6.2 Tidsdilatasjon

Tidsdilatasjon

I førre kapittel lærte vi at postulata til Einstein fører til at samtidigheit er relativ. No skal vi sjå at postulata har ein endå meir oppsiktsvekkjande konsekvens: tida går med ulik fart for observatørar i relativ rørsle.

Denne effekten blir kalla tidsdilatasjon (tidsutviding) og er ei av dei mest velstadfesta føreseiingane i heile fysikken. Han er ikkje ein illusjon eller ein målefeil – klokker som beveger seg, tikkar faktisk langsamare.

Lysklokka – eit tankeeksperiment

For å utleie tidsdilatasjonen tenkjer vi oss ei enkel klokke som brukar lys: ei lysklokke.

Konstruksjon

Lysklokka består av to parallelle speglar med avstand $d$ mellom dei. Eit lysglimt sprett fram og tilbake mellom speglane. Kvar gong lyset treffer den eine spegelen, blir det registrert eit «tikk».

Klokka i ro

For ein observatør som er i ro i høve til klokka, reiser lyset rett opp og ned. Tida for eitt tikk er:

$$\Delta\tau = \frac{2d}{c}$$

Her brukar vi symbolet $\Delta\tau$ (gresk tau) for eigentid – tida målt av ein observatør som er i ro i høve til klokka.

Klokka i rørsle

No tenkjer vi oss at lysklokka beveger seg horisontalt med fart $v$ i høve til ein annan observatør. For denne observatøren beveger speglane seg sidelengs medan lyset sprett.

Lyset kan ikkje berre gå rett opp og ned – det må òg bevege seg sidelengs for å følgje med den bevegelege spegelen. Bana lyset følgjer er diagonal (som ei V-form). Denne diagonale bana er lengre enn den vertikale bana.

Men ifølgje det andre postulatet til Einstein beveger lyset seg med fart $c$ for begge observatørane! Sidan bana er lengre og farten er den same, må tida vere lengre.

Utleiing av tidsdilatasjonsformelen

Lat oss utleie formelen matematisk.

Halvt tikk sett utanfrå

I løpet av eit halvt tikk (lyset reiser éin veg mellom speglane) har klokka bevegd seg ein avstand $\displaystyle v \cdot \frac{\Delta t}{2}$ horisontalt.

Lyset har reist langs hypotenusen i ein rettvinkla trekant med:
- Vertikal katet: $d$ (avstanden mellom speglane)
- Horisontal katet: $\displaystyle v \cdot \frac{\Delta t}{2}$
- Hypotenus: $\displaystyle c \cdot \frac{\Delta t}{2}$ (lyset reiser med fart $c$)

Pytagoras' setning

$$\left(c \cdot \frac{\Delta t}{2}\right)^2 = d^2 + \left(v \cdot \frac{\Delta t}{2}\right)^2$$

Vi løyser for $\Delta t$:

$$c^2 \cdot \frac{\Delta t^2}{4} - v^2 \cdot \frac{\Delta t^2}{4} = d^2$$

$$\frac{\Delta t^2}{4}(c^2 - v^2) = d^2$$

$$\Delta t^2 = \frac{4d^2}{c^2 - v^2} = \frac{4d^2}{c^2(1 - v^2/c^2)}$$

$$\Delta t = \frac{2d}{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

Vi kjenner igjen at $\displaystyle \frac{2d}{c} = \Delta\tau$ (eigentida), så:

$$\boxed{\Delta t = \frac{\Delta\tau}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma \, \Delta\tau}$$

Verdiar av Lorentzfaktoren

Myoneksperimentet – bevis for tidsdilatasjon

Eit av dei mest overtydande eksperimentelle bevisa for tidsdilatasjon kjem frå kosmisk stråling og myon.

Kva er myon?

Myon er subatomære partiklar som liknar elektron, men som er ca. 207 gonger tyngre. Dei oppstår når kosmisk stråling kolliderer med atom i den øvre atmosfæren, typisk i 10–15 km høgd.

Levetida til myona

Myon er ustabile og forfell med ei gjennomsnittleg levetid på:

$$\tau = 2{,}2 \, \mu\text{s} = 2{,}2 \times 10^{-6} \text{ s}$$

Det klassiske problemet

Sjølv om myona beveger seg nær farten til lyset ($v \approx 0{,}998c$), kan vi rekne ut kor langt dei burde rekkje å reise i levetida si:

$$d = v \cdot \tau = 0{,}998 \times 3{,}00 \times 10^8 \times 2{,}2 \times 10^{-6} \approx 660 \text{ m}$$

Myona blir danna i 10–15 km høgd, men kan berre reise ca. 660 m. Dei burde aldri nå jordoverflata!

Observasjonen

Likevel detekterer vi store mengder myon ved havnivå. Omtrent 10 000 myon treffer kvar kvadratmeter av jordoverflata kvart minutt. Korleis er dette mogleg?

Relativistisk forklaring

Svaret er tidsdilatasjon. Den indre klokka til myonet (eigentid) tikkar langsamare sett frå jordoverflata.

Med $v = 0{,}998c$ blir Lorentzfaktoren:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}998)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}996}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}004}} \approx 15{,}8$$

Den observerte levetida frå referansesystemet til Jorda er:

$$\Delta t = \gamma \cdot \tau = 15{,}8 \times 2{,}2 \times 10^{-6} = 34{,}8 \times 10^{-6} \text{ s} \approx 35 \, \mu\text{s}$$

Avstanden myonet kan leggje bak seg blir da:

$$d = v \cdot \Delta t = 0{,}998 \times 3{,}00 \times 10^8 \times 34{,}8 \times 10^{-6} \approx 10\,400 \text{ m} \approx 10{,}4 \text{ km}$$

Dette er meir enn nok til å nå jordoverflata frå 10–15 km høgd!

Myoneksperimentet er eit direkte, målbart bevis på at tidsdilatasjon er reell.

GPS og relativistiske korreksjonar

Eit fascinerande kvardagsdøme på tidsdilatasjon er det globale posisjoneringssystemet (GPS).

Korleis GPS fungerer

GPS-systemet består av minst 24 satellittar som kretsar rundt Jorda i ca. 20 200 km høgd med ein fart på ca. $v = 3{,}87 \text{ km/s}$. Kvar satellitt har presise atomklokker. Posisjonen din blir rekna ut ved å samanlikne tidssignal frå fleire satellittar.

Relativistisk tidskorreksjon

GPS-klokkene blir påverka av to relativistiske effektar:

1. Spesiell relativitet (tidsdilatasjon):
Satellittane beveger seg i høve til bakken, så klokkene tikkar saktare:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (3{,}87 \times 10^3 / 3 \times 10^8)^2}} \approx 1 + 8{,}3 \times 10^{-11}$$

Dette gir at satellittklokkene går ca. $7 \, \mu\text{s}$ for sakte per dag.

2. Generell relativitet (gravitasjonell tidseffekt):
Satellittane er lenger frå Jorda og opplever svakare gravitasjon, noko som gjer at klokkene tikkar raskare:
Ca. $45 \, \mu\text{s}$ for raskt per dag.

Netto effekt: Satellittklokkene tikkar ca. $38 \, \mu\text{s}$ for raskt per dag.

Konsekvens utan korreksjon

Utan relativistiske korreksjonar ville posisjonsfeilen vekse med ca. 10 km per dag! GPS-systemet er eit dagleg bevis på at relativitetsteorien til Einstein er korrekt.

Tvillingparadokset

Eit av dei mest diskuterte tankeeksperimenta i relativitetsteorien er tvillingparadokset.

Scenariet

Tvillingane Anna og Bjørn er 30 år gamle. Anna reiser ut i verdsrommet med $v = 0{,}80c$ til ei stjerne som er 8 lysår unna, snur, og reiser tilbake med same fart.

Perspektivet til Bjørn (Jorda):
Lorentzfaktoren: $\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1}{0{,}60} \approx 1{,}667$

Reisetid (klokka til Jorda): $\displaystyle \Delta t = \frac{2 \times 8}{0{,}80} = 20$ år

Aldringa til Anna: $\Delta\tau = \Delta t / \gamma = 20 / 1{,}667 = 12$ år

Når Anna kjem tilbake, er Bjørn $30 + 20 = 50$ år, medan Anna er $30 + 12 = 42$ år. Anna er 8 år yngre enn tvillingbroren sin!

Paradokset

Her er det tilsynelatande paradokset: Kunne ikkje Anna seie at det er Bjørn som beveger seg bort frå henne? I så fall burde Bjørn eldast saktare. Kven har eigentleg rett?

Oppløysinga

Paradokset oppstår fordi situasjonen ikkje er symmetrisk. Anna akselererer og deselererer – ho snur! Dette tyder at Anna ikkje er i eit inertielt referansesystem gjennom heile reisa. Ho opplever krefter (akselerasjon) når ho snur.

Bjørn, derimot, held fram med å vere i (tilnærma) same inertielle referansesystem heile tida. Difor er det analysen til Bjørn som er konsistent med spesiell relativitetsteori: Anna eldast saktare.

Tvillingparadokset er stadfesta eksperimentelt med atomklokker i fly (Hafele-Keating-eksperimentet, 1971).

Oppsummering

- Eigentid ($\Delta\tau$): Tida målt i det referansesystemet der hendingane skjer på same stad. Eigentida er den kortaste moglege tida.
- Lorentzfaktoren: $\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1$
- Tidsdilatasjon: $\Delta t = \gamma \cdot \Delta\tau$ – bevegelege klokker tikkar saktare
- Myoneksperimentet: Kosmiske myon overlever reisa gjennom atmosfæren takka vere tidsdilatasjon
- GPS: Relativistiske korreksjonar er nødvendige for nøyaktig posisjonering
- Tvillingparadokset: Tvillingen som reiser (akselererer) eldast saktare – situasjonen er ikkje symmetrisk