2.2 Gravitasjonsfelt

Gravitasjonsfelt - ei ny tilnærming

I førre kapittel lærte vi Newtons gravitasjonslov, som skildrar krafta mellom to massar. Men det finst ein annan, ofte meir nyttig måte å tenkje på gravitasjon: som eit felt.

Feltomgrepet:
I staden for å fokusere på krafta mellom to konkrete massar, kan vi skildre rommet rundt ein masse. Ein masse skaper eit gravitasjonsfelt i rommet rundt seg. Når ein annan masse kjem inn i dette feltet, kjenner han ei kraft.

Kvifor felt?
- Feltskildringa gjer det lettare å analysere rørsle i gravitasjonsfelt
- Vi kan definere potensial som skildrar energien til objekt i feltet
- Feltlinjer gjev ei visuell forståing av gravitasjonen
- Feltskildringa er grunnlaget for Einsteins generelle relativitetsteori

I dette kapittelet lærer du:
- Kva gravitasjonsfeltstyrke er og korleis han blir rekna ut
- Korleis feltlinjer visualiserer gravitasjonsfeltet
- Omgrepet gravitasjonspotensial og samanhengen med feltet
- Kva ekvipotensialflater er
- Korleis utleie og bruke unnsleppingsfart

Gravitasjonsfeltomgrepet

Ideen bak feltomgrepet:

Tenk deg at du slepper ein ball over jordoverflata. Ballen akselererer nedover fordi han kjenner gravitasjonen til jorda. Men vi kan òg seie at jorda har skapt eit gravitasjonsfelt i rommet rundt seg, og ballen responderer på dette feltet.

Feltet finst uavhengig av prøvemassen:
- Sjølv utan ballen finst gravitasjonsfeltet
- Feltet er ein eigenskap ved rommet rundt massen
- Vi kan måle feltet ved å plassere ein liten prøvemasse og måle akselerasjonen

Gravitasjonsfeltet til ein punktmasse:

Ein masse $M$ skaper eit gravitasjonsfelt som strekkjer seg ut i alle retningar. Feltet er sterkast nær massen og avtek med avstanden.

Kjenneteikn ved gravitasjonsfeltet:
1. Det er eit vektorfelt - kvart punkt i rommet har ein vektor assosiert med seg
2. Vektorane peikar alltid mot massen som skaper feltet
3. Styrken til feltet avtek med kvadratet av avstanden
4. Feltet er konservativt - arbeidet rundt ei lukka bane er null

Feltstyrke og tyngdeakselerasjon

Gravitasjonsfeltstyrken $\vec{g}$ har ei viktig fysisk tolking: han er lik akselerasjonen ein gjenstand får i feltet.

Utleiing:

Frå Newtons 2. lov:
$$\vec{F} = m\vec{a}$$

Gravitasjonskrafta på eit objekt med masse $m$:
$$\vec{F} = m\vec{g}$$

Set vi desse like:
$$m\vec{a} = m\vec{g}$$
$$\vec{a} = \vec{g}$$

Viktig innsikt:
Akselerasjonen i eit gravitasjonsfelt er uavhengig av massen til objektet som fell. Dette er grunnen til at alle gjenstandar fell like fort (når vi ser bort frå luftmotstand).

Døme: Ved jordoverflata
$$g = G\frac{M_J}{R_J^2} = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^6)^2} \approx 9.81 \text{ m/s}^2$$

Dette er den kjende tyngdeakselerasjonen ved jordoverflata!

Feltlinjer - visualisering av gravitasjonsfeltet

Feltlinjer er kurver som visualiserer gravitasjonsfeltet. Dei blir teikna slik at:
1. Tangenten til ei feltlinje i kvart punkt gjev retninga til feltet
2. Tettleiken av feltlinjer indikerer styrken til feltet

Eigenskapar ved gravitasjonsfeltlinjer:

- Feltlinjene peikar inn mot massen som skaper feltet
- Dei går ut frå uendeleg og endar på massen
- Feltlinjene kryssar aldri kvarandre
- Tettare feltlinjer = sterkare felt

For ein enkelt punktmasse:
- Feltlinjene er rette linjer som peikar radialt innover
- Dei er symmetrisk fordelte rundt massen
- Linjetettleiken avtek med $1/r^2$

For to massar:
- Feltlinjene frå kvar masse blir kombinerte
- I område mellom massane kan feltlinjene bøyast
- Ved spesielle punkt (Lagrangepunkt) kan feltet vere null

Praktisk bruk:
Feltlinjer hjelper oss å:
- Visualisere kvar gravitasjonen er sterk/svak
- Forstå rørsleretninga til objekt i fritt fall
- Identifisere likevektspunkt

Gravitasjonspotensial

Medan gravitasjonsfeltstyrken er ein vektor, er gravitasjonspotensialet ein skalar storleik. Potensialet gjev oss informasjon om energien i gravitasjonsfeltet.

Motivasjon:
I eit gravitasjonsfelt har objekt potensiell energi. Men i staden for å snakke om den potensielle energien til eit spesifikt objekt, kan vi definere potensialet som den potensielle energien per masseeining.

Definisjon av gravitasjonspotensial:

Gravitasjonspotensialet $V$ ved eit punkt er den potensielle energien per masseeining for eit objekt i det punktet:

$$V = \frac{E_p}{m}$$

For ein punktmasse M:

$$V = -G\frac{M}{r}$$

Viktige poeng:
1. Potensialet er negativt (referansepunkt ved uendeleg, der $V = 0$)
2. Potensialet aukar (blir mindre negativt) når vi rører oss bort frå massen
3. Ved overflata av ein himmellekam er potensialet mest negativt
4. Ved uendeleg avstand er $V = 0$

Samanhengen mellom felt og potensial

Gravitasjonsfeltstyrken og potensialet er nært i slekt. Feltet kan utleiast frå potensialet.

Matematisk samanheng:

I éin dimensjon (radiell retning):
$$g = -\frac{dV}{dr}$$

I tre dimensjonar:
$$\vec{g} = -\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{k}\right)$$

Verifisering for punktmasse:

$$V = -G\frac{M}{r}$$

$$g = -\frac{dV}{dr} = -\frac{d}{dr}\left(-G\frac{M}{r}\right) = -G\frac{M}{r^2} \cdot (-1) \cdot (-1) = -G\frac{M}{r^2}$$

Dette stemmer med definisjonen av feltstyrken!

Fysisk tolking:
- Feltet peikar i retninga der potensialet avtek raskast
- Der potensialet endrar seg raskt (bratt potensiallandskap), er feltet sterkt
- Der potensialet er konstant, er feltet null

Ekvipotensialflater

Definisjon:
Ei ekvipotensialflate er ei flate der gravitasjonspotensialet har same verdi overalt.

For ein punktmasse:
Ekvipotensialflatene er konsentriske kuler rundt massen. Alle punkt på same avstand $r$ har same potensial.

Eigenskapar:
1. Feltlinjer står vinkelrett på ekvipotensialflater
2. Ikkje noko arbeid blir utført når ein rører seg langs ei ekvipotensialflate
3. Tettare ekvipotensialflater = sterkare felt

Arbeid og potensial:
Arbeidet som blir utført når ein masse $m$ blir flytta frå punkt A til punkt B er:
$$W = -\Delta E_p = -m(V_B - V_A) = m(V_A - V_B)$$

Langs ei ekvipotensialflate er $V_A = V_B$, så $W = 0$.

Praktisk tyding:
- Ein satellitt i sirkulær bane rører seg langs ei ekvipotensialflate
- Havoverflata er tilnærma ei ekvipotensialflate (geoiden)
- Når vi løftar noko, flyttar vi det til ei høgare ekvipotensialflate

Unnsleppingsfart

Spørsmålet:
Kor fort må eit objekt skytast opp frå ein planet for at det skal unnsleppe gravitasjonen til planeten og aldri falle tilbake?

Energibetraktning:
Eit objekt som blir skote opp med fart $v$ har:
- Kinetisk energi: $\displaystyle E_k = \frac{1}{2}mv^2$
- Potensiell energi: $\displaystyle E_p = -G\frac{Mm}{r}$

Total mekanisk energi:
$$E_{tot} = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r}$$

Unnsleppingsvilkåret:
For at objektet akkurat skal unnsleppe (nå uendeleg med null fart), må:
- $E_{tot} \geq 0$

Ved $r \to \infty$: $E_k = 0$ og $E_p = 0$, så $E_{tot} = 0$.

For akkurat unnslepping ($E_{tot} = 0$):
$$\frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{R} = 0$$

der $R$ er startradius (radiusen til planeten viss vi startar frå overflata).

Utleiing av unnsleppingsfarten

Utgangspunkt:
Eit objekt med masse $m$ blir skote opp frå overflata (radius $R$) av ein himmellekam med masse $M$.

Energibevaring:
Total mekanisk energi er bevart:
$$E_{start} = E_{slutt}$$

Ved start (overflata):
$$E_{start} = \frac{1}{2}mv_{esc}^2 - G\frac{Mm}{R}$$

Ved slutt (uendeleg, akkurat unnsloppe):
$$E_{slutt} = 0 + 0 = 0$$

Set energiane like:
$$\frac{1}{2}mv_{esc}^2 - G\frac{Mm}{R} = 0$$

Løyser for $v_{esc}$:
$$\frac{1}{2}mv_{esc}^2 = G\frac{Mm}{R}$$

$$v_{esc}^2 = \frac{2GM}{R}$$

$$\boxed{v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}}$$

Viktige observasjonar:
1. Unnsleppingsfarten er uavhengig av massen $m$ til objektet
2. Han avheng berre av massen $M$ og radiusen $R$ til himmellekamen
3. Han er $\sqrt{2}$ gonger større enn banefarten i sirkulær bane ved same radius

Bunden og ubunden rørsle

Total mekanisk energi avgjer om eit objekt er bunde til ein himmellekam eller kan unnsleppe.

Total energi:
$$E_{tot} = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r}$$

Tre tilfelle:

1. $E_{tot} < 0$: Bunden rørsle
- Objektet kan ikkje unnsleppe
- Moglege baner: ellipsar (medrekna sirklar)
- Døme: Planetar rundt sola, satellittar rundt jorda

2. $E_{tot} = 0$: Grensetilfelle
- Objektet har akkurat nok energi til å unnsleppe
- Farten går mot null når $r \to \infty$
- Baneform: parabel

3. $E_{tot} > 0$: Ubunden rørsle
- Objektet unnslepp og har overskotsfart
- Farten held seg positiv når $r \to \infty$
- Baneform: hyperbel
- Døme: Interstellare objekt som passerer solsystemet

Banetype og energi:

Oppsummering

Gravitasjonsfelt:
- Ein masse skaper eit felt i rommet rundt seg
- Feltstyrke: $\displaystyle \vec{g} = -G\frac{M}{r^2}\hat{r}$ (vektor mot massen)
- Storleiken er lik tyngdeakselerasjonen
- Feltlinjer peikar mot massen og visualiserer feltet

Gravitasjonspotensial:
- Potensiell energi per masseeining
- $\displaystyle V = -G\frac{M}{r}$ (alltid negativt med referanse ved uendeleg)
- Samanheng med felt: $\vec{g} = -\nabla V$ eller $\displaystyle g = -\frac{dV}{dr}$

Ekvipotensialflater:
- Flater med konstant potensial
- Feltlinjer står vinkelrett på ekvipotensialflater
- Arbeid = 0 langs ekvipotensialflate

Unnsleppingsfart:
$$v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$$

- Uavhengig av massen til objektet
- For jorda: 11.2 km/s

Bunden og ubunden rørsle:
- $E_{tot} < 0$: Bunden (ellipse/sirkel)
- $E_{tot} = 0$: Grense (parabel)
- $E_{tot} > 0$: Ubunden (hyperbel)

Neste kapittel:
Vi skal sjå på sirkulære baner og Keplers lover for planetrørsle.