svar: b) $P$ er diskontinuerleg i $x = 50$ og $x = 100$ .

📝Oppgave 5

Samansette oppgåver om kontinuitet. Deloppgåve b) og c) er fordjuping (utanfor læreplanen for R1): dei bruker sinusfunksjonen og grenseverdien $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , som høyrer til R2.

Finn verdien av $k$ slik at $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{viss } x < 2 \\ 3x & \text{viss } x \geq 2 \end{cases}$ er kontinuerleg i $x = 2$ .

Lat $\displaystyle g(x) = \frac{\sin x}{x}$ for $x \neq 0$ . Korleis må $g(0)$ definerast for at $g$ skal vere kontinuerleg i $x = 0$ ?

Vis at $\displaystyle h(x) = x \cdot \sin\frac{1}{x}$ for $x \neq 0$ kan utvidast til ein kontinuerleg funksjon ved å setje $h(0) = 0$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

Kontinuitet i eit punkt:
Ein funksjon $f$ er kontinuerleg i $x = a$ viss:
1. $f(a)$ eksisterer
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ eksisterer
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Typar diskontinuitet:
- Fjernbar: Grenseverdien eksisterer, men $f(a)$ manglar eller er feil
- Hopppunkt: Einsidige grenseverdiar er forskjellige
- Pol: Funksjonen går mot $\pm\infty$

Asymptotar:
- Vertikal asymptote $x = a$ : $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$
- Horisontal asymptote $y = L$ : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$

Standardfunksjonar:
Polynom, eksponentialfunksjonar, trigonometriske funksjonar og logaritmar er kontinuerlege på si naturlege definisjonsmengd.

Ekstraoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.