7.3 de Broglies hypotese

Hvis lys er partikler, er materie bølger?

I 1924 stilte den franske fysikeren Louis de Broglie et dristig spørsmål i doktoravhandlingen sin. Vi hadde nettopp lært at lys, som tradisjonelt var bølger, også har partikkelegenskaper (fotoner). Kunne det da være at materie — som tradisjonelt var partikler — også har bølgeegenskaper? Denne tanken, de Broglies hypotese, revolusjonerte fysikken og la grunnlaget for hele kvantemekanikken. Den førte til elektronmikroskopet, forklarte hvorfor elektroner sitter i bestemte energinivåer, og endret vår forståelse av hva materie egentlig er. de Broglie fikk Nobelprisen i 1929 — bare fem år etter avhandlingen.

Materiebølger

Vi vet at fotoner har bevegelsesmengde $p = h/\lambda$. de Broglie snudde rett og slett ligningen og foreslo at enhver partikkel med bevegelsesmengde $p$ har en tilhørende bølgelengde:

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$

Dette kalles de Broglie-bølgelengden eller materiebølgelengden, og hypotesen gjelder all materie — elektroner, protoner, atomer, ja i prinsippet baller og mennesker. En viktig presisering: de Broglie-bølgen er ikke en fysisk bølge som vann- eller lydbølger, men en sannsynlighetsbølge som beskriver kvantemekanisk oppførsel.

Når vi akselererer et elektron gjennom en spenning $V$, får det kinetisk energi $\displaystyle E_k = eV = \frac{1}{2}mv^2$, og bevegelsesmengden blir $p = \sqrt{2mE_k} = \sqrt{2meV}$. Da er bølgelengden $\lambda = h/\sqrt{2meV}$. La oss regne: et elektron med fart $v = 1{,}0\times 10^6$ m/s har $\lambda = h/(mv) = 6{,}626\times 10^{-34}/(9{,}109\times 10^{-31}\cdot 10^6) = 7{,}3\times 10^{-10}$ m, altså $0{,}73$ nm. Et elektron akselerert gjennom $100$ V får $\lambda = h/\sqrt{2meV} \approx 0{,}12$ nm — på størrelse med avstanden mellom atomer.

Bekreftelse, hverdagen og elektronmikroskopet

de Broglies hypotese var en dristig forutsigelse som trengte bevis. Det kom allerede i 1927, da Davisson og Germer sendte elektroner mot en nikkelkrystall og fant at de ble reflektert i bestemte vinkler — akkurat som røntgenstråler diffrakteres av krystaller, og nøyaktig i tråd med $\lambda = h/p$. Omtrent samtidig bekreftet G.P. Thomson (sønn av elektronets oppdager) det samme med elektronbøyning gjennom tynne metallfolier. Materie er bølger.

Men hvorfor ser vi aldri bølgeegenskaper i hverdagen? Fordi Plancks konstant er så ekstremt liten. For en fotball ($m = 0{,}43$ kg) med fart $25$ m/s blir $\lambda = h/(mv) \approx 6\times 10^{-35}$ m — utenkelig mye mindre enn noe vi kan måle. For et menneske er den enda mindre. Bare for lette, langsomme partikler som elektroner blir bølgelengden stor nok til å merkes.

Den viktigste praktiske anvendelsen er elektronmikroskopet. Et mikroskops oppløsning begrenses av bølgelengden ($d_{\min} \approx \lambda/2$): jo kortere bølgelengde, jo finere detaljer. Synlig lys har $\lambda \sim 400$–$700$ nm og oppløsning rundt $200$ nm — nok til celler og bakterier. Men elektroner akselerert gjennom høye spenninger har de Broglie-bølgelengder på rundt $0{,}005$–$0{,}1$ nm, tusenvis av ganger kortere, og kan oppløse ned mot $0{,}05$ nm — atomer og molekyler. Et elektron akselerert gjennom $200$ kV har $\lambda \approx 0{,}0027$ nm, langt under synlig lys, og gir derfor forstørrelser opp mot en million ganger.

Oppsummering

de Broglies hypotese (1924) sier at all materie har bølgeegenskaper med bølgelengde $\lambda = h/p = h/(mv)$. For et elektron akselerert gjennom spenning $V$ er $\lambda = h/\sqrt{2meV}$. Hypotesen ble bekreftet av Davisson og Germer (1927) gjennom elektronbøyning. For makroskopiske objekter er bølgelengden umålelig liten — bølgeegenskaper er bare merkbare for lette subatomære partikler. Elektronmikroskopet utnytter elektronenes korte de Broglie-bølgelengde til å oppløse atomer, langt utover lysmikroskopets grense. de Broglie-bølger er sannsynlighetsbølger, ikke mekaniske bølger.