1.1 Prosentrekning og vekstfaktor | Matematikk for økonomi

Prosent, prosentpoeng og vekstfaktor — verktøya alt anna byggjer på.

45 min

8 oppgaver

ProsentVekstfaktorProsentpoeng

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Prosent — språket økonomien snakkar

Renter, moms, lønsoppgjer, prisvekst, rabatt, avkastning: nesten alt du møter i økonomi, er oppgitt i prosent. Resten av dette faget — rente på rente, prisindeks, noverdi, annuitetslån — er bygd oppå prosentrekning. Difor startar vi her, og vi bruker litt ekstra tid på det.

Ordet prosent tyder «per hundre». Skriv vi $25\,\%$ , meiner vi $25$ hundredelar:

$25\,\% = \frac{25}{100} = 0{,}25$

Det siste talet — desimaltalet — er det vi reknar med. Når vi skal ta prosent av noko, gjer vi alltid om til desimaltal først og gongar. Vi kallar det desimaltalmetoden.

Prosent av eit tal

p

✏️Døme 1 — prosent av eit beløp

a) Ei vinterjakke kostar $1\,290$ kr. På sal blir ho sett ned $30\,\%$ . Kor stort er avslaget, og kva kostar jakka på sal?

b) Ein snikkar skal fakturere eit arbeid. Prisen utan meirverdiavgift er $3\,400$ kr, og meirverdiavgifta er $25\,\%$ . Kva blir prisen med meirverdiavgift?

Løysing:

a) Kva veit vi? Prisen er $1\,290$ kr, og avslaget er $30\,\%$ av denne prisen.
Kva må vi finne? Først avslaget i kroner, så den nye prisen.

Vi gjer om prosenten til desimaltal:

$\displaystyle 30\,\% = \frac{30}{100} = 0{,}30$

Så tek vi $30\,\%$ av $1\,290$ kr:

$\displaystyle \frac{p}{100} \cdot G = 0{,}30 \cdot 1290\text{ kr} = 387\text{ kr}$

Avslaget er $387$ kr. Den nye prisen finn vi ved å trekkje avslaget frå:

$1290\text{ kr} - 387\text{ kr} = 903\text{ kr}$

Svar: Avslaget er $387$ kr, og jakka kostar $903$ kr på sal.

(Førast ikkje) Legg merke til at $1290 - 0{,}30 \cdot 1290 = 0{,}70 \cdot 1290 = 903$ . Det er nettopp denne snarvegen vi skal setje i system om litt, når vi innfører vekstfaktor.

b) Kva veit vi? Prisen utan mva er $3\,400$ kr, og mva er $25\,\%$ av han.

$25\,\% = 0{,}25$

$0{,}25 \cdot 3400\text{ kr} = 850\text{ kr}$

Meirverdiavgifta er $850$ kr. Prisen med mva blir

$3400\text{ kr} + 850\text{ kr} = 4250\text{ kr}$

Svar: Kunden skal betale $4\,250$ kr.

NB: Meirverdiavgifta blir lagd oppå prisen utan mva. Det tyder at mva ikkje er $25\,\%$ av sluttprisen — ho er $25\,\%$ av prisen utan mva. Dette skiljet kjem tilbake i Døme 6.

📝Oppgave 1

Rekn ut. Gjer om prosenten til desimaltal først.

15\,\%

2\,400

8\,\%

65\,000

2{,}5\,\%

1\,800\,000

Ein genser kostar $699$ kr og blir sett ned $25\,\%$ . Kva kostar han på sal?

Prisen på ein sykkelservice er $2\,960$ kr utan meirverdiavgift. Kva kostar servicen med $25\,\%$ mva?

Løs oppgaven

Prosentvis endring

Oftare enn å rekne ut prosenten skal vi finne han: prisen gjekk frå dette til dette — kor mange prosent er det?

Då deler vi endringa på det vi starta med. Det er den viktigaste setninga i heile kapittelet, og den vanlegaste feilen er å dele på feil tal.

📜Prosentvis endring

Går ein storleik frå ein gammal verdi

G

til ein ny verdi

N

, er den prosentvise endringa

$\text{prosentvis endring} = \frac{N - G}{G} \cdot 100\,\%$

Vi deler altså endringa på utgangspunktet. Positivt svar tyder vekst, negativt svar tyder nedgang.

✏️Døme 2 — kor mange prosent er endringa?

a) Gjennomsnittleg straumpris i eit prisområde var $78$ øre per kWh i januar og $94$ øre per kWh i februar. Kor mange prosent steig straumprisen?

b) Ein møbelbutikk hadde ei omsetning på $4{,}2$ millionar kroner i 2024 og $3{,}7$ millionar kroner i 2025. Kor mange prosent endra omsetninga seg?

Løysing:

a) Kva veit vi? Gammal verdi $G = 78$ øre, ny verdi $N = 94$ øre.
Kva må vi finne? Den prosentvise endringa.

Vi skriv formelen tom, og set så inn tala:

$\displaystyle \text{prosentvis endring} = \frac{N - G}{G} \cdot 100\,\%$

$\displaystyle = \frac{94 - 78}{78} \cdot 100\,\%$

$\displaystyle = \frac{16}{78} \cdot 100\,\%$

$\approx 20{,}51\,\%$

Svar: Straumprisen steig med omtrent $20{,}5\,\%$ .

b) Her er $G = 4{,}2$ og $N = 3{,}7$ (millionar kroner).

$\displaystyle \text{prosentvis endring} = \frac{3{,}7 - 4{,}2}{4{,}2} \cdot 100\,\%$

$\displaystyle = \frac{-0{,}5}{4{,}2} \cdot 100\,\%$

$\approx -11{,}90\,\%$

Svar: Omsetninga fall med omtrent $11{,}9\,\%$ .

NB: Svaret vart negativt fordi den nye verdien er mindre enn den gamle. Vi lèt minusteiknet kome av seg sjølv i rekninga, og omset det til ordet «fall» i svarsetninga.

Del på utgangspunktet — ikkje på sluttverdien

I Døme 2a er det freistande å skrive $\displaystyle \frac{16}{94}$ . Det gir $17{,}0\,\%$ , og er feil. Spørsmålet «kor mange prosent steig prisen» tyder kor stor er auken samanlikna med den prisen vi hadde før. Nemnaren skal difor alltid vere den gamle verdien.

Eit lite kontrollspørsmål du kan stille deg: kva tal er «det heile» her — det vi samanliknar med? Det talet står i nemnaren.

📝Oppgave 2

Rekn ut den prosentvise endringa. Rund av til to desimalar der svaret ikkje går opp.

Eit abonnement gjekk opp frå $250$ kr til $290$ kr i månaden.

Ein brukt mobiltelefon vart annonsert for $1\,200$ kr, men seld for $900$ kr.

Folketalet i ein kommune gjekk frå $8\,450$ til $8\,957$ .

Bensinprisen gjekk frå $21{,}90$ kr per liter til $19{,}50$ kr per liter.

Ein nettbutikk auka omsetninga frå $12{,}5$ millionar kroner til $15{,}8$ millionar kroner.

Løs oppgaven

Prosentpoeng

Somme gonger er sjølve storleiken vi snakkar om, allereie ein prosent — ein rentesats, ei arbeidsløyse, ein marknadsdel. Då treng vi eit eige ord for differansen mellom to prosenttal, slik at vi ikkje blandar saman to heilt ulike tal.

Prosentpoeng

4{,}25\,\%

✏️Døme 3 — prosentpoeng eller prosentvis endring?

Ein bank endrar renta på bustadlån frå $4{,}25\,\%$ til $5{,}00\,\%$ .

a) Kor mange prosentpoeng har renta stige?

b) Kor mange prosent har renta stige?

c) Ein kunde har eit lån på $2\,500\,000$ kr. Kor mykje meir må kunden betale i renter det første året?

Løysing:

Først skil vi omgrepa, slik at vi veit kva vi reknar på: prosentpoeng er differansen mellom to prosenttal, medan prosentvis endring blir rekna ut frå den opphavlege verdien.

a) Vi trekkjer det gamle prosenttalet frå det nye:

$5{,}00\,\% - 4{,}25\,\% = 0{,}75$ prosentpoeng

Svar: Renta har stige $0{,}75$ prosentpoeng.

b) Her er $G = 4{,}25$ og $N = 5{,}00$ . Vi bruker formelen for prosentvis endring:

$\displaystyle \frac{N - G}{G} \cdot 100\,\% = \frac{5{,}00 - 4{,}25}{4{,}25} \cdot 100\,\%$

$\displaystyle = \frac{0{,}75}{4{,}25} \cdot 100\,\%$

$\approx 17{,}65\,\%$

Svar: Renta har stige med omtrent $17{,}6\,\%$ .

c) Renteauken på $0{,}75$ prosentpoeng gjeld heile lånet:

$0{,}0075 \cdot 2\,500\,000\text{ kr} = 18\,750\text{ kr}$

Svar: Kunden må betale $18\,750$ kr meir i renter det første året.

NB: Legg merke til kva for eit av tala vi brukte i c). Det er prosentpoenga — ikkje dei $17{,}6$ prosentane — som seier kor mykje meir det kostar. Difor er dette skiljet ikkje berre språkpirk: det avgjer reknestykket.

📝Oppgave 3

Skil mellom prosentpoeng og prosentvis endring.

Sparerenta i ein bank går frå $3{,}2\,\%$ til $4{,}4\,\%$ . Kor mange prosentpoeng er auken?

Kor mange prosent har sparerenta i a) auka?

Delen tilsette som syklar til jobb i ei verksemd, gjekk frå $24\,\%$ til $18\,\%$ . Kor mange prosentpoeng er endringa?

Kor mange prosent har delen i c) endra seg?

Eit kundeblad skriv: «Renta er sett opp med 1 prosent, frå 2 % til 3 %.» Forklar med éi setning kva som er feil.

Løs oppgaven

Vekstfaktor

I Døme 1a rekna vi ut avslaget og trekte det frå. Det er to reknestykke. Skal vi gjere det same ti år på rad — som vi skal når vi kjem til rente på rente i neste kapittel — blir det tjue reknestykke.

Det finst ein betre veg. I staden for å rekne ut endringa og leggje ho til eller trekkje ho frå, gongar vi med eitt tal som gjer begge delar på éin gong. Det talet heiter vekstfaktoren.

📜Vekstfaktor

Skal ein storleik auke med

p\,\%

, gongar vi med vekstfaktoren

$1 + \frac{p}{100}$

Skal han minke med $p\,\%$ , gongar vi med vekstfaktoren

$1 - \frac{p}{100}$

Den nye verdien er då

$N = G \cdot \text{vekstfaktor}$

Ein vekstfaktor er anten litt over eller litt under 1, og desimalane fortel deg prosenten direkte:

- $1{,}0159$ tyder $1{,}59\,\%$ vekst
- $1{,}25$ tyder $25\,\%$ vekst
- $0{,}88$ tyder $12\,\%$ nedgang (for $1 - 0{,}88 = 0{,}12$ )
- $0{,}997$ tyder $0{,}3\,\%$ nedgang

Du les altså avstanden frå 1 som prosenten, og om faktoren ligg over eller under 1, som forteiknet.

✏️Døme 4 — å skrive og lese vekstfaktorar

a) Skriv vekstfaktoren når ein pris aukar med $3\,\%$ .

b) Skriv vekstfaktoren når ein bil fell $12\,\%$ i verdi.

c) Kva tyder vekstfaktoren $1{,}045$ ? Kva tyder vekstfaktoren $0{,}93$ ?

d) Ei leilegheit var verd $3\,850\,000$ kr og steig $4{,}5\,\%$ i verdi. Kva er ho verd no?

Løysing:

a) Prisen skal auke, så vi bruker $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$ med $p = 3$ :

$\displaystyle 1 + \frac{3}{100} = 1 + 0{,}03 = 1{,}03$

Svar: Vekstfaktoren er $1{,}03$ .

b) Verdien skal minke, så vi bruker $\displaystyle 1 - \frac{p}{100}$ med $p = 12$ :

$\displaystyle 1 - \frac{12}{100} = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$

Svar: Vekstfaktoren er $0{,}88$ .

c) $1{,}045$ ligg $0{,}045$ over 1, altså ein vekst på $4{,}5\,\%$ .

$0{,}93$ ligg $0{,}07$ under 1, altså ein nedgang på $7\,\%$ .

d) Kva veit vi? $G = 3\,850\,000$ kr, vekst på $4{,}5\,\%$ .

Vekstfaktoren er $\displaystyle 1 + \frac{4{,}5}{100} = 1{,}045$ .

$N = G \cdot 1{,}045 = 3\,850\,000\text{ kr} \cdot 1{,}045 = 4\,023\,250\text{ kr}$

Svar: Leilegheita er verd $4\,023\,250$ kr.

(Førast ikkje) Med den gamle framgangsmåten ville vi rekna $0{,}045 \cdot 3\,850\,000 = 173\,250$ og lagt det til. Same svar, men to reknestykke i staden for eitt — og den skilnaden veks fort når vi skal gjere det mange gonger etter kvarandre.

📝Oppgave 4

Vekstfaktorar. I a)–d) skal du skrive vekstfaktoren, i e)–f) skal du lese han.

Ei løn aukar med $6\,\%$ .

Ein pris aukar med $0{,}5\,\%$ .

Ein verdi fell $15\,\%$ .

Ein verdi fell $3{,}2\,\%$ .

Kor mange prosent vekst svarer vekstfaktoren $1{,}125$ til?

Kor mange prosent nedgang svarer vekstfaktoren $0{,}91$ til?

Løs oppgaven

Fleire endringar etter kvarandre

No kjem gevinsten ved vekstfaktoren. Skjer det fleire prosentvise endringar etter kvarandre, gongar vi rett og slett vekstfaktorane saman:

$N = G \cdot v_1 \cdot v_2 \cdot v_3 \cdot \ldots$

Produktet $v_1 \cdot v_2 \cdot v_3 \cdot \ldots$ kallar vi den samla vekstfaktoren. Han kan vi lese av på vanleg måte, og då får vi den samla prosentvise endringa.

Opp 20 % og ned 20 % er ikkje tilbake til start

Set at ei vare kostar $100$ kr. Prisen blir først sett opp $20\,\%$ , til $120$ kr. Så blir han sett ned $20\,\%$ igjen. Men no blir dei $20$ prosentane rekna av $120$ kr, ikkje av $100$ kr — avslaget blir $24$ kr, og prisen endar på $96$ kr.

Vi er altså ikkje tilbake der vi starta. Prosentar blir alltid rekna ut frå det du har akkurat no, og det talet har endra seg undervegs.

✏️Døme 5 — samla vekstfaktor

Ei jakke kostar $800$ kr. Butikken set prisen opp $20\,\%$ før sesongen, og set han så ned $20\,\%$ på sal.

a) Kva kostar jakka etter dei to endringane?

b) Kva er den samla vekstfaktoren, og kva er den samla prosentvise endringa?

Løysing:

a) Kva veit vi? Utgangspris $800$ kr, først $+20\,\%$ , så $-20\,\%$ .

Vekstfaktorane er $\displaystyle v_1 = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}20$ og $\displaystyle v_2 = 1 - \frac{20}{100} = 0{,}80$ .

Vi gongar dei på etter tur:

Etter auken: $800\text{ kr} \cdot 1{,}20 = 960\text{ kr}$

Etter nedsetjinga: $960\text{ kr} \cdot 0{,}80 = 768\text{ kr}$

Svar: Jakka kostar $768$ kr.

b) Den samla vekstfaktoren er produktet av dei to:

$v = v_1 \cdot v_2 = 1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96$

Vi kontrollerer: $800\text{ kr} \cdot 0{,}96 = 768\text{ kr}$ . Det stemmer med a).

Vi les vekstfaktoren: $0{,}96$ ligg $0{,}04$ under 1.

$1 - 0{,}96 = 0{,}04 = 4\,\%$

Svar: Den samla vekstfaktoren er $0{,}96$ , og prisen har samla sett gått ned $4\,\%$ .

NB: Vi legg ikkje saman prosentane. $+20\,\%$ og $-20\,\%$ gir ikkje $0\,\%$ . Det er vekstfaktorane som blir gonga saman, aldri prosentane som blir lagde saman.

📝Oppgave 5

Fleire endringar etter kvarandre.

Ein sparekonto har $40\,000$ kr. Beløpet veks $4\,\%$ tre år på rad. Kor mykje står det på kontoen etter tre år? Rund av til næraste krone.

Kva er den samla vekstfaktoren i a)? Oppgi seks desimalar.

Kor mange prosent har beløpet i a) vakse samla sett? Rund av til to desimalar.

Ein aksje fell $20\,\%$ det første året og stig $20\,\%$ det neste. Kva er den samla prosentvise endringa?

Ein butikk gir først $30\,\%$ rabatt og så ytterlegare $10\,\%$ på den nedsette prisen. Er dette det same som $40\,\%$ rabatt? Kor mange prosent rabatt er det eigentleg?

Løs oppgaven

Å gå baklengs: kva var prisen før?

Vi har brukt $N = G \cdot v$ . Kjenner vi $N$ og $v$ , men manglar $G$ , løyser vi likninga på vanleg måte — vi deler på $v$ på begge sider:

$G \cdot v = N$
$\frac{G \cdot v}{v} = \frac{N}{v}$
$G = \frac{N}{v}$

Gjekk det oppover med å gonge, går det altså nedover igjen med å dele. Dette er akkurat den rekninga du gjer når du skal finne prisen utan meirverdiavgift, eller prisen før eit prisavslag.

✏️Døme 6 — finne den opphavlege verdien

a) Ein berbar PC kostar $14\,875$ kr med $25\,\%$ meirverdiavgift. Kva er prisen utan meirverdiavgift?

b) Eit strøymeabonnement kostar $348{,}80$ kr i månaden etter ein prisauke på $9\,\%$ . Kva kosta det før auken?

Løysing:

a) Kva veit vi? Prisen etter at mva er lagd til, er $N = 14\,875$ kr, og mva er $25\,\%$ .
Kva må vi finne? Prisen $G$ før mva vart lagd til.

Å leggje til $25\,\%$ svarer til vekstfaktoren

$\displaystyle v = 1 + \frac{25}{100} = 1{,}25$

Vi bruker $\displaystyle G = \frac{N}{v}$ :

$\displaystyle G = \frac{14\,875\text{ kr}}{1{,}25} = 11\,900\text{ kr}$

Vi kontrollerer: $11\,900\text{ kr} \cdot 1{,}25 = 14\,875\text{ kr}$ . Det stemmer.

Svar: Prisen utan meirverdiavgift er $11\,900$ kr.

(Førast ikkje) Meirverdiavgifta er då $14\,875 - 11\,900 = 2\,975$ kr. Legg merke til at dette ikkje er $25\,\%$ av $14\,875$ kr — det ville ha vore $3\,718{,}75$ kr. Mva er $25\,\%$ av prisen utan mva.

b) Prisen har auka $9\,\%$ , så vekstfaktoren er

$\displaystyle v = 1 + \frac{9}{100} = 1{,}09$

$\displaystyle G = \frac{N}{v} = \frac{348{,}80\text{ kr}}{1{,}09} = 320\text{ kr}$

Svar: Abonnementet kosta $320$ kr i månaden før auken.

NB: Den vanlegaste feilen her er å trekkje frå $9\,\%$ av $348{,}80$ kr. Det gir $317{,}41$ kr, og er feil — for dei $9$ prosentane vart rekna av den gamle prisen, ikkje av den nye.

📝Oppgave 6

Finn den opphavlege verdien.

Eit beløp auka med $12\,\%$ og vart $6\,720$ kr. Kva var beløpet før auken?

Ei vare kostar $1\,200$ kr etter $25\,\%$ rabatt. Kva var prisen før rabatten?

Ein kjøkenmaskin kostar $8\,750$ kr med $25\,\%$ meirverdiavgift. Kva er prisen utan mva?

Ei løn auka med $8\,\%$ til $54\,000$ kr i månaden. Kva var løna før auken?

Kor mange kroner utgjorde lønsauken i d)?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Prosent tyder per hundre: $\displaystyle p\,\% = \frac{p}{100}$ . Vi reknar alltid med desimaltalet.
- $p$ prosent av $G$ er $\displaystyle \frac{p}{100} \cdot G$ .
- Prosentvis endring frå $G$ til $N$ er $\displaystyle \frac{N - G}{G} \cdot 100\,\%$ — endringa delt på utgangspunktet.
- Prosentpoeng er differansen mellom to prosenttal. Prosentvis endring blir rekna ut frå den opphavlege verdien. Det er to ulike tal, og dei svarer på kvart sitt spørsmål.
- Vekstfaktor: $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$ ved vekst, $\displaystyle 1 - \frac{p}{100}$ ved nedgang. Då er $N = G \cdot v$ .
- Å lese ein vekstfaktor: avstanden frå 1 er prosenten; over 1 er vekst, under 1 er nedgang.
- Fleire endringar etter kvarandre: gong vekstfaktorane saman. Prosentane blir aldri lagde saman.
- Baklengs: $\displaystyle G = \frac{N}{v}$ .

📝Oppgave 7

Samleoppgåve. Ein sykkelbutikk sel ein elsykkel til

12\,400

kr. I januarsalet blir prisen sett ned

15\,\%

. I februar blir salsprisen sett ned ytterlegare

10\,\%

Kva kostar elsykkelen i februar?

Kor mange prosent er elsykkelen samla sett ned frå $12\,400$ kr?

Butikken vil at februarprisen skal bli nøyaktig $9\,000$ kr. Kor mange prosent må den andre nedsetjinga då vere? Rund av til to desimalar.

Etter salet blir prisen sett opp igjen frå $9\,486$ kr til $12\,400$ kr. Kor mange prosent er denne auken? Rund av til to desimalar.

Forklar kvifor prosentauken i d) ikkje er den same som prosentnedgangen i b), sjølv om vi går mellom dei same to prisane.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Del 2 — rekneark. Tabellen viser prisen på fem matvarer i ein daglegvarebutikk to år etter kvarandre.

Vare	Pris år 1	Pris år 2
Brød 750 g	32,90 kr	39,50 kr
Mjølk 1 l	18,50 kr	22,90 kr
Kaffi 250 g	49,90 kr	74,90 kr
Egg 12 stk	44,90 kr	52,90 kr
Smør 500 g	62,90 kr	79,90 kr

Legg tabellen inn i eit rekneark med varenamn i kolonne A, pris år 1 i kolonne B og pris år 2 i kolonne C. Varene står i radene 2 til 6.

Skriv formelen du set i celle D2 for å rekne ut den prosentvise endringa for brød, slik at du kan kopiere han nedover til D6.

Kor mange prosent steig kaffiprisen? Rund av til to desimalar.

Rekn ut gjennomsnittet av dei fem prosentendringane. Rund av til to desimalar.

Rekn ut kor mange prosent summen av dei fem prisane steig. Rund av til to desimalar.

Svara i c) og d) er ikkje like. Forklar kvifor, og drøft kva for eit av dei to tala som best skildrar prisveksten for ein familie som handlar alle fem varene kvar veke.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.