6.1 Gjennomsnittleg vekstfart

Kva veit vi? $a = 100$ og $b = 200$. Vi må finne $K(100)$ og $K(200)$ først.

Rekn ut $K(100)$.

$$K(100) = 0{,}05 \cdot 100^2 + 12 \cdot 100 + 4000$$
$$K(100) = 0{,}05 \cdot 10\,000 + 1200 + 4000$$
$$K(100) = 500 + 1200 + 4000 = 5700$$

Rekn ut $K(200)$.

$$K(200) = 0{,}05 \cdot 200^2 + 12 \cdot 200 + 4000$$
$$K(200) = 0{,}05 \cdot 40\,000 + 2400 + 4000$$
$$K(200) = 2000 + 2400 + 4000 = 8400$$

Set inn i formelen. Formelen tom først, så med tal:

$$\frac{\Delta K}{\Delta x} = \frac{K(200) - K(100)}{200 - 100}$$
$$\frac{\Delta K}{\Delta x} = \frac{8400 - 5700}{200 - 100} = \frac{2700}{100} = 27$$

Svar: Den gjennomsnittlege vekstfarten er $27$ kroner per brød.

Det tyder: når bakeriet går frå 100 til 200 brød om dagen, kostar kvart av dei 100 nye brøda i gjennomsnitt 27 kroner ekstra. Legg merke til at det IKKJE er det same som kva eitt brød kostar — dei 4000 kronene i faste kostnader er alt betalte, og dei er ikkje med i endringa.

a) Frå 2021 til 2024 er $\Delta x = 2024 - 2021 = 3$ år.

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{21{,}3 - 12{,}5}{2024 - 2021}$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{8{,}8}{3} \approx 2{,}93$$

Omsetnaden har vakse med i gjennomsnitt $2{,}93$ millionar kroner per år.

b) Frå 2023 til 2024 er $\Delta x = 1$ år.

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{21{,}3 - 17{,}0}{2024 - 2023} = \frac{4{,}3}{1} = 4{,}3$$

Omsetnaden voks med $4{,}3$ millionar kroner det siste året.

c) Det siste året voks omsetnaden nesten halvanna gong så fort som gjennomsnittet for heile perioden ($4{,}3$ mot $2{,}93$). Veksten er altså ikkje jamn — han tek seg opp.

Gjennomsnittleg vekstfart trekkjer ÉIN rett strek frå første til siste punkt og ser bort frå alt imellom. Det siste året voks omsetnaden nesten halvanna gong så fort som snittet for heile perioden.

Svar: a) $2{,}93$ mill. kr per år, b) $4{,}3$ mill. kr per år, c) veksten tek seg opp mot slutten av perioden.

NB: Den gjennomsnittlege vekstfarten seier ingenting om kva som skjedde undervegs. Han trekkjer éin rett strek frå første til siste punkt og ser bort frå alt imellom. Det er både styrken og veikskapen ved han.

a) Vi reknar ut funksjonsverdiane:

$$q(20) = 500 - 8 \cdot 20 = 500 - 160 = 340$$
$$q(35) = 500 - 8 \cdot 35 = 500 - 280 = 220$$

Så set vi inn:

$$\frac{\Delta q}{\Delta p} = \frac{q(35) - q(20)}{35 - 20} = \frac{220 - 340}{15} = \frac{-120}{15} = -8$$

Etterspurnaden søkk med $8$ einingar per krone prisen blir sett opp.

b) Same framgangsmåte:

$$q(35) = 220 \qquad q(60) = 500 - 8 \cdot 60 = 500 - 480 = 20$$
$$\frac{\Delta q}{\Delta p} = \frac{20 - 220}{60 - 35} = \frac{-200}{25} = -8$$

c) Vi får $-8$ begge gongene. Det er ingen tilfeldigheit: $q$ er ein lineær funksjon, $q(p) = 500 - 8p$, og stigingstalet er $-8$.

For ein lineær funksjon er den gjennomsnittlege vekstfarten lik stigingstalet — uansett kva intervall vi vel. Grafen er ei rett linje, og ei rett linje hallar like mykje overalt.

For ein lineær funksjon er den gjennomsnittlege vekstfarten lik stigingstalet — $-8$ — uansett kva intervall vi vel. Sekantane ER linja.

Svar: a) $-8$ einingar per krone, b) $-8$ einingar per krone, c) $q$ er lineær, så vekstfarten er lik stigingstalet $-8$ i alle intervall.

a) Vi reknar ut dei to funksjonsverdiane:

$$I(100) = 90 \cdot 100 - 0{,}1 \cdot 100^2 = 9000 - 0{,}1 \cdot 10\,000 = 9000 - 1000 = 8000$$
$$I(300) = 90 \cdot 300 - 0{,}1 \cdot 300^2 = 27\,000 - 0{,}1 \cdot 90\,000 = 27\,000 - 9000 = 18\,000$$

Så inn i formelen:

$$\frac{\Delta I}{\Delta x} = \frac{18\,000 - 8000}{300 - 100} = \frac{10\,000}{200} = 50$$

Inntekta aukar med i gjennomsnitt $50$ kroner per eining på dette intervallet.

b) Sekanten er ei rett linje, $y = ax + b$. Stigingstalet fann vi i a):

$$a = 50$$

Linja går gjennom $(100,\ 8000)$. Vi set inn og løyser for $b$:

$$8000 = 50 \cdot 100 + b$$
$$8000 = 5000 + b \qquad | -5000$$
$$b = 3000$$

Kontroll (han har eit poeng her — han avslører feil forteikn og feil punkt): set vi $x = 300$ inn i sekanten, skal vi få $18\,000$.

$$50 \cdot 300 + 3000 = 15\,000 + 3000 = 18\,000$$

Det stemmer.

Svar: a) $50$ kroner per eining. b) $y = 50x + 3000$.

Sjå på figuren under: sekanten ligg under kurva mellom dei to punkta. Det tyder at inntekta faktisk voks raskare enn 50 kr per eining i byrjinga av intervallet og saktare mot slutten. Gjennomsnittet jamnar det ut.

a) Legg månadene i kolonne A og kostnadene i kolonne B, med januar i rad 2. I celle C3 skriv vi

=(B3-B2)/1

og fyller nedover til C7. Nemnaren er $1$ fordi det er éin månad mellom kvar rad. (Han kunne ha vore droppa, men det er verdt å ha han med — då ser du formelen du faktisk brukar, og han toler at du seinare hoppar over ein månad.)

Reknearket gir:

Overgang	jan → feb	feb → mar	mar → apr	apr → mai	mai → jun
kr per månad	$-430$	$-880$	$-870$	$-660$	$-440$

b) Det største fallet er $-880$ kroner per månad, frå februar til mars.
c) Frå januar til juni er $\Delta x = 5$ månader:

$$\frac{\Delta K}{\Delta x} = \frac{1540 - 4820}{5} = \frac{-3280}{5} = -656$$

Gjennomsnittet for halvåret, $-656$ kr per månad, finst ikkje i nokon einskild månad. Det er nettopp poenget med eit gjennomsnitt — og grunnen til at vi treng noko som måler endringa i ein bestemt augneblink.

Svar: a) sjå tabellen, b) frå februar til mars, med $-880$ kroner per månad, c) $-656$ kroner per månad.

NB: Gjennomsnittet for heile halvåret, $-656$, finst ikkje i nokon einskild månad. Det er nettopp poenget med eit gjennomsnitt — og grunnen til at vi i 6.2 treng noko som måler endringa i ein bestemt augneblink.