Tilbake
7.4
Heisenbergs usikkerhetsrelasjon

7.4 Heisenbergs usikkerhetsrelasjon

Alle fag for VG3

Usikkerhetsrelasjonen, grenser for samtidig måling av posisjon og fart.

40 min
10 oppgaver
Heisenbergs usikkerhetsrelasjonPosisjon og impulsEnergi og tidMåleprosessenKvantemekaniske implikasjoner
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Heisenbergs uvisserelasjon

I 1927 formulerte den tyske fysikaren Werner Heisenberg eitt av dei mest grunnleggjande prinsippa i kvantefysikken: uvisserelasjonen (òg kalla uvisseprinsippet).

Dette prinsippet set ei fundamental grense for kor nøyaktig vi kan kjenne visse par av fysiske storleikar samtidig — særleg posisjon og rørslemengd.

Klassisk fysikk vs. kvantefysikk

I klassisk fysikk kan vi i prinsippet måle posisjonen xx og rørslemengda pp til ein partikkel med vilkårleg stor nøyaktigheit — avgrensingane er berre praktiske (kvaliteten på instrumenta).

I kvantefysikken er dette fundamentalt umogleg. Det finst ei nedre grense for produktet av uvissene, uansett kor gode instrumenta våre er. Dette er ikkje ei teknisk avgrensing, men ein fundamental eigenskap ved naturen.

📜Heisenbergs uvisserelasjon
For posisjonen xx og rørslemengda pxp_x (i same retning) til ein partikkel gjeld:

Δx⋅Δpx≥ℏ2\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}

der:
- Δx\Delta x er uvissa i posisjon
- Δpx\Delta p_x er uvissa i rørslemengd (i xx-retninga)
- ℏ=h2π=1,055×10−34\displaystyle \hbar = \frac{h}{2\pi} = 1{,}055 \times 10^{-34} J·s er den reduserte Plancks konstanten

Konsekvens: Jo meir nøyaktig vi kjenner posisjonen til ein partikkel (Δx\Delta x liten), desto mindre nøyaktig kjenner vi rørslemengda (Δp\Delta p stor), og omvendt.

Uvisserelasjonen (posisjon-rørslemengd)
Δx⋅Δp≥ℏ2=h4π\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} = \frac{h}{4\pi}

Produktet av uvissene i posisjon og rørslemengd kan aldri vere mindre enn $\hbar/2 \approx 5{,}27 \times 10^{-35}$ J·s. Her er $\hbar = h/(2\pi)$.

📜Energi-tid-uvisserelasjonen
Det finst òg ein uvisserelasjon mellom energi og tid:

ΔE⋅Δt≥ℏ2\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}

der:
- ΔE\Delta E er uvissa i energi
- Δt\Delta t er uvissa i tid (tidsvindauget for målinga)

Konsekvens: Ein tilstand som eksisterer i kort tid (Δt\Delta t liten) har stor uvisse i energi (ΔE\Delta E stor). Dette forklarer mellom anna breidda på spektrallinjer og virtuelle partiklar.

Energi-tid-uvisserelasjonen
ΔE⋅Δt≥ℏ2\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}

Produktet av uvissene i energi og tid kan aldri vere mindre enn $\hbar/2$. Tilstandar med kort levetid har breiare energifordeling.

Fysisk forklaring

Heisenbergs mikroskop-tankeeksperiment

Heisenberg illustrerte uvisserelasjonen med eit tankeeksperiment. Tenk deg at du vil fastsetje posisjonen til eit elektron med eit mikroskop:

1. For å «sjå» elektronet må du lyse på det med foton.
2. For å fastsetje posisjonen nøyaktig (Δx\Delta x liten), treng du lys med kort bølgjelengd (t.d. gammastrålar).
3. Men kort bølgjelengd tyder høg energi (E=hc/λE = hc/\lambda), og når fotonet kolliderer med elektronet, gir det elektronet eit kraftig «dytt».
4. Denne kollisjonen endrar rørslemengda til elektronet på ein uføreseieleg måte (Δp\Delta p stor).

Omvendt: Bruker du lys med lang bølgjelengd (lågt «dytt»), blir uvissa i rørslemengd lita, men posisjonen blir fastsett med dårleg nøyaktigheit.

Fundamental eigenskap — ikkje målefeil!

Det er viktig å forstå at uvisserelasjonen ikkje skuldast:
- Dårlege måleinstrument
- Forstyrringar som målinga fører til
- Vår uvisse om den «eigentlege» verdien

Uvissa er ein fundamental eigenskap ved kvantemekaniske objekt. Ein partikkel har rett og slett ikkje ein bestemt posisjon og bestemt rørslemengd samtidig. De Broglie-bølgjer illustrerer dette: Ei bølgje med bestemt bølgjelengd (Δp=0\Delta p = 0) strekkjer seg over heile rommet (Δx=∞\Delta x = \infty), medan ein lokalisert «bølgjepakke» (Δx\Delta x liten) inneheld mange ulike bølgjelengder (Δp\Delta p stor).

✏️Eksempel 1: Uvisse for eit elektron i eit atom

Eit elektron er bunde i eit hydrogenatom med radius ca. a0=0,053a_0 = 0{,}053 nm (Bohr-radius). Anslå minimum uvisse i farten til elektronet.

Gjeve: Δx≈a0=0,053\Delta x \approx a_0 = 0{,}053 nm =5,3×10−11= 5{,}3 \times 10^{-11} m

Vi tolkar dette som at posisjonen til elektronet er kjend med uvisse Δx≈5,3×10−11\Delta x \approx 5{,}3 \times 10^{-11} m.

Minimum uvisse i rørslemengd:
Δp≥ℏ2Δx=1,055×10−342×5,3×10−11=9,95×10−25 kg\cdotpm/s\Delta p \geq \frac{\hbar}{2\Delta x} = \frac{1{,}055 \times 10^{-34}}{2 \times 5{,}3 \times 10^{-11}} = 9{,}95 \times 10^{-25} \text{ kg·m/s}

Uvisse i fart:
Δv=Δpme=9,95×10−259,109×10−31=1,09×106 m/s\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e} = \frac{9{,}95 \times 10^{-25}}{9{,}109 \times 10^{-31}} = 1{,}09 \times 10^6 \text{ m/s}

Svar: Minimum fartsuvisse er ca. 1,1×1061{,}1 \times 10^6 m/s — det er omtrent 0,4%0{,}4\% av lysfarten! Elektronet i eit atom har altså ei svært stor uvisse i farten, noko som tyder at det er meiningslaust å snakke om ei bestemt bane for elektronet.

✏️Eksempel 2: Uvisse for ei kule

Ei kule med masse m=0,010m = 0{,}010 kg har posisjon kjend med uvisse Δx=1,0×10−6\Delta x = 1{,}0 \times 10^{-6} m (1 mikrometer). Kva er minimum uvisse i farten til kula?

Gjeve: m=0,010m = 0{,}010 kg, Δx=1,0×10−6\Delta x = 1{,}0 \times 10^{-6} m

Utrekning:
Δp≥ℏ2Δx=1,055×10−342×1,0×10−6=5,28×10−29 kg\cdotpm/s\Delta p \geq \frac{\hbar}{2\Delta x} = \frac{1{,}055 \times 10^{-34}}{2 \times 1{,}0 \times 10^{-6}} = 5{,}28 \times 10^{-29} \text{ kg·m/s}

Δv=Δpm=5,28×10−290,010=5,3×10−27 m/s\Delta v = \frac{\Delta p}{m} = \frac{5{,}28 \times 10^{-29}}{0{,}010} = 5{,}3 \times 10^{-27} \text{ m/s}

Svar: Minimum fartsuvisse er 5,3×10−275{,}3 \times 10^{-27} m/s — ein ekstremt liten verdi som er fullstendig umåleleg. Uvisserelasjonen har inga praktisk betydning for makroskopiske objekt.

✏️Eksempel 3: Energi-tid-uvisse

Ein eksitert atomtilstand har levetid Δt=1,0×10−8\Delta t = 1{,}0 \times 10^{-8} s. Rekn ut minimum uvisse i energien til tilstanden.

Gjeve: Δt=1,0×10−8\Delta t = 1{,}0 \times 10^{-8} s

Utrekning:
ΔE≥ℏ2Δt=1,055×10−342×1,0×10−8=5,3×10−27 J\Delta E \geq \frac{\hbar}{2\Delta t} = \frac{1{,}055 \times 10^{-34}}{2 \times 1{,}0 \times 10^{-8}} = 5{,}3 \times 10^{-27} \text{ J}

I elektronvolt:
ΔE=5,3×10−271,602×10−19=3,3×10−8 eV\Delta E = \frac{5{,}3 \times 10^{-27}}{1{,}602 \times 10^{-19}} = 3{,}3 \times 10^{-8} \text{ eV}

Svar: Energiuvissa er minst 3,3×10−83{,}3 \times 10^{-8} eV. Dette forklarer kvifor spektrallinjer har ei endeleg breidd (naturleg linjebreidd) — energiovergangen er ikkje skarp, men har ei lita spreiing.

✏️Eksempel 4: Elektron innelukka i ein atomkjerne?

Kan eit elektron vere lokalisert inne i ein atomkjerne med radius r≈5×10−15r \approx 5 \times 10^{-15} m? Bruk uvisserelasjonen til å anslå den kinetiske energien til elektronet og samanlikn med typiske kjerneenergiar (∼1\sim 1 MeV).

Gjeve: Δx≈5×10−15\Delta x \approx 5 \times 10^{-15} m (kjerneradius)

Minimum rørslemengd:
Δp≥ℏ2Δx=1,055×10−342×5×10−15=1,06×10−20 kg\cdotpm/s\Delta p \geq \frac{\hbar}{2\Delta x} = \frac{1{,}055 \times 10^{-34}}{2 \times 5 \times 10^{-15}} = 1{,}06 \times 10^{-20} \text{ kg·m/s}

Minimum kinetisk energi:
Ek≈(Δp)22me=(1,06×10−20)22×9,109×10−31=1,12×10−401,82×10−30=6,2×10−11 JE_k \approx \frac{(\Delta p)^2}{2m_e} = \frac{(1{,}06 \times 10^{-20})^2}{2 \times 9{,}109 \times 10^{-31}} = \frac{1{,}12 \times 10^{-40}}{1{,}82 \times 10^{-30}} = 6{,}2 \times 10^{-11} \text{ J}

Ek=6,2×10−111,602×10−19=3,9×108 eV=390 MeVE_k = \frac{6{,}2 \times 10^{-11}}{1{,}602 \times 10^{-19}} = 3{,}9 \times 10^8 \text{ eV} = 390 \text{ MeV}

Svar: Eit elektron lokalisert i ein atomkjerne ville ha kinetisk energi ∼390\sim 390 MeV, mykje større enn typiske kjernebindingsenergiar (∼\sim nokre MeV). Difor kan elektron ikkje vere inne i atomkjernen — uvisserelasjonen forbyr det. (Merk: Ved slike energiar bør ein bruke relativistisk mekanikk, men konklusjonen er den same.)

Viktige konsekvensar av uvisserelasjonen

1. Nullpunktsenergi


Uvisserelasjonen tyder at ein partikkel aldri kan vere heilt i ro. Dersom Δx\Delta x og Δp\Delta p begge var null, ville produktet Δx⋅Δp=0<ℏ/2\Delta x \cdot \Delta p = 0 < \hbar/2, som er umogleg. Partiklar har alltid ein minimum energi — nullpunktsenergien.

2. Elektronskyer, ikkje baner


I Bohrs atommodell rører elektronet seg i bestemte baner. Men uvisserelasjonen viser at det er meiningslaust å snakke om ei bestemt bane. I staden blir elektronet skildra av ei sannsynsfordeling (elektronsky) som gir sannsynet for å finne elektronet i ulike posisjonar.

3. Kvantemekanisk tunnelering


Energi-tid-uvissa tillèt at ein partikkel «låner» energi i ei svært kort tid for å passere gjennom ein energibarriere han klassisk sett ikkje har nok energi til å overvinne. Dette blir kalla kvantemekanisk tunnelering.

4. Spektrallinjebreidd


Eksiterte atomtilstandar har endeleg levetid, noko som ifølgje ΔE⋅Δt≥ℏ/2\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2 gir ei endeleg breidd på spektrallinjene.

Oppsummering

- Heisenbergs uvisserelasjon: Δx⋅Δp≥ℏ/2\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2
- Energi-tid-uvissa: ΔE⋅Δt≥ℏ/2\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2
- Uvissa er fundamental, ikkje eit resultat av dårlege målingar.
- For makroskopiske objekt er uvissa neglisjerbar.
- For subatomære partiklar er uvissa avgjerande: ho forbyr at elektron er i atomkjernen, gir nullpunktsenergi, og gjer at vi må erstatte baner med sannsynsfordelingar.
- ℏ=h/(2π)=1,055×10−34\hbar = h/(2\pi) = 1{,}055 \times 10^{-34} J·s.

Oppgaver

Lett3 oppgaver
Medium3 oppgaver
Vanskelig2 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.