6.5 Generell relativitetsteori - introduksjon

Generell relativitetsteori – introduksjon

I dei føregåande kapitla har vi studert spesiell relativitetsteori, som handlar om fysikk i inertielle referansesystem – system utan akselerasjon. Men kva med gravitasjon og akselerasjon?

I 1915, ti år etter den spesielle relativitetsteorien, fullførte Einstein den generelle relativitetsteorien sin – eit meisterverk som revolusjonerte forståinga vår av gravitasjon. I staden for å tenkje på gravitasjon som ei kraft (slik Newton gjorde), skildrar Einstein gravitasjon som krumming av rom-tid forårsaka av masse og energi.

I dette kapittelet gir vi ein kvalitativ introduksjon til dei viktigaste ideane i generell relativitetsteori.

Frå spesiell til generell relativitetsteori

Spesiell relativitetsteori har ei viktig avgrensing: han gjeld berre i inertielle referansesystem. Men:

- Jorda roterer – vi lever ikkje i eit perfekt inertielt system
- Gravitasjon er allestadnærverande – alle objekt i universet blir påverka av gravitasjon
- For å skildre gravitasjon trong Einstein ein teori som fungerer i alle referansesystem, òg akselererande

Nøkkelinnsikta til Einstein var at det er ein djup samanheng mellom gravitasjon og akselerasjon. Denne innsikta blir kalla ekvivalensprinsippet.

Ekvivalensprinsippet

Tankeeksperiment: Heisen

Føre deg at du står i ein lukka heis utan vindauge. Du slepp ein ball, og han fell mot golvet. Spørsmål: Korleis kan du avgjere om:

Alternativ A: Heisen står stille på jordoverflata (gravitasjon $g$ trekkjer ballen ned)

Alternativ B: Heisen er i det ytre verdsrommet (null gravitasjon), men akselererer oppover med akselerasjon $g$ (golvet beveger seg opp mot ballen)

Svaret er: Du kan ikkje! Ikkje noko eksperiment inne i heisen kan skilje dei to situasjonane. Ballen oppfører seg identisk. Ei vekt ville vise same vekt. Ein pendel ville svinge med same periode.

Den «lukkelegaste tanken» til Einstein

Einstein kalla denne innsikta den «lukkelegaste tanken» sin: Gravitasjon og akselerasjon er lokalt uskiljelege. Han formulerte dette som eit prinsipp:

Fritt fall: lokal oppheving av gravitasjon

Ein viktig konsekvens av ekvivalensprinsippet er at eit fritt fallande referansesystem er eit lokalt inertielt system.

Tenk deg at du er i ein heis der kabelen har rauke – du er i fritt fall. Inne i heisen:
- Du svevar vektlaus
- Ein ball du slepp, svevar ved sida av deg
- Ikkje noko eksperiment kan påvise gravitasjon

Du opplever nøyaktig det same som ein astronaut i vektlaus tilstand i verdsrommet. ISS-astronautane er ikkje «utanfor gravitasjonsfeltet» – dei er i fritt fall rundt Jorda, og ekvivalensprinsippet fortel oss at dette er lokalt det same som null gravitasjon.

Nøkkelordet «lokalt»

Ekvivalensprinsippet gjeld lokalt – i eit lite nok område. Over større avstandar kan gravitasjonsfeltet variere (til dømes er gravitasjonen sterkare nærmare sentrumet til Jorda), og da kan ein skilje gravitasjon frå uniform akselerasjon. Desse variasjonane blir kalla tidevasskrefter.

Gravitasjon som krumming av rom-tid

Den revolusjonerande ideen til Einstein var at gravitasjon ikkje er ei kraft i vanleg forstand, men ein konsekvens av at masse og energi krummar rom-tid.

Frå flat til krum geometri

I fråvær av masse og energi er rom-tid «flat» – den vanlege geometrien vi er vane med. Rette linjer er rette, og Pytagoras' setning gjeld eksakt.

Men når masse er til stades, blir rom-tid krumma. Eit objekt som beveger seg gjennom krum rom-tid følgjer den «rettast moglege» bana – ein geodet. Denne geodeten ser for oss ut som ei kurve – vi tolkar det som gravitasjon.

Gummiduk-analogien

Ein populær analogi er å tenkje seg rom-tid som ein stram gummiduk:
- Utan masse er duken flat
- Legg ei tung kule på duken → ho lagar ei fordjupning (krumming)
- Ei lita kule som rullar forbi, vil bøye av mot den tunge kula → dette liknar gravitasjon

Viktig avgrensing: Analogien er ufullstendig fordi han berre viser romleg krumming i to dimensjonar. Generell relativitetsteori handlar om krumming av firedimensjonal rom-tid (tre romdimensjonar + tid). Tidsaspektet er faktisk viktigare for kvardagsleg gravitasjon enn den romlege krumminga.

Feltlikningane til Einstein

Samanhengen mellom masse/energi og krumminga til rom-tida blir uttrykt av feltlikningane til Einstein:

$$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$

Vi skal ikkje utleie eller bruke denne likninga, men det er verdt å vite om henne:
- Venstre side ($G_{\mu\nu}$) skildrar geometrien til rom-tida (krumming)
- Høgre side ($T_{\mu\nu}$) skildrar fordelinga av masse og energi
- $\Lambda$ er den kosmologiske konstanten (mørk energi)
- Likninga seier: «Masse fortel rom-tid korleis ho skal krumme, og rom-tid fortel masse korleis ho skal bevege seg»

Gravitasjonell tidsforlenging

Ei viktig føreseiing av generell relativitetsteori er at gravitasjon påverkar tidsgangen. Klokker i eit sterkt gravitasjonsfelt tikkar saktare enn klokker i eit svakt felt.

Kvalitativ forklaring

Ekvivalensprinsippet forbind gravitasjon med akselerasjon. I spesiell relativitetsteori veit vi at akselerasjon påverkar tid (gjennom tidsdilatasjon). Dermed må òg gravitasjon påverke tid.

Jo sterkare gravitasjonsfelt (jo djupare i «gravitasjonsbrønnen»), dess langsamare tikkar klokka.

Gravitasjonell raudforskyving

Lys som blir sendt oppover i eit gravitasjonsfelt, mistar energi (det må «klatre» ut av gravitasjonsbrønnen). Sidan energien til fotonet er $E = hf$ (der $h$ er Plancks konstant og $f$ er frekvensen), tyder lågare energi lågare frekvens – altså raudforskyving.

Tilsvarande blir lys som fell nedover i eit gravitasjonsfelt, blåforskove (auka frekvens og energi).

Tilnærma formel

For svake gravitasjonsfelt (som nær jordoverflata) gjeld tilnærma:

$$\frac{\Delta t_{\text{høg}}}{\Delta t_{\text{låg}}} \approx 1 + \frac{g \Delta h}{c^2}$$

der $\Delta h$ er høgdeskilnaden og $g$ er tyngdeakselerasjonen. Ei klokke i høgd $\Delta h$ over ei anna tikkar litt raskare.

GPS-korreksjonar revisited

I kapittel 6.2 såg vi at GPS-satellittar må korrigere for spesiell relativitet (tidsdilatasjon pga. fart). No kan vi leggje til den generell-relativistiske korreksjonen:

Gravitasjonsbøying av lys

Generell relativitetsteori seier føre at lys blir bøygd av gravitasjonsfeltet til massive objekt. Sidan lys følgjer geodetar (dei «rettast moglege» banene) i krum rom-tid, vil lysstrålar bli avbøygde når dei passerer nær ei stor masse.

Føreseiinga til Einstein

Einstein rekna ut at ein lysstråle som passerer like ved overflata til Sola, blir bøygd med ein vinkel:

$$\theta = \frac{4GM}{Rc^2} \approx 1{,}75''$$

der $M$ er massen til Sola og $R$ er radiusen til Sola. Denne vinkelen er ca. dobbelt så stor som den Newtonsk gravitasjon ville gi (ved å handsame lys som partiklar med masse).

Ekspedisjonen til Eddington (1919)

Den britiske astronomen Arthur Eddington organiserte to ekspedisjonar for å observere ei total solformørking den 29. mai 1919 – éin til Sobral i Brasil og éin til Príncipe-øya utanfor vestkysten av Afrika.

Under ei solformørking kan ein sjå stjerner nær kanten av Sola. Viss lyset frå desse stjernene blir bøygd av gravitasjonsfeltet til Sola, vil stjernene sjå ut til å ha forskove posisjon.

Resultatet: Målingane til Eddington viste ei avbøying i god samsvar med føreseiinga til Einstein ($1{,}75''$) og utelukka verdien til Newton ($0{,}87''$).

Dette vart ein internasjonal sensasjon og gjorde Einstein verdsfamøs over natta. Overskrifter verda over proklamerte at Newton var «detronisert».

Gravitasjonslinser

Gravitasjonsbøying av lys har viktige konsekvensar i moderne astronomi. Massive objekt (galaksar, galaksehopar) kan fungere som gravitasjonslinser som bøyer og fokuserer lys frå meir fjerne objekt bak dei.

Typar gravitasjonslinser:

1. Sterke linser: Skaper multiple bilete eller lysande ringar (Einstein-ringar) av fjerne galaksar
2. Svake linser: Subtile forvrengingar i forma til fjerne galaksar – blir brukt til å kartleggje mørk materie
3. Mikrolinser: Kortvarig oppklaring av ei stjerne når eit anna objekt passerer framføre – blir brukt til å finne eksoplanetar

Gravitasjonslinser er eit av dei viktigaste verktøya i moderne kosmologi for å studere strukturen til universet og mengda av mørk materie.

Svarte hol

Ei av dei mest dramatiske føreseiingane av generell relativitetsteori er at svarte hol finst – objekt der gravitasjonen er så sterk at ingenting, ikkje eingong lys, kan unnsleppe.

Schwarzschild-radius

I 1916 fann Karl Schwarzschild ei eksakt løysing av feltlikningane til Einstein for eit sfærisk, ikkje-roterande massivt objekt. Løysinga viser at dersom ein masse $M$ blir komprimert til ein radius mindre enn Schwarzschild-radius $r_s$, blir det danna eit svart hol:

$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$

der $G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2$ er gravitasjonskonstanten.

Døme på Schwarzschild-radius:

Observasjonelle bevis for svarte hol

Svarte hol kan ikkje observerast direkte (dei sender ikkje ut lys), men vi kan observere verknadene deira:

1. Akkresjonsskiver: Materie som fell mot eit svart hol, dannar ei glødande skive som sender ut røntgenstråling
2. Stellare rørsler: Stjerner nær sentrumet til Mjølkevegen kretsar rundt eit usynleg, svært massivt objekt (Nobelprisen 2020 til Penrose, Genzel og Ghez)
3. Gravitasjonsbølgjer: Samansmelting av svarte hol sender ut gravitasjonsbølgjer (oppdaga av LIGO i 2015)
4. Event Horizon Telescope (EHT): I 2019 tok EHT det første «biletet» av eit svart hol – skuggen av det supermassive svarte holet i galaksen M87

Typar svarte hol

Gravitasjonsbølgjer

Generell relativitetsteori seier føre at akselererande massar skaper bølgjer i rom-tid – gravitasjonsbølgjer. Desse er analoge med elektromagnetiske bølgjer frå akselererande ladningar.

Kva er gravitasjonsbølgjer?

Gravitasjonsbølgjer er krusningar i rom-tid som forplantar seg med farten til lyset. Når ei gravitasjonsbølgje passerer, blir rommet strekt og komprimert vekselvis i to vinkelrette retningar.

LIGO-oppdaginga (2015)

Den 14. september 2015 detekterte LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) for første gong gravitasjonsbølgjer direkte. Signalet, kalla GW150914, kom frå samansmelting av to svarte hol med massar på ca. $36$ og $29$ solmassar, ca. 1,3 milliardar lysår unna.

Deteksjonsmetoden:
LIGO brukar laserinterferometri med «armar» på 4 km. Ei gravitasjonsbølgje endrar armlengda med ca. $10^{-18}$ m – ein tusendel av ein protondiameter! Denne ekstremt vesle endringa kan målast ved å samanlikne interferensmønsteret til laserlyset.

Nobelprisen 2017

Rainer Weiss, Barry Barish og Kip Thorne mottok Nobelprisen i fysikk 2017 for oppdaginga av gravitasjonsbølgjer. Sidan 2015 er det detektert hundrevis av gravitasjonsbølgjesignal frå samanslåingar av svarte hol og nøytronstjerner.

Kva gravitasjonsbølgjene har å seie

Gravitasjonsbølgjer har opna eit heilt nytt «vindauge» til universet. Medan tradisjonell astronomi brukar elektromagnetisk stråling (lys, radio, røntgen), gir gravitasjonsbølgjer informasjon om fenomen som er usynlege for tradisjonelle instrument – spesielt samansmelting av kompakte objekt.

Testar av generell relativitetsteori

Generell relativitetsteori har bestått alle eksperimentelle testar med glans:

Klassiske testar

1. Periheldreiinga til Merkur: Bana til Merkur roterer litt for kvar omgang. Newton kan forklare det meste, men det står att $43''$ per hundreår som berre generell relativitetsteori forklarer.

2. Lysbøying ved Sola: Stadfesta av Eddington (1919) og seinare med mykje høgare presisjon ved radiointerferometri.

3. Gravitasjonell raudforskyving: Stadfesta av Pound-Rebka-eksperimentet (1959) ved Harvard, der gammastråling sendt oppover i eit tårn vart raudforskove i samsvar med teorien.

Moderne testar

4. Shapiro-forseinkinga: Radarstrålar som passerer nær Sola, blir forseinka pga. krumminga til rom-tida. Stadfesta med høg nøyaktigheit.

5. Gravitasjonell tidsforlenging: Stadfesta med atomklokker i fly (Hafele-Keating, 1971) og med GPS-systemet (dagleg bruk).

6. Gravitasjonsbølgjer: Direkte deteksjon av LIGO (2015).

7. Svart hol-bilete: Event Horizon Telescope (2019).

8. Frame-dragging: Gravity Probe B-satellitten (2011) målte korleis rotasjonen til Jorda «dreg med seg» rom-tid.

Ingen avvik frå generell relativitetsteori er nokon gong påvist.

Oppsummering

- Ekvivalensprinsippet: Gravitasjon og akselerasjon er lokalt uskiljelege. Fritt fall er lokalt ekvivalent med null gravitasjon.
- Krumming av rom-tid: Masse og energi krummar rom-tid. Objekt følgjer geodetar (rettast moglege baner) i den krumme rom-tida.
- Gravitasjonell tidsforlenging: Klokker i sterke gravitasjonsfelt tikkar saktare. Effekten er ca. $g\Delta h/c^2$ per meter høgdeskilnad.
- Gravitasjonsbøying av lys: Lys blir bøygd av gravitasjonsfelt. Stadfesta av Eddington (1919).
- Svarte hol: Objekt med $r < r_s = 2GM/c^2$ der ingenting kan unnsleppe. Stadfesta observasjonelt.
- Gravitasjonsbølgjer: Krusningar i rom-tid frå akselererande massar. Direkte detektert av LIGO (2015).
- Generell relativitetsteori har bestått alle eksperimentelle testar, men er ikkje foreinleg med kvantemekanikk.