6.4 Relativistisk energi og masse

Relativistisk energi og masse

Den kanskje mest kjende likninga i all vitskap er $E = mc^2$ til Einstein. I dette kapittelet skal vi forstå kva denne likninga eigentleg tyder, og utforske dei djupe konsekvensane av at masse og energi er ekvivalente storleikar.

Vi skal sjå at den klassiske skildringa av rørslemengd og kinetisk energi må modifiserast ved høge farter, og at dette leier til forbløffande innsikter om naturen.

Relativistisk rørslemengd

I klassisk mekanikk er rørslemengda (impulsen) til eit objekt med masse $m$ og fart $v$:

$$p_{\text{klassisk}} = mv$$

Denne definisjonen sikrar at rørslemengda er bevart i kollisjonar. Men ved høge farter viser det seg at den klassiske formelen ikkje gir bevart rørslemengd. Vi treng ein modifikasjon.

Problemet med klassisk rørslemengd

Tenk deg ein perfekt elastisk kollisjon mellom to identiske partiklar, analysert i to ulike referansesystem. Viss vi brukar den klassiske definisjonen $p = mv$ saman med den relativistiske fartstransformasjonen, finn vi at rørslemengda ikkje er bevart i det andre referansesystemet. Dette bryt med det første postulatet – naturlovene skal vere dei same i alle inertielle system.

Løysinga

Einstein viste at rørslemengda er bevart i alle referansesystem dersom vi definerer:

$$\vec{p} = \gamma m \vec{v} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

Her er $m$ den invariante massen (òg kalla kvilemassen) – massen målt i det eigne referansesystemet til objektet.

Eigenskapar ved relativistisk rørslemengd

1. Lågfarts-grensa: For $v \ll c$ er $\gamma \approx 1$, og $p \approx mv$ (klassisk resultat)
2. Høg fart: Når $v \to c$, veks $\gamma \to \infty$ og dermed $p \to \infty$
3. Uendeleg rørslemengd ved $c$: For å akselerere eit massivt objekt til farten til lyset trengst uendeleg rørslemengd – og dermed uendeleg energi. Det er difor ingen massiv partikkel kan nå farten til lyset.

Historisk merknad: «Relativistisk masse»

I eldre lærebøker møter ein omgrepet «relativistisk masse» $m_{\text{rel}} = \gamma m$, slik at $p = m_{\text{rel}}v$. Denne tolkinga blir sjeldan brukt i dag. Moderne fysikk føretrekkjer å bruke invariant masse $m$ (uavhengig av fart) og leggje all fartsavhengigheit i Lorentzfaktoren.

Relativistisk energi

Einstein utleidde at den totale energien til ein fri partikkel med masse $m$ og fart $v$ er:

$$E = \gamma mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

Denne formelen har to merkverdige konsekvensar:

1. Kvileenergi

Når objektet er i ro ($v = 0$, $\gamma = 1$), har det framleis energi:

$$E_0 = mc^2$$

Dette er kvileenergien – den energien som er «lagra» i sjølve massen. Ein masse $m$ er ekvivalent med ein energi $mc^2$. Dette er den kjende formelen som viser at masse er ei form for energi.

Relativistisk kinetisk energi

Den kinetiske energien er skilnaden mellom total energi og kvileenergi:

$$E_k = E - E_0 = \gamma mc^2 - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$$

Kontroll: Klassisk grense

For $v \ll c$ kan vi bruke tilnærminga:

$$\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$$

Da blir:

$$E_k = (\gamma - 1)mc^2 \approx \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \cdot mc^2 = \frac{1}{2}mv^2$$

Vi gjenfinn den klassiske kinetiske energien! Den relativistiske formelen inneheld den klassiske som eit spesialtilfelle.

Energi-rørslemengd-relasjonen

Det finst ein viktig relasjon mellom energi, rørslemengd og masse som er uavhengig av fart:

$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$

Denne kan utleiast frå definisjonane $E = \gamma mc^2$ og $p = \gamma mv$:

$$E^2 - (pc)^2 = (\gamma mc^2)^2 - (\gamma mvc)^2 = \gamma^2 m^2 c^4 (1 - v^2/c^2)$$

Sidan $\gamma^2 (1 - v^2/c^2) = 1$:

$$E^2 - (pc)^2 = m^2c^4 = (mc^2)^2$$

Spesialtilfelle: Masselause partiklar

For partiklar utan masse ($m = 0$), som foton, blir relasjonen forenkla til:

$$E = pc$$

Foton har energi og rørslemengd, men inga masse. Energien deira er utelukkande knytt til rørslemengda.

Kvifor kan ingen massiv partikkel nå farten til lyset?

Lat oss sjå på dette frå energiperspektivet. For å akselerere eit objekt med masse $m$ til fart $v$ trengst kinetisk energi:

$$E_k = (\gamma - 1)mc^2$$

Når $v \to c$:
- $\gamma \to \infty$
- $E_k \to \infty$

Det krevst uendeleg energi for å akselerere eit massivt objekt til farten til lyset. Sidan uendeleg energi ikkje er tilgjengeleg, kan ingen massiv partikkel nå $c$.

Kva med partiklar i akseleratorar?

I partikkelakseleratorar som LHC blir proton akselererte til $v = 0{,}999\,999\,991c$ ($\gamma \approx 7461$). Kvart proton har da ein energi på ca. 7 TeV (teraelektronvolt). For å auke farten ytterlegare mot $c$ ville det krevjast stadig meir energi, utan nokon gong å nå $c$.

Masselause partiklar

Foton (lyspartiklar) beveger seg alltid med fart $c$. Dei har inga masse og kan ikkje bevege seg med nokon annan fart. Dei startar med $v = c$ frå det augneblinken dei oppstår.

Oppsummert:
- Massive partiklar: Alltid $v < c$, kan akselererast mot men aldri til $c$
- Masselause partiklar: Alltid $v = c$, kan ikkje bremsast eller akselererast

Masse-energi-ekvivalens i kjernereaksjonar

Den mest dramatiske demonstrasjonen av $E = mc^2$ finn vi i kjernereaksjonar, der ei målbar mengd masse blir omdanna til energi.

Massedefekt

Når atomkjernar blir danna frå proton og nøytron, er kjernen lettare enn summen av enkeltpartiklane. Denne masseskilnaden blir kalla massedefekten $\Delta m$, og den tilsvarande energien er bindingsenergien:

$$E_{\text{binding}} = \Delta m \cdot c^2$$

Fisjon (kjernespalting)

I kjernefysisk fisjon blir ein tung kjerne (som uran-235) spalta i to lettare kjernar. Dei lettare kjernane har samla sett litt mindre masse enn den opphavlege kjernen. Masseskilnaden blir frigjord som energi.

Døme: Fisjon av $^{235}$U:

$$^{235}_{92}\text{U} + n \to ^{141}_{56}\text{Ba} + ^{92}_{36}\text{Kr} + 3n + \text{energi}$$

Massedefekten er ca. $\Delta m \approx 3{,}2 \times 10^{-28} \text{ kg}$, som gir:

$$E = \Delta m \cdot c^2 = 3{,}2 \times 10^{-28} \times (3{,}0 \times 10^8)^2 \approx 2{,}9 \times 10^{-11} \text{ J} \approx 180 \text{ MeV}$$

Fusjon (kjernesamanslåing)

I kjernefusjon smeltar lette kjernar (som hydrogen) saman til tyngre kjernar (som helium). Igjen er produktet lettare enn reaktantane.

Døme: Fusjon av deuterium og tritium:

$$^{2}_{1}\text{H} + ^{3}_{1}\text{H} \to ^{4}_{2}\text{He} + n + 17{,}6 \text{ MeV}$$

Dette er prosessen som driv Sola. Kvart sekund omdannar Sola ca. 600 millionar tonn hydrogen til helium, og ca. 4,3 millionar tonn masse blir omdanna til energi – noko som svarar til ein luminositet på $3{,}8 \times 10^{26}$ W.

Oppsummering

- Relativistisk rørslemengd: $p = \gamma mv$ – veks mot uendeleg når $v \to c$
- Total energi: $E = \gamma mc^2$ – inkluderer kvileenergi og kinetisk energi
- Kvileenergi: $E_0 = mc^2$ – masse er ei form for energi
- Kinetisk energi: $E_k = (\gamma - 1)mc^2$ – gir $\displaystyle \frac{1}{2}mv^2$ for $v \ll c$
- Energi-rørslemengd-relasjonen: $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$
- Masselause partiklar: $E = pc$ (foton har energi og rørslemengd, men inga masse)
- Fartsavgrensing: Ingen massiv partikkel kan nå $c$ – det ville krevje uendeleg energi
- Kjernereaksjonar: Massedefekten blir frigjord som energi ($E = \Delta m \cdot c^2$)