5.3 Optimering i praksis | Matematikk for økonomi

Produksjonsplanlegging, kosthald og fordeling — økonomiske og samfunnsfaglege problem.

45 min

6 oppgaver

BruksområdeModellering

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Frå oppskrift til røyndom

Metoden frå kapittel 5.2 er ferdig: set opp vilkåra, finn hjørnepunkta, rekn ut objektfunksjonen i kvart av dei, vel det beste.

I dette kapittelet brukar vi han på oppgåver slik dei faktisk ser ut. Då dukkar tre nye ting opp:

- Minstekrav i staden for maksgrenser. Eit fôr må innehalde minst så mykje protein, ei rute må ha plass til minst så mange passasjerar. Då snur ulikskapsteiknet, og området ser annleis ut.
- Minimering i staden for maksimering. Vi vil ha lågast mogleg kostnad, ikkje størst mogleg overskot.
- Blanda vilkår: nokre ressursar har tak, andre har golv, og i tillegg finst det ofte politiske eller avtalefesta krav som «minst 10 timar skal gå til …».

Metoden er den same. Det er berre omsetjinga frå tekst til ulikskapar som krev meir omtanke.

Minstekrav snur skraveringa

Eit minstekrav blir skrive med $\ge$ :

$ax + by \ge c$

Grenselinja er den same som før, $ax + by = c$ . Det einaste som endrar seg, er kva side vi skraverer. Origotesten avgjer framleis:

- $2x + 3y \le 24$ : set inn $(0, 0)$ og få $0 \le 24$ — sant. Origo er med, og vi skraverer mot origo.
- $2x + 3y \ge 24$ : set inn $(0, 0)$ og få $0 \ge 24$ — usant. Origo er ikkje med, og vi skraverer bort frå origo.

NB: Har vi berre minstekrav, blir området uavgrensa — det strekkjer seg uendeleg opp mot høgre. Då finst det ingen største verdi, men det finst framleis ein minste. Hjørnepunktsetninga gjeld for minimum så lenge området har hjørne og objektfunksjonen har positive koeffisientar, altså så lenge det kostar noko å lage meir.

Har vi både minstekrav og maksgrenser, blir området avgrensa på begge sider — som i figuren under.

✏️Døme 1: Billegast mogleg fôrblanding

Ein gard blandar to typar kraftfôr til mjølkekyrne.

- Éin sekk av fôr A gir 2 einingar protein og 1 eining fiber, og kostar 180 kr.
- Éin sekk av fôr B gir 1 eining protein og 2 einingar fiber, og kostar 150 kr.

Blandinga må gi minst 20 einingar protein og minst 22 einingar fiber.

Kor mange sekker av kvar type bør garden kjøpe for å kome billegast mogleg ut?

Kva veit vi? Innhaldet per sekk og prisen per sekk, og to minstekrav.

Kva må vi finne? Den billegaste blandinga som oppfyller begge krava.

Namn og vilkår. La $x$ vere talet på sekker av fôr A og $y$ talet på sekker av fôr B.

Protein: fôr A gir $2x$ einingar og fôr B gir $y$ einingar. (Vi skriv vanlegvis ikkje 1-talet.) Til saman minst 20:

$2x + y \ge 20$

Fiber: fôr A gir $x$ einingar og fôr B gir $2y$ einingar. Til saman minst 22:

$x + 2y \ge 22$

I tillegg er $x \ge 0$ og $y \ge 0$ .

Objektfunksjonen. Kostnaden i kroner er

$K = 180x + 150y$

og han skal gjerast minst.

Hjørnepunkta. Proteinlinja $2x + y = 20$ treffer aksane i $(10, 0)$ og $(0, 20)$ . Fiberlinja $x + 2y = 22$ treffer aksane i $(22, 0)$ og $(0, 11)$ .

På $y$ -aksen: protein krev $y \ge 20$ , fiber krev $y \ge 11$ . Her er det strengaste kravet $y \ge 20$ , så hjørnet er $(0, 20)$ .

NB: Med minstekrav er det det største av krava som bestemmer — motsett av i kapittel 5.1, der vi valde det minste. Grunnen er den same: begge krav må vere oppfylte.

På $x$ -aksen: protein krev $x \ge 10$ , fiber krev $x \ge 22$ . Strengast er $x \ge 22$ , så hjørnet er $(22, 0)$ .

Kryssingspunktet. Vi løyser likningssettet med addisjonsmetoden. Vi gongar den andre likninga med 2:

$x + 2y = 22 \qquad | \; \cdot 2$
$2x + 4y = 44$

Vi trekkjer den første likninga frå denne:

$(2x + 4y) - (2x + y) = 44 - 20$
$3y = 24 \qquad | \; : 3$
$y = 8$

Vi set inn i den første likninga: $2x + 8 = 20$ , altså $2x = 12$ og $x = 6$ .

Kontroll: protein $2 \cdot 6 + 8 = 20$ og fiber $6 + 2 \cdot 8 = 22$ . Begge krava er akkurat oppfylte.

Vi reknar ut $K$ i kvart hjørne.

Hjørnepunkt	$K = 180x + 150y$
$(0, 20)$	3000 kr
$(6, 8)$	2280 kr
$(22, 0)$	3960 kr

Koordinatsystem med sekker fôr A langs x-aksen frå 0 til 26 og sekker fôr B langs y-aksen frå 0 til 22. Ei blå linje merkt 2x + y = 20 går frå (0, 20) ned til (10, 0). Ei slakare raud linje merkt x + 2y = 22 går frå (0, 11) ned til (22, 0). Området OVER begge linjene er skravert grønt, og skraveringa held fram heilt ut til kanten av figuren både oppover og mot høgre. Tre hjørne er markerte: (0, 20), (6, 8) og (22, 0). Ei grøn stipla nivålinje merkt K = 2280 rører ved området nøyaktig i (6, 8). Ei grøn pil merkt «billegare» peikar ned mot venstre.

Området er uavgrensa — skraveringa sluttar ikkje, ho går ut av biletet. Likevel finst minimum: nivålinja blir skuva nedover til venstre til ho så vidt rører ved området, og det siste punktet ho treffer, er hjørnet $(6, 8)$ .
Svar: Garden bør kjøpe 6 sekker av fôr A og 8 sekker av fôr B. Det kostar 2280 kr, og blandinga gir nøyaktig 20 einingar protein og 22 einingar fiber.
NB: Legg merke til at fôr B er billegast per sekk, men det lønner seg likevel ikkje å kjøpe berre B. Då måtte garden ha 20 sekker for å få nok protein, og det ville koste 3000 kr. Den billegaste vegen er å bruke begge — akkurat som i kapittel 5.2 er det forholdet mellom pris og innhald som avgjer, ikkje prisen åleine.

📝Oppgave 5.3.1

Eit gartneri blandar to gjødseltypar.

- Éin sekk av type I gir 3 einingar nitrogen og 1 eining fosfor, og kostar 120 kr.
- Éin sekk av type II gir 1 eining nitrogen og 2 einingar fosfor, og kostar 100 kr.

Blandinga må gi minst 24 einingar nitrogen og minst 18 einingar fosfor.

Set opp dei to vilkåra og objektfunksjonen.

Finn hjørnepunktet på $y$ -aksen.

Finn hjørnepunktet på $x$ -aksen.

Finn kryssingspunktet mellom dei to grenselinjene.

Rekn ut kostnaden i alle tre hjørna, og finn den billegaste blandinga.

Løs oppgaven

Når nokre vilkår har tak og andre har golv

Den vanlegaste typen i praksis er den blanda: ei bedrift har både kapasitetsgrenser (tak) og leveringsavtalar (golv).

$\underbrace{x + y \ge 6}_{\text{avtale}} \qquad \underbrace{x + y \le 14}_{\text{maskinkapasitet}} \qquad \underbrace{3x + 4y \le 48}_{\text{omnstid}}$

Området blir då eit belte mellom to parallelle linjer, kutta av dei andre vilkåra — som i figuren over. Framgangsmåten er uendra, men det er ekstra viktig å teste kvart kandidatpunkt mot alle vilkåra. Med fire eller fem linjer er det lett å ta med eit skjeringspunkt som ligg utanfor området.

✏️Døme 2: Produksjonsplan med leveringsavtale

Eit bakeri lagar grovbrød og loff, målt i hundre brød per dag.

- Deigmaskina klarer til saman 1400 brød: $x + y \le 14$ .
- Omnen krev 3 tidseiningar per hundre grovbrød og 4 per hundre loff, og bakeriet har 48 tidseiningar: $3x + 4y \le 48$ .
- Bakeriet har ein avtale om å levere minst 600 brød til daglegvarebutikkane: $x + y \ge 6$ .

Bakeriet tener 9 kr på eit grovbrød og 11 kr på ein loff.

Finn produksjonen som gir størst forteneste.

Objektfunksjonen. Fortenesta per hundre brød er 900 kr for grovbrød og 1100 kr for loff:

$z = 900x + 1100y$

Hjørnepunkta. Vi går rundt kanten.

På $y$ -aksen: avtalen krev $y \ge 6$ , deigmaskina gir $y \le 14$ , omnen gir $4y \le 48$ , altså $y \le 12$ . Strengaste tak er 12, så $y$ ligg mellom 6 og 12. Det gir to hjørne: $(0, 6)$ og $(0, 12)$ .

På $x$ -aksen: avtalen krev $x \ge 6$ , deigmaskina gir $x \le 14$ , omnen gir $3x \le 48$ , altså $x \le 16$ . Strengaste tak er 14, så $x$ ligg mellom 6 og 14. Hjørna er $(6, 0)$ og $(14, 0)$ .

Deigmaskina møter omnen:

$x + y = 14$
$3x + 4y = 48$

Vi gongar den første likninga med 3:

$x + y = 14 \qquad | \; \cdot 3$
$3x + 3y = 42$

Vi trekkjer denne frå den andre likninga:

$(3x + 4y) - (3x + 3y) = 48 - 42$
$y = 6$

Då er $x = 14 - 6 = 8$ . Kandidaten er $(8, 6)$ . Kontroll mot avtalen: $8 + 6 = 14 \ge 6$ — lovleg.

Avtalen møter omnen: $x + y = 6$ og $3x + 4y = 48$ gir $3x + 3y = 18$ , og $(3x + 4y) - (3x + 3y) = 48 - 18$ , altså $y = 30$ og $x = -24$ . Negativt, så dette punktet ligg utanfor området. Vi forkastar det.

Vi reknar ut $z$ i kvart hjørne.

Hjørnepunkt	$z = 900x + 1100y$
$(0, 6)$	6600 kr
$(0, 12)$	13 200 kr
$(6, 0)$	5400 kr
$(8, 6)$	13 800 kr
$(14, 0)$	12 600 kr

Svar: Bakeriet bør bake 800 grovbrød og 600 loff. Det gir 13 800 kr i forteneste.
NB: Både deigmaskina og omnen er brukte heilt opp i det beste punktet — begge er knappe:

8 + 6 = 14 \qquad 3 \cdot 8 + 4 \cdot 6 = 48

Dessutan spelte leveringsavtalen inga rolle for svaret: bakeriet bakar 1400 brød uansett, langt over dei 600 avtalen krev. Eit vilkår som ikkje påverkar løysinga, blir kalla ikkje-bindande, og det er nyttig å seie frå om det: avtalen kostar bakeriet ingenting.

📝Oppgave 5.3.2

Ein møbelprodusent lagar stolar og krakkar, målt i tiarar per veke.

- Verkstaden klarer til saman 150 møblar: $x + y \le 15$ .
- Lakkeringa krev 3 einingar per ti stolar og 2 einingar per ti krakkar, og bedrifta har 36 einingar: $3x + 2y \le 36$ .
- Ein avtale krev minst 60 møblar i veka: $x + y \ge 6$ .

Fortenesta er 300 kr per stol og 250 kr per krakk.

Set opp objektfunksjonen (per tiar).

Finn dei to hjørnepunkta på $y$ -aksen.

Finn dei to hjørnepunkta på $x$ -aksen.

Finn hjørnepunktet der verkstadlinja og lakkeringslinja kryssar kvarandre.

Rekn ut $z$ i alle fem hjørna og finn den beste produksjonen.

Løs oppgaven

Fordeling og samfunnsfaglege problemstillingar

Lineær optimering blir ikkje berre brukt til å tene pengar. Ho blir like ofte brukt til å fordele noko knapt: timar i ein hall, plassar på eit kurs, ruter i ein kollektivplan, vogner i eit togsett.

Då endrar to ting seg:

- Objektfunksjonen måler noko anna enn kroner — til dømes talet på deltakarar, talet på passasjerplassar eller talet på liter drivstoff.
- Nokre vilkår er vedtak, ikkje fysiske grenser. «Minst 10 timar skal gå til ungdomstrening» er eit krav nokon har bestemt, ikkje noko naturen tvingar fram. Slike vilkår er lette å endre, og difor er det ekstra interessant å spørje kva som hadde skjedd utan dei.

Matematikken er den same. Men når vi tolkar svaret, må vi seie tydeleg kva objektfunksjonen måler — og kva han ikkje måler.

✏️Døme 3: Fordeling av treningstimar

Ein idrettsklubb skal fordele treningstimar i hallen mellom barnetrening og ungdomstrening.

- Hallen er ledig 30 timar i veka: $x + y \le 30$ .
- Styret har vedteke at minst 8 timar skal gå til barnetrening og minst 10 timar til ungdomstrening.
- Ein time barnetrening kostar 400 kr i trenarløn, ein time ungdomstrening 600 kr. Budsjettet er 15 200 kr.

I gjennomsnitt møter 18 born på ein barnetime og 12 ungdommar på ein ungdomstime. Klubben vil at flest mogleg skal få trene.

La $x$ vere talet på timar barnetrening og $y$ talet på timar ungdomstrening.

Vilkåra.

$x + y \le 30 \qquad \text{(hallen)}$
$x \ge 8 \qquad \text{(vedtak)}$
$y \ge 10 \qquad \text{(vedtak)}$
$400x + 600y \le 15\,200 \qquad \text{(budsjett)}$

Budsjettvilkåret forenklar vi ved å dele på 200:

$400x + 600y \le 15\,200 \qquad | \; : 200$
$2x + 3y \le 76$

Objektfunksjonen. Vi tel deltakartimar, altså kor mange som får trene til saman:

$D = 18x + 12y$

Hjørnepunkta.

$x = 8$ møter $y = 10$ : punktet $(8, 10)$ . Kontroll: hall $18 \le 30$ , budsjett $16 + 30 = 46 \le 76$ — lovleg.

$x = 8$ møter budsjettlinja: $2 \cdot 8 + 3y = 76$ gir $3y = 60$ , altså $y = 20$ . Punktet $(8, 20)$ . Kontroll: hall $28 \le 30$ — lovleg.

Budsjettlinja møter hall-linja:

$2x + 3y = 76$
$x + y = 30$

Vi gongar den andre likninga med 2:

$x + y = 30 \qquad | \; \cdot 2$
$2x + 2y = 60$

Vi trekkjer denne frå den første:

$(2x + 3y) - (2x + 2y) = 76 - 60$
$y = 16$

Då er $x = 30 - 16 = 14$ . Punktet er $(14, 16)$ .

$y = 10$ møter hall-linja: $x = 20$ . Punktet $(20, 10)$ . Kontroll: budsjett $40 + 30 = 70 \le 76$ — lovleg.

Vi reknar ut $D$ i kvart hjørne.

Hjørnepunkt	$D = 18x + 12y$
$(8, 10)$	264
$(8, 20)$	384
$(14, 16)$	444
$(20, 10)$	480

Koordinatsystem med timar barnetrening x frå 0 til 26 og timar ungdomstrening y frå 0 til 26. Fire grenselinjer: ei blå merkt x + y = 30, ei raud merkt 2x + 3y = 76, ei loddrett oransje merkt x = 8 og ei vassrett lilla merkt y = 10. Firkanten mellom dei er skravert grøn. Dei fire hjørna er markerte med prikkar og merkte med talet på deltakartimar: D = 264 i (8, 10), D = 384 i (8, 20), D = 444 i (14, 16) og D = 480 i (20, 10).

Fire vilkår av fire ulike typar: to tak (hallen og budsjettet) og to golv (dei to vedtaka). Den største verdien, $D = 480$ , ligg i hjørnet $(20, 10)$ .
Svar: Klubben bør setje opp 20 timar barnetrening og 10 timar ungdomstrening. Då får 480 deltakartimar trening i veka.
Tolking. Løysinga fyller hallen heilt (

20 + 10 = 30

timar) og brukar

400 \cdot 20 + 600 \cdot 10 = 8000 + 6000 = 14\,000

kroner av budsjettet på 15 200 kr. Hallen er den knappe ressursen, ikkje pengane. Klubben har 1200 kr til overs, men ingen ledige timar.

NB: Legg merke til at løysinga legg ungdomstreninga på nøyaktig minstekravet 10 timar. Det er ikkje fordi ungdomstrening er mindre verd — det er fordi objektfunksjonen berre tel hovud, og det møter fleire born per time. Hadde ikkje styret vedteke minstekravet, ville modellen ha føreslått 30 timar barnetrening og null ungdomstrening. Vedtaket er nettopp der for å hindre det. Dette er eit godt døme på at objektfunksjonen aldri måler alt vi bryr oss om.

📝Oppgave 5.3.3

Eit bibliotek skal fordele kurstimar mellom lesekurs og datakurs i ein månad.

- Kursrommet er ledig 40 timar: $x + y \le 40$ .
- Biblioteket har bestemt at minst 10 timar skal gå til lesekurs og minst 6 timar til datakurs.
- Ein lesekurstime kostar 300 kr, ein datakurstime 500 kr. Budsjettet er 15 000 kr.

I gjennomsnitt møter 12 deltakarar på ein lesekurstime og 8 på ein datakurstime.

Set opp budsjettvilkåret, og forenkle det.

Set opp objektfunksjonen.

Finn hjørnepunktet der budsjettlinja møter romlinja $x + y = 40$ .

Dei andre hjørna er $(10, 6)$ , $(10, 24)$ og $(34, 6)$ . Rekn ut $D$ i alle fire hjørna.

Finn den beste fordelinga, og undersøk om det er rommet eller pengane som er den knappe ressursen.

Løs oppgaven

✏️Døme 4 (Del 2): Fire vilkår og rekneark

Eit sagbruk lagar terrassebord og kledning, målt i kubikkmeter per veke.

- Tømmer: $x + y \le 60$
- Høvel: $2x + y \le 90$
- Tørke: $x + 3y \le 126$
- Avtale: minst 10 m³ kledning, altså $y \ge 10$

Dekningsbidraget er 1800 kr per kubikkmeter terrassebord og 1500 kr per kubikkmeter kledning.

Bruk rekneark til å finne den beste produksjonen, og sei kva ressursar som er knappe.

Objektfunksjonen er

$z = 1800x + 1500y$

Hjørnepunkta. Med fire vilkår lønner det seg å vere systematisk: vi finn alle skjeringspunkt som kan vere hjørne, og testar kvart av dei mot alle vilkåra.

På $y$ -aksen ( $x = 0$ ): avtalen gir $y \ge 10$ ; tømmer gir $y \le 60$ , høvel $y \le 90$ , tørke $y \le 42$ . Strengaste tak er 42. Hjørna er $(0, 10)$ og $(0, 42)$ .

Tørke møter tømmer:

$x + 3y = 126$
$x + y = 60$

Vi trekkjer den andre frå den første:

$(x + 3y) - (x + y) = 126 - 60$
$2y = 66 \qquad | \; : 2$
$y = 33$

Då er $x = 60 - 33 = 27$ . Kandidaten er $(27, 33)$ . Høvel: $2 \cdot 27 + 33 = 87 \le 90$ — lovleg.

Tømmer møter høvel:

$x + y = 60$
$2x + y = 90$

Vi trekkjer den første frå den andre:

$(2x + y) - (x + y) = 90 - 60$
$x = 30$

Då er $y = 30$ . Kandidaten er $(30, 30)$ . Tørke: $30 + 3 \cdot 30 = 120 \le 126$ — lovleg.

Høvel møter avtalen $y = 10$ : $2x + 10 = 90$ gir $x = 40$ . Kandidaten er $(40, 10)$ . Tømmer: $50 \le 60$ , tørke: $70 \le 126$ — lovleg.

Reknearket. Vi legg hjørnepunkta i kolonne A og B og lèt reknearket rekne ressursbruken og dekningsbidraget:

        A     B      C           D             E             F
1       x     y      tømmer      høvel         tørke         z
2       0     10     =A2+B2      =2*A2+B2      =A2+3*B2      =1800*A2+1500*B2

Formlane blir fylte nedover, og i ei eiga celle skriv vi =MAKS(F2:F6).

Hjørnepunkt	tømmer / 60	høvel / 90	tørke / 126	$z$
$(0, 10)$	10	10	30	15 000 kr
$(0, 42)$	42	42	126	63 000 kr
$(27, 33)$	60	87	126	98 100 kr
$(30, 30)$	60	90	120	99 000 kr
$(40, 10)$	50	90	70	87 000 kr

Koordinatsystem med kubikkmeter terrassebord x frå 0 til 48 og kubikkmeter kledning y frå 0 til 48. Fire grenselinjer: ei blå merkt x + y = 60, ei raud merkt 2x + y = 90, ei oransje merkt x + 3y = 126 og ei lilla vassrett merkt y = 10. Det lovlege området er skravert grønt og har fem hjørne. Alle fem er markerte med prikk, og to av dei, (27, 33) og (30, 30), er i tillegg namngitte; dei ligg tett inntil kvarandre.

Fem hjørne, og to av dei ligg så tett at valet mellom dei trygt kan avgjerast av noko modellen ikkje måler. $z = 1800x + 1500y$ gir 98 100 kr i $(27, 33)$ og 99 000 kr i $(30, 30)$ .
Svar: Sagbruket bør lage 30 m³ terrassebord og 30 m³ kledning i veka. Det gir 99 000 kr i dekningsbidrag.
Kva ressursar er knappe? I den beste rada ser vi at tømmeret er brukt heilt opp (

60

60

) og høvelen likeins (

90

90

), medan tørka har litt att (

120

126

).
Svar: Tømmer og høveltid er dei knappe ressursane. Skal sagbruket tene meir, må det skaffe meir av begge — meir tømmer åleine stoppar på høvelen, og meir høveltid åleine stoppar på tømmeret.
NB: Legg merke til kor tett

(27, 33)

(30, 30)

ligg: 98 100 kr mot 99 000 kr, altså under éin prosent. Når to hjørne er så nær kvarandre, bør vi seie det i svaret. Då veit den som skal bestemme, at valet mellom dei trygt kan avgjerast av noko modellen ikkje måler — til dømes kva kundane faktisk spør etter.

📝Oppgave 5.3.4

Eit veksthus dyrkar tomatar og agurkar, målt i hundre kilo per sesong.

- Areal: $2x + y \le 80$
- Vatn: $x + y \le 50$
- Arbeidstid: $x + 3y \le 110$
- Avtale: minst 500 kg tomatar, altså $x \ge 5$

Dekningsbidraget er 2200 kr per hundre kilo tomatar og 1600 kr per hundre kilo agurkar. Bruk rekneark.

Set opp objektfunksjonen, og skriv reknearkformelen for han når $x$ står i A2 og $y$ i B2.

Finn hjørnepunktet der areallinja og vasslinja kryssar kvarandre.

Finn hjørnepunktet der vasslinja og arbeidslinja kryssar kvarandre.

Dei andre hjørna er $(5, 0)$ , $(40, 0)$ og $(5, 35)$ . Rekn ut $z$ i alle fem, og finn den beste produksjonen.

Undersøk kva ressursar som er knappe i den beste løysinga, og forklar kva det tyder for veksthuset.

Løs oppgaven

Kva modellen ikkje ser

Lineær optimering gir eit presist svar. Presisjon er ikkje det same som at svaret er rett, og eit godt svar seier kva modellen føreset:

1. Alt er rettlinja. Modellen går ut frå at dobbelt så mykje produksjon brukar dobbelt så mykje av kvar ressurs, og gir dobbelt så mykje forteneste. I røynda går det ofte raskare per eining når vi lagar mange (stordriftsfordelar), og prisen fell gjerne når vi sel meir.
2. Alt kan delast. Modellen tillèt $7{,}5$ kakeboksar. Må talet vere heile tal, må vi teste heiltalspunkta, slik vi gjorde i kapittel 5.2.
3. Alle tal er sikre. Koeffisientane er overslag. Difor er det viktig å sjå på kor tett dei beste hjørna ligg — er skilnaden éin prosent, er «det beste» punktet ikkje sikrare enn overslaga bak.
4. Objektfunksjonen måler alt som tel. Det gjer han aldri. Deltakartimar måler ikkje kven som treng tilbodet mest; kroner måler ikkje arbeidsmiljø eller klimautslepp.

Oppsummering

Situasjon	Blir skrive	Hjørnet på aksen blir bestemt av
Kapasitet (tak)	$ax + by \le c$	det minste av krava
Minstekrav (golv)	$ax + by \ge c$	det største av krava
Vedtak om éin variabel	$x \ge k$ eller $y \le k$	ei loddrett eller vassrett linje

Slik løyser du ei praktisk optimeringsoppgåve:
1. Skriv i klartekst kva

x

y

er, med eining.
2. Set opp eitt vilkår per ressurs, per avtale og per vedtak. Forenkle ved å dele på felles faktorar.
3. Set opp objektfunksjonen, og sei kva han måler og om han skal gjerast størst eller minst.

4. Finn hjørnepunkta, og test kvart av dei mot alle vilkåra.

5. Set verdiane i ein tabell og vel den beste.
6. Svar i ord, med eining — og sei kva ressursar som er brukte heilt opp, og kor mykje modellen føreset.

📝Oppgave 5.3.5

Eit jernbaneselskap skal setje saman eit togsett av to vogntypar til ein ekstraavgang.

- Ei vogn av type A har 60 sitjeplassar og 10 sykkelplassar, og kostar 4000 kr per tur.
- Ei vogn av type B har 40 sitjeplassar og 20 sykkelplassar, og kostar 3500 kr per tur.
- Toget må ha minst 480 sitjeplassar og minst 160 sykkelplassar.
- Lokomotivet klarer høgst 12 vogner.

La $x$ vere talet på vogner av type A og $y$ talet av type B. Selskapet vil ha lågast mogleg kostnad.

Set opp dei tre vilkåra, og forenkle dei to første.

Set opp objektfunksjonen, og sei om han skal gjerast størst eller minst.

Finn hjørnepunktet der dei to minstekrava møtest.

Dei andre hjørna er $(0, 12)$ og $(8, 4)$ . Rekn ut kostnaden i alle tre, og finn det billegaste togsettet.

Forklar kvifor det verken lønner seg å bruke berre type A eller berre type B.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5.3.6

Eit kaffibrenneri lagar to blandingar og sel dei i sekker.

- Blandinga «Mild» inneheld 3 kg arabica og 1 kg robusta per sekk.
- Blandinga «Kraftig» inneheld 1 kg arabica og 3 kg robusta per sekk.
- Brenneriet har 180 kg arabica og 180 kg robusta på lager.

Dekningsbidraget er 220 kr per sekk «Mild» og 260 kr per sekk «Kraftig».

La $x$ vere talet på sekker «Mild» og $y$ talet på sekker «Kraftig».

Set opp vilkåra og objektfunksjonen.

Finn hjørnepunktet der dei to grenselinjene kryssar kvarandre.

Skriv opp alle hjørnepunkta og rekn ut $z$ i kvart av dei.

Undersøk kor mykje arabica og robusta som blir brukt i den beste løysinga.

Drøft minst tre forhold modellen ikkje tek omsyn til, og kva dei kan ha å seie for svaret.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.