8.2 Gjennomføring og presentasjon

a) Temperaturane ligg jamt med 5 grader mellom kvar, så vi kan sjå på differansane i forbruk:

$$54 - 62 = -8, \quad 45 - 54 = -9, \quad 37 - 45 = -8, \quad 28 - 37 = -9, \quad 21 - 28 = -7$$

Differansane ligg mellom $-9$ og $-7$, altså nesten like. Forholdstala er derimot $54 : 62 \approx 0{,}87$ og $21 : 28 = 0{,}75$ — dei er ikkje like.

Svar: Ein lineær modell passar.

b) Vi køyrer lineær regresjon i rekneark. Med temperaturen i kolonne A og forbruket i kolonne B:

=STIGNINGSTALL(B2:B7; A2:A7)
=SKJÆRINGSPUNKT(B2:B7; A2:A7)
=RKVADRAT(B2:B7; A2:A7)

Det gir stigingstal $-1{,}66286\ldots$, konstantledd $45{,}32381\ldots$ og $R^2 = 0{,}99909$. Vi rundar av til to desimalar:

$$F(x) = -1{,}66x + 45{,}32$$

der $x$ er døgnmiddeltemperaturen i grader og $F(x)$ er forbruket i kWh per døgn.

Kontroll mot alle seks målingane:

$x$	Modell $F(x)$	Måling	Residual (måling − modell)
−10	61,92	62	+0,08
−5	53,62	54	+0,38
0	45,32	45	−0,32
5	37,02	37	−0,02
10	28,72	28	−0,72
15	20,42	21	+0,58

Den største residualen er $0{,}72$ kWh på eit forbruk rundt 28 kWh, altså under 3 %. Forteikna vekslar ($+$, $+$, $-$, $-$, $-$, $+$) utan noko tydeleg mønster, og det er slik det skal sjå ut når modellforma er rett.

Målingane og regresjonslinja $F(x) = -1{,}66x + 45{,}32$. Dei stipla linjene markerer måleområdet frå $-10$ til $15$ grader. Linja er teikna eit stykke utanfor i begge endar for å vise kva ei framskriving er — og kvifor ho må grunngivast særskilt.
Svar: $F(x) = -1{,}66x + 45{,}32$, og $R^2 = 0{,}999$.
c) Stigingstalet $-1{,}66$ tyder at forbruket søkk med $1{,}66$ kWh per døgn for kvar grad det blir varmare ute — eller motsett: éin grad kaldare kostar husstanden om lag $1{,}66$ kWh ekstra i døgnet.
Konstantleddet $45{,}32$ er forbruket ved $0$ °C, altså $45{,}32$ kWh per døgn.
Svar: Éin grad kaldare gir om lag 1,7 kWh meir i døgnet, og ved null grader brukar husstanden om lag 45 kWh i døgnet.

NB: Konstantleddet har ei meining her fordi $x = 0$ ligg inne i måleområdet. Hadde alle målingane vore mellom 10 og 25 grader, ville $F(0)$ ha vore ei rein framskriving, og då skal konstantleddet ikkje tolkast som noko anna enn eit reknetal.

a) Vi set inn $x = -15$:

$$F(-15) = -1{,}66 \cdot (-15) + 45{,}32 = 24{,}90 + 45{,}32 = 70{,}22$$

Svar: Modellen seier om lag 70 kWh per døgn. Verdien ligg 5 grader utanfor måleområdet, men han er i same storleiksorden som det målte ($62$ kWh ved $-10$ grader), og forbruket er framleis positivt. Det er ei forsvarleg framskriving dersom vi seier frå om at det er ei framskriving. Vi bør leggje til eit atterhald: ved svært låg temperatur går ofte ei varmepumpe over til rein elektrisk varme, og då stig forbruket raskare enn den rette linja seier. Modellen kan difor undervurdere.

b) Vi løyser likninga $F(x) = 0$:

$$-1{,}66x + 45{,}32 = 0 \qquad | \; + 1{,}66x$$
$$45{,}32 = 1{,}66x \qquad | \; : 1{,}66$$
$$x = \frac{45{,}32}{1{,}66} \approx 27{,}3$$

Svar: Modellen seier at forbruket er null ved om lag $27{,}3$ grader, og negativt over det.

Det er umogleg. Ein husstand brukar straum til varmtvatn, matlaging, lys og apparat uansett kor varmt det er ute. Det rette er at forbruket flatar ut mot eit grunnforbruk, medan den rette linja held fram nedover.

c)

Modellen forlengd: han seier at forbruket blir NULL ved 27,3 °C. I røynda flatar forbruket ut mot eit grunnforbruk (kjøleskap, varmtvatn) — den rette linja sluttar å gjelde eit godt stykke før ho treffer aksen.

Svar: Gyldigheitsområdet er måleområdet, altså $-10 \le x \le 15$, med ei forsiktig utviding nokre få grader nedover og eit uttrykkeleg atterhald. Oppover er modellen ubrukeleg lenge før han når $27{,}3$ grader, for utflatinga mot grunnforbruket byrjar alt når oppvarminga blir slått av.

NB: Legg merke til at vi fann grensa ved å rekne på sjølve modellen, ikkje ved å slå henne opp. Å finne nullpunktet og spørje «er dette mogleg?» er ein rask og effektiv test på kvar lineær modell for ein fysisk storleik.

Reknearket. Vi lagar éi rad per månad. Med dagane i kolonne B, temperaturen i C og prisen i D:

      A       B       C       D        E                  F              G
1     måned   dager   temp    pris     kWh_per_døgn       kWh_mnd        kr
2     jan     31      -4      98       =45,32-1,66*C2     =E2*B2         =F2*D2/100

Formlane blir fylte nedover til rad 13, og til slutt summerer vi.

Månad	Døgn	Temp	kWh/døgn	kWh	Pris	Kostnad
jan	31	−4	51,96	1610,8	98	1579 kr
feb	28	−3	50,30	1408,4	91	1282 kr
mar	31	1	43,66	1353,5	76	1029 kr
apr	30	6	35,36	1060,8	55	583 kr
mai	31	11	27,06	838,9	42	352 kr
jun	30	15	20,42	612,6	31	190 kr
jul	31	17	17,10	530,1	28	148 kr
aug	31	16	18,76	581,6	39	227 kr
sep	30	12	25,40	762,0	52	396 kr
okt	31	7	33,70	1044,7	68	710 kr
nov	30	2	42,00	1260,0	84	1058 kr
des	31	−2	48,64	1507,8	103	1553 kr
Sum	12 571	9108 kr

Nettleiga:
$$12\,571 \cdot 0{,}45 \approx 5657$$
Sum med meirverdiavgift. Vi gongar med vekstfaktoren $1{,}25$:
$$(9108 + 5657) \cdot 1{,}25 = 14\,765 \cdot 1{,}25 \approx 18\,456$$
Svar: Husstanden brukte om lag 12 600 kWh og betalte om lag 18 500 kr for straum gjennom året.
Den andre delen av problemstillinga. Den forbruksvekta snittprisen er
$$\frac{9108 \text{ kr}}{12\,571 \text{ kWh}} = 0{,}7245 \text{ kr/kWh} = 72{,}45 \text{ øre/kWh}$$
medan det uvekta gjennomsnittet av dei tolv månadsprisane er $63{,}92$ øre/kWh.
$$\frac{72{,}45 - 63{,}92}{63{,}92} \approx 0{,}133$$

Dette er sjølve funnet: pris og forbruk svingar i takt. Difor blir den forbruksvekta snittprisen 72,45 øre/kWh, medan det uvekta gjennomsnittet av dei tolv månadsprisane berre er 63,92 øre/kWh.
Svar: Husstanden betalte i praksis om lag 13 % meir per kilowattime enn den uvekta gjennomsnittsprisen skulle tilseie. Grunnen er at forbruket er størst nettopp i dei månadene straumen er dyrast — pris og forbruk svingar i takt, og det forsterkar rekninga.
NB: Dette er sjølve funnet i arbeidet, og det er eit funn som ikkje står i nokon tabell. Legg merke til at det kom frå å samanlikne to måtar å rekne eit gjennomsnitt på — ikkje frå ein komplisert modell.

a) Nettleiga er fast, så berre spotdelen på 9108 kr endrar seg.

20 % lågare pris:

$$(9108 \cdot 0{,}8 + 5657) \cdot 1{,}25 = (7286{,}4 + 5657) \cdot 1{,}25 \approx 16\,179$$

20 % høgare pris:

$$(9108 \cdot 1{,}2 + 5657) \cdot 1{,}25 = (10\,929{,}6 + 5657) \cdot 1{,}25 \approx 20\,733$$

Svar: Årskostnaden ligg mellom om lag 16 200 kr og 20 700 kr. Ei prisendring på 20 % gir altså ei endring i rekninga på om lag 12 % — mindre enn 20 %, fordi nettleiga og avgifta ikkje følgjer spotprisen.

b) Vi reknar årsforbruket på nytt med stigingstal $-1{,}46$ og $-1{,}86$:

Stigingstal	Årsforbruk	Endring
$-1{,}46$	13 049 kWh	$+3{,}8$ %
$-1{,}66$	12 571 kWh	0
$-1{,}86$	12 093 kWh	$-3{,}8$ %

Svar: Ei usikkerheit på $0{,}2$ kWh per grad i stigingstalet gir under 4 % utslag på årsforbruket. Modellusikkerheita er altså mindre enn prisusikkerheita.
c) Resultatavsnittet:

Husstanden brukte om lag 12 600 kWh straum gjennom året og betalte om lag 18 500 kr inkludert nettleige og meirverdiavgift. Forbruket følgjer utetemperaturen tett: ein lineær modell forklarer 99,9 % av variasjonen i døgnforbruket, og kvar grad kaldare gir om lag 1,7 kWh ekstra i døgnet.
Hovudfunnet er at pris og forbruk svingar i takt. Den forbruksvekta snittprisen var 72,5 øre/kWh, medan det uvekta gjennomsnittet av dei tolv månadsprisane var 63,9 øre/kWh — ein skilnad på om lag 13 %. Ein husstand som gjer overslag over årsrekninga ved å gonge forbruket med den uvekta gjennomsnittsprisen, vil altså systematisk rekne for lågt.

Svaret er mest følsamt for prisnivået: 20 % høgare eller lågare spotpris endrar årskostnaden med om lag 12 %, til mellom 16 200 kr og 20 700 kr. Usikkerheita i sjølve forbruksmodellen er mindre, under 4 %.

Tala gjeld éin husstand i eitt prisområde i eitt år. Dei kan ikkje overførast til andre bustader utan nye målingar, og modellen er berre kontrollert mellom $-10$ og $15$ grader. Ved strengare kulde vil forbruket truleg stige raskare enn den rette linja viser, fordi varmepumper yter dårlegare når det blir kaldt.

NB: Sjå kor mykje av avsnittet som er atterhald — omtrent ein tredel. Det er ikkje veikskap, det er presisjon. Eit resultat utan grenser er eit resultat ingen kan bruke.