5.1 Lineære budsjettvilkår

Kva veit vi? Brus kostar 15 kr per flaske, bollar 25 kr per stykk, og til saman har dei 600 kr.

Kva må vi finne? Ein ulikskap som seier at samla pris ikkje overstig 600 kr.

Prisen for brusen er $15 \cdot x$, og prisen for bollane er $25 \cdot y$. Til saman:

$$15x + 25y \le 600$$

I tillegg er $x \ge 0$ og $y \ge 0$, for dei kan ikkje kjøpe eit negativt tal på ting.

Svar: $15x + 25y \le 600$, $x \ge 0$, $y \ge 0$.

b) Vi byter ut ulikskapsteiknet med likskapsteikn og ser på linja $15x + 25y = 600$.

Skjering med $x$-aksen ($y = 0$):

$$15x + 25 \cdot 0 = 600$$
$$15x = 600 \qquad | \; : 15$$
$$x = 40$$

Skjering med $y$-aksen ($x = 0$):

$$15 \cdot 0 + 25y = 600$$
$$25y = 600 \qquad | \; : 25$$
$$y = 24$$

Svar: Linja går gjennom $(40, 0)$ og $(0, 24)$.

c) Vi teiknar linja mellom $(0, 24)$ og $(40, 0)$ og gjer origotesten:

$$15 \cdot 0 + 25 \cdot 0 = 0$$

og $0 \le 600$ er sant. Origo ligg altså i området, så vi skraverer trekanten mellom linja og dei to aksane.

Det lovlege området er trekanten mellom budsjettlinja og dei to aksane. Origo ligg i området — $15 \cdot 0 + 25 \cdot 0 = 0$, og $0 \le 600$ er sant — så vi skraverer inn mot origo.

Svar: Det lovlege området er trekanten med hjørna $(0, 0)$, $(40, 0)$ og $(0, 24)$.

d) Vi set $x = 20$ og $y = 12$ inn i ulikskapen:

$$15 \cdot 20 + 25 \cdot 12 = 300 + 300 = 600$$

og $600 \le 600$ er sant.

Svar: Ja, dei kan kjøpe 20 flasker brus og 12 bollar. Legg merke til at dei då brukar akkurat alle pengane — punktet $(20, 12)$ ligg på grenselinja, altså på kanten av området.

Plassen i veksthuset. Sommarblomane tek $0{,}5 \cdot x$ kvadratmeter og staudane $1 \cdot y$ kvadratmeter. (Vi skriv vanlegvis ikkje 1-talet, så vi skriv berre $y$.) Til saman kan dei ikkje ta meir enn 60 m²:

$$0{,}5x + y \le 60$$

Pengane. Sommarblomane kostar $80x$ kroner og staudane $120y$ kroner:

$$80x + 120y \le 7200$$

Svar: $0{,}5x + y \le 60$, $80x + 120y \le 7200$, $x \ge 0$, $y \ge 0$.

b) Vi set $x = 40$ og $y = 30$ inn i begge vilkåra.

Plass:

$$0{,}5 \cdot 40 + 30 = 20 + 30 = 50$$

og $50 \le 60$ er sant.

Pengar:

$$80 \cdot 40 + 120 \cdot 30 = 3200 + 3600 = 6800$$

og $6800 \le 7200$ er sant.

Svar: Ja, det er mogleg. Begge vilkåra er oppfylte, og dei har 10 m² og 400 kr til overs.

c) No er $x = 60$, og vi skal finne kor stor $y$ kan vere. Vi tek eitt vilkår om gongen.

Plassvilkåret:

$$0{,}5 \cdot 60 + y \le 60$$
$$30 + y \le 60 \qquad | \; - 30$$
$$y \le 30$$

Pengevilkåret:

$$80 \cdot 60 + 120y \le 7200$$
$$4800 + 120y \le 7200 \qquad | \; - 4800$$
$$120y \le 2400 \qquad | \; : 120$$
$$y \le 20$$

Begge må gjelde samtidig. Då er det det strengaste kravet som bestemmer, og $y \le 20$ er strengare enn $y \le 30$.

Svar: Det er plass til høgst 20 kassar staudar. Det er pengane som set grensa her, ikkje plassen — veksthuset har framleis 10 m² ledig.

Sagelinja $2x + 4y = 80$:

- $y = 0$: $2x = 80$, altså $x = 40$. Punktet $(40, 0)$.
- $x = 0$: $4y = 80$, altså $y = 20$. Punktet $(0, 20)$.

Monteringslinja $4x + 2y = 100$:

- $y = 0$: $4x = 100$, altså $x = 25$. Punktet $(25, 0)$.
- $x = 0$: $2y = 100$, altså $y = 50$. Punktet $(0, 50)$.

b) No skal begge vilkåra vere oppfylte med likskap, altså begge ressursane brukte fullt ut. Vi løyser likningssettet

$$2x + 4y = 80$$
$$4x + 2y = 100$$

Vi brukar addisjonsmetoden. For at ledda med $x$ skal bli like store, gongar vi den første likninga med 2:

$$2x + 4y = 80 \qquad | \; \cdot 2$$
$$4x + 8y = 160$$

No har begge likningane $4x$, og vi trekkjer den andre likninga frå den nye første. Det er lov fordi venstre side av den andre likninga er akkurat like stor som høgre side:

$$(4x + 8y) - (4x + 2y) = 160 - 100$$
$$6y = 60 \qquad | \; : 6$$
$$y = 10$$

Vi set $y = 10$ inn i den opphavlege første likninga:

$$2x + 4 \cdot 10 = 80$$
$$2x + 40 = 80 \qquad | \; - 40$$
$$2x = 40 \qquad | \; : 2$$
$$x = 20$$

Svar: Linjene kryssar kvarandre i $(20, 10)$ — altså 20 krakkar og 10 bord, der både alle sagetimane og alle monteringstimane er brukte opp.

c) Vi går rundt kanten av området.

- Origo $(0, 0)$ er med.
- På $y$-aksen: sagelinja gir $y \le 20$, monteringslinja gir $y \le 50$. Det strengaste er 20, så hjørnet er $(0, 20)$ — ikkje $(0, 50)$.
- Kryssingspunktet $(20, 10)$.
- På $x$-aksen: sagelinja gir $x \le 40$, monteringslinja gir $x \le 25$. Det strengaste er 25, så hjørnet er $(25, 0)$ — ikkje $(40, 0)$.

Dei fire hjørnepunkta i Døme 3. Dei to opne ringane er skjeringspunkt som ikkje er hjørne: i $(0, 50)$ er monteringstimane brukte opp, men sagelinja er broten, og i $(40, 0)$ er det omvendt.

Svar: Hjørnepunkta er $(0, 0)$, $(0, 20)$, $(20, 10)$ og $(25, 0)$.

NB: Punkta $(0, 50)$ og $(40, 0)$ ligg på kvar si linje, men dei er ikkje hjørnepunkt — det andre vilkåret er brote der. Sjekk sjølv: i $(40, 0)$ er $4 \cdot 40 + 2 \cdot 0 = 160 > 100$.

$$3x + 4y = 60$$
$$5x + 2y = 50$$

Vi gongar den andre likninga med 2, slik at begge får $4y$:

$$5x + 2y = 50 \qquad | \; \cdot 2$$
$$10x + 4y = 100$$

Vi trekkjer den første likninga frå denne:

$$(10x + 4y) - (3x + 4y) = 100 - 60$$
$$7x = 40 \qquad | \; : 7$$
$$x = \frac{40}{7} \approx 5{,}7$$

Vi set inn i den første likninga:

$$3 \cdot \frac{40}{7} + 4y = 60$$
$$\frac{120}{7} + 4y = 60 \qquad | \; - \frac{120}{7}$$
$$4y = \frac{420}{7} - \frac{120}{7} = \frac{300}{7} \qquad | \; : 4$$
$$y = \frac{75}{7} \approx 10{,}7$$

Svar: Linjene kryssar kvarandre i $\displaystyle \left(\frac{40}{7}, \frac{75}{7}\right) \approx (5{,}7,\ 10{,}7)$.

b) Ei korg og ei veske er ting ein anten lagar eller ikkje lagar. $5{,}7$ korger finst ikkje.

Svar: Punktet er matematisk rett, men praktisk umogleg. Det fortel oss likevel at det beste heiltalspunktet må liggje like ved.

c) Vi testar kvart punkt mot begge vilkåra.

$(5, 11)$:

$$3 \cdot 5 + 4 \cdot 11 = 15 + 44 = 59 \le 60$$
$$5 \cdot 5 + 2 \cdot 11 = 25 + 22 = 47 \le 50$$

Begge vilkåra er oppfylte, så punktet er lovleg.

$(6, 10)$:

$$3 \cdot 6 + 4 \cdot 10 = 18 + 40 = 58 \le 60$$
$$5 \cdot 6 + 2 \cdot 10 = 30 + 20 = 50 \le 50$$

Begge er oppfylte — stoffet går akkurat opp.

$(6, 11)$:

$$3 \cdot 6 + 4 \cdot 11 = 18 + 44 = 62$$

Her er $62 > 60$. Sykravet er brote, og punktet er ulovleg.

Kryssingspunktet $\displaystyle \left(\frac{40}{7}, \frac{75}{7}\right)$ er ikkje eit heiltalspunkt. Rundar vi begge koordinatane oppover, hamnar vi i $(6, 11)$ — utanfor området. Dei to grøne punkta er lovlege.

Svar: $(5, 11)$ og $(6, 10)$ er lovlege, medan $(6, 11)$ er ulovleg — syarbeidet sprekk med 2 timar.

NB: Legg merke til kva som skjedde i $(6, 11)$. Vi runda begge koordinatane oppover frå $(5{,}7,\ 10{,}7)$ og hamna utanfor området. Avrunding er ikkje ein lovleg metode her; vi må teste.