7.3 de Broglies hypotese | Fysikk 2

Materiens bølgenatur, de Broglies bølgelengde og eksperimentell bekreftelse.

45 min

12 oppgaver

de Broglies bølgelengdeMateriens bølgenaturElektronbøyningDavisson-Germer-eksperimentet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.2Bølge-partikkel-dualitet

Brukes videre i

7.4Heisenbergs usikkerhetsrelasjon

de Broglies hypotese

I 1924 føreslo den franske fysikaren Louis de Broglie ein dristig idé i doktoravhandlinga si: Viss lys — som tradisjonelt vart sett på som bølgjer — også har partikkeleigenskapar (foton), kanskje materie — som tradisjonelt vart sett på som partiklar — også har bølgjeeigenskapar?

Denne idéen, kjend som de Broglies hypotese, revolusjonerte fysikken og la grunnlaget for kvantemekanikken slik vi kjenner han i dag.

Frå lys til materie

Vi veit at foton har rørslemengd:

$p = \frac{h}{\lambda}$

de Broglie snudde denne samanhengen og føreslo at kvar partikkel med rørslemengd $p$ har ei tilhøyrande bølgjelengd:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$

der $m$ er massen til partikkelen og $v$ er farten.

Denne bølgjelengda vert kalla de Broglie-bølgjelengda eller materiebølgjelengda.

de Broglie-bølgjelengda

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}

de Broglie-bølgjelengda til ein partikkel med masse $m$ og fart $v$. Her er $h = 6{,}626 \times 10^{-34}$ J·s (Plancks konstant) og $p = mv$ er rørslemengda. Jo større masse eller fart, desto kortare bølgjelengd.

de Broglies hypotese

p

de Broglie-bølgjelengd for akselererte elektron

I mange eksperiment akselererer ein elektron gjennom ei spenning $V$ . Då får elektronet kinetisk energi lik:

$E_k = eV = \frac{1}{2}mv^2$

Rørslemengda vert då:

$p = mv = \sqrt{2mE_k} = \sqrt{2meV}$

Og de Broglie-bølgjelengda:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$

Denne formelen er svært nyttig for elektronmikroskop og elektronbøyingseksperiment.

de Broglie-bølgjelengd for akselererte elektron

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}

Bølgjelengda til eit elektron akselerert gjennom ein potensialskilnad $V$. Her er $m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}$ kg og $e = 1{,}602 \times 10^{-19}$ C.

✏️Eksempel 1: de Broglie-bølgjelengd for eit elektron

Eit elektron rører seg med fart $v = 1{,}0 \times 10^6$ m/s. Rekn ut de Broglie-bølgjelengda. Massen til elektronet er $m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}$ kg.

Gitt:

v = 1{,}0 \times 10^6

m/s,

m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}

Formel: $\lambda = h/(mv)$

Utrekning:
$\lambda = \frac{h}{m_e v} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{9{,}109 \times 10^{-31} \times 1{,}0 \times 10^6}$

$\lambda = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{9{,}109 \times 10^{-25}} = 7{,}27 \times 10^{-10} \text{ m} = 0{,}727 \text{ nm}$

Svar: de Broglie-bølgjelengda er $0{,}727$ nm. Dette er samanliknbart med atomavstandar i krystallar, noko som tyder at elektronbølgjer kan diffrakterast av krystallgitter.

✏️Eksempel 2: Fotball vs. elektron

Samanlikn de Broglie-bølgjelengdene for:
a) Eit elektron med fart $v = 1{,}0 \times 10^6$ m/s
b) Ein fotball ( $m = 0{,}43$ kg) med fart $v = 25$ m/s

Forklar kvifor vi ikkje observerer bølgjeeigenskapar for fotballen.

a) Elektron:

\lambda_e = \frac{h}{m_e v} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{9{,}109 \times 10^{-31} \times 1{,}0 \times 10^6} = 7{,}3 \times 10^{-10} \text{ m} = 0{,}73 \text{ nm}

b) Fotball:
$\lambda_f = \frac{h}{mv} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{0{,}43 \times 25} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{10{,}75} = 6{,}2 \times 10^{-35} \text{ m}$

Samanlikning:

Objekt	de Broglie-bølgjelengd
Elektron	$0{,}73$ nm = $7{,}3 \times 10^{-10}$ m
Fotball	$6{,}2 \times 10^{-35}$ m

Bølgjelengda til fotballen er ca.

10^{25}

gonger kortare enn til elektronet!
Forklaring: de Broglie-bølgjelengda til fotballen (

6{,}2 \times 10^{-35}

m) er enormt mykje mindre enn nokon kjend fysisk storleik. Sjølv ein atomkjerne har radius ca.

10^{-15}

m — altså

10^{20}

gonger større enn bølgjelengda til fotballen. Det er umogleg å lage spaltar eller hindringar små nok til å observere diffraksjon av ein fotball. Bølgjeeigenskapar for makroskopiske objekt er i praksis uobserverbare.

✏️Eksempel 3: Akselerert elektron

Eit elektron vert akselerert frå ro gjennom ein potensialskilnad på $V = 100$ V. Rekn ut de Broglie-bølgjelengda til elektronet.

Gitt:

V = 100

Formel: $\lambda = h/\sqrt{2m_e eV}$

Utrekning:
$\lambda = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9{,}109 \times 10^{-31} \times 1{,}602 \times 10^{-19} \times 100}}$

Nemnaren:
$\sqrt{2 \times 9{,}109 \times 10^{-31} \times 1{,}602 \times 10^{-17}} = \sqrt{2{,}919 \times 10^{-47}} = 5{,}40 \times 10^{-24}$

$\lambda = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{5{,}40 \times 10^{-24}} = 1{,}23 \times 10^{-10} \text{ m} = 0{,}123 \text{ nm}$

Svar: $\lambda = 0{,}123$ nm. Dette er samanliknbart med avstanden mellom atom i eit krystallgitter (typisk $0{,}1$ – $0{,}5$ nm), så elektronet kan diffrakterast av krystallar.

Eksperimentell stadfesting: Davisson-Germer-eksperimentet (1927)

de Broglies hypotese var ei teoretisk føreseiing som trong eksperimentell stadfesting. Denne kom i 1927, berre tre år etter doktoravhandlinga til de Broglie.

Davisson-Germer-eksperimentet

Dei amerikanske fysikarane Clinton Davisson og Lester Germer sende ein stråle av elektron mot ein nikkelkrystall og målte intensiteten til dei reflekterte elektrona som funksjon av vinkelen.

Observasjonar:
- Elektrona vart reflekterte i bestemte vinklar — akkurat som røntgenstrålar vert diffrakterte av krystallar.
- Mønsteret stemde perfekt med det som er venta for bølgjer med de Broglie-bølgjelengda.
- Resultata stadfesta de Broglies formel $\lambda = h/p$ .

G.P. Thomson

Omtrent samstundes utførte George Paget Thomson (son til J.J. Thomson som oppdaga elektronet) liknande eksperiment med elektronbøying gjennom tynne metallfoliar. Resultata stadfesta de Broglies hypotese uavhengig.

Davisson og Thomson delte Nobelprisen i fysikk i 1937 for eksperimentell stadfesting av bølgjenaturen til elektronet.

Historisk ironi: J.J. Thomson fekk Nobelprisen i 1906 for å vise at elektronet er ein partikkel. Sonen hans G.P. Thomson fekk Nobelprisen i 1937 for å vise at elektronet er ei bølgje!

Bruk: Elektronmikroskopet

Ei viktig praktisk bruk av de Broglies hypotese er elektronmikroskopet.

Oppløysingsevne

Oppløysingsevna til eit mikroskop (evna til å skilje fine detaljar) er avgrensa av bølgjelengda til strålinga som vert brukt. Jo kortare bølgjelengd, jo finare detaljar kan ein sjå:

$d_{\min} \approx \frac{\lambda}{2}$

der $d_{\min}$ er den minste detaljen som kan oppløysast.

Lysmikroskop vs. elektronmikroskop

Eigenskap	Lysmikroskop	Elektronmikroskop
Bølgjelengd	$\sim 400$ – $700$ nm (synleg lys)	$\sim 0{,}005$ – $0{,}1$ nm (elektron)
Oppløysing	$\sim 200$ nm	$\sim 0{,}05$ nm
Forstørring	Opptil $\sim 1500\times$	Opptil $\sim 10^6\times$
Kan sjå	Celler, bakteriar	Atom, molekyl

Elektronmikroskopet utnyttar at elektron akselererte gjennom høge spenningar (t.d. 100 kV) har de Broglie-bølgjelengder som er mykje kortare enn synleg lys, og dermed gir mykje betre oppløysing.

Typar elektronmikroskop

- TEM (transmisjonselektronmikroskop): Elektrona passerer gjennom eit tynt prøvesnitt. Kan oppløyse einskilde atom.
- SEM (sveipeelektronmikroskop): Elektrona vert reflekterte frå overflata. Gir 3D-liknande bilete av overflatestrukturar.

✏️Eksempel 4: Elektronmikroskop

I eit transmisjonselektronmikroskop (TEM) vert elektron akselererte gjennom ei spenning på $V = 200$ kV.

a) Rekn ut de Broglie-bølgjelengda til elektrona.
b) Samanlikn med bølgjelengda til synleg lys.
c) Anslå oppløysingsevna til mikroskopet.

a) de Broglie-bølgjelengda:

$V = 200 \text{ kV} = 200\,000$ V

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9{,}109 \times 10^{-31} \times 1{,}602 \times 10^{-19} \times 2{,}00 \times 10^5}}$

$= \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{\sqrt{5{,}84 \times 10^{-44}}} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{2{,}41 \times 10^{-22}} = 2{,}75 \times 10^{-12} \text{ m} = 0{,}00275 \text{ nm}$

b) Samanlikning:

Synleg lys: $\lambda \approx 500$ nm.
Elektrona: $\lambda \approx 0{,}003$ nm.

Bølgjelengda til elektrona er ca. $\displaystyle \frac{500}{0{,}003} \approx 170\,000$ gonger kortare enn synleg lys!

c) Oppløysingsevne:

$d_{\min} \approx \lambda/2 \approx 0{,}001$ nm. I praksis er oppløysinga avgrensa av linseaberrasjonar til ca. $0{,}05$ nm, som likevel er nok til å sjå einskilde atom.

Merk: Ved så høge spenningar bør ein eigentleg bruke relativistisk korreksjon for massen til elektronet, men vi ser bort frå dette her.

Plancks konstant $h = 6{,}626 \times 10^{-34}$ J·s er ekstremt lita. For makroskopiske objekt med stor masse og fart er de Broglie-bølgjelengda umåleleg lita:

- Menneske (70 kg, 1,5 m/s): $\lambda \approx 6 \times 10^{-36}$ m
- Støvkorn ( $10^{-9}$ kg, 1 m/s): $\lambda \approx 7 \times 10^{-25}$ m
- Bakterie ( $10^{-15}$ kg): $\lambda \approx 7 \times 10^{-19}$ m

Sjølv for ein bakterie er bølgjelengda mykje kortare enn ein atomkjerne ( $\sim 10^{-15}$ m). Bølgjeeigenskapar er berre observerbare for subatomære partiklar som elektron, proton og nøytron, der massen er tilstrekkeleg lita.

Vanlege feil

Feil 1: Å tru at de Broglie-bølgjer er fysiske bølgjer ein kan «sjå».
→ de Broglie-bølgjer er sannsynsbølgjer som skildrar kvantemekanisk åtferd. Dei er ikkje mekaniske bølgjer som lyd eller vassbølgjer.

Feil 2: Å gløyme einingar i formelen $\lambda = h/(mv)$ .
→ Hugs at $h$ er i J·s, $m$ i kg og $v$ i m/s. Då får du $\lambda$ i meter.

Feil 3: Å bruke formelen for akselererte elektron ( $\lambda = h/\sqrt{2meV}$ ) når farten allereie er gitt.
→ Bruk $\lambda = h/(mv)$ når farten er kjend, og $\lambda = h/\sqrt{2meV}$ berre når akselerasjonsspenninga er gitt.

Oppsummering

- de Broglies hypotese (1924): All materie har bølgjeeigenskapar med bølgjelengd $\lambda = h/p = h/(mv)$ .
- Stadfesta eksperimentelt av Davisson og Germer (1927) gjennom elektronbøying.
- For makroskopiske objekt er $\lambda$ umåleleg lita — bølgjeeigenskapar er berre observerbare for subatomære partiklar.
- Elektronmikroskopet utnyttar den korte de Broglie-bølgjelengda til elektrona for å oppnå mykje betre oppløysing enn lysmikroskop.
- de Broglie-bølgjer er sannsynsbølgjer, ikkje mekaniske bølgjer.
- de Broglie fekk Nobelprisen i fysikk i 1929 for hypotesen sin.

Oppgaver

Lett3 oppgaver

Medium3 oppgaver

Vanskelig2 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.