2.2 Gravitasjonsfelt

En ny måte å tenke på gravitasjon

Newtons lov forteller oss om kraften mellom to konkrete masser. Men fysikere fant en mer fleksibel måte å tenke på: i stedet for å fokusere på paret av masser, beskriver vi rommet rundt én masse. En masse skaper et gravitasjonsfelt i rommet rundt seg, og når en annen masse kommer inn i feltet, kjenner den en kraft. Feltet finnes der selv om ingen prøvemasse er til stede — det er en egenskap ved selve rommet. Denne feltbeskrivelsen gjør det lettere å analysere bevegelse, lar oss innføre begrepet potensial for å beskrive energien, og er faktisk grunnlaget for Einsteins generelle relativitetsteori. I dette kapittelet skal vi møte feltstyrke, potensial, ekvipotensialflater, unnslipningshastighet og forskjellen på bundet og ubundet bevegelse.

Gravitasjonsfeltstyrke

Gravitasjonsfeltstyrken $\vec{g}$ i et punkt er definert som kraften per masseenhet på en liten prøvemasse plassert der: $\vec{g} = \vec{F}/m$. For en punktmasse $M$ i avstand $r$ blir den

$$\vec{g} = -G\frac{M}{r^2}\hat{r}$$

Minustegnet og $\hat{r}$ forteller at feltet peker inn mot massen. Enheten er m/s² eller N/kg. Det vakre er at feltstyrken er nøyaktig lik akselerasjonen en gjenstand får i feltet. For fra Newtons andre lov er $\vec{F} = m\vec{a}$, og gravitasjonskraften er $\vec{F} = m\vec{g}$, så $m\vec{a} = m\vec{g}$ gir $\vec{a} = \vec{g}$ — uavhengig av prøvemassen. Det er nettopp derfor alle gjenstander faller like fort. Ved jordoverflaten gir dette $g = GM_J/R_J^2 \approx 9{,}81$ m/s².

Vi visualiserer feltet med feltlinjer: tangenten gir retningen, og tettheten gir styrken. For gravitasjon peker linjene alltid inn mot massen, de krysser aldri hverandre, og for en punktmasse er de rette radielle linjer med tetthet som avtar som $1/r^2$.

Gravitasjonspotensial og ekvipotensialflater

Mens feltstyrken er en vektor, er gravitasjonspotensialet $V$ en skalar — den potensielle energien per masseenhet, $V = E_p/m$. For en punktmasse $M$ er

$$V = -G\frac{M}{r}$$

Potensialet er negativt, med referansepunkt $V = 0$ ved uendelig avstand. Det er mest negativt nær massen og øker (blir mindre negativt) når vi beveger oss bort. Den potensielle energien til et objekt med masse $m$ blir da $E_p = mV = -GMm/r$.

Felt og potensial henger tett sammen: feltet er den negative deriverte av potensialet, $g = -dV/dr$. Vi kan sjekke det for punktmassen: $\displaystyle -\frac{d}{dr}(-GM/r) = -GM/r^2$, som stemmer. Fysisk peker feltet i den retningen der potensialet avtar raskest — der potensiallandskapet er bratt, er feltet sterkt.

En ekvipotensialflate er en flate der potensialet er konstant. For en punktmasse er disse konsentriske kuler. To viktige egenskaper: feltlinjene står alltid vinkelrett på ekvipotensialflatene, og det utføres null arbeid når du beveger deg langs en slik flate, siden $W = m(V_A - V_B) = 0$ når $V_A = V_B$. En satellitt i sirkulær bane beveger seg nettopp langs en ekvipotensialflate, og havoverflaten er tilnærmet en slik flate (geoiden).

Unnslipningshastighet og bundet bevegelse

Hvor fort må du skyte noe oppover for at det aldri skal falle tilbake? Spørsmålet løses med energi. Et objekt skutt med fart $v$ fra radius $R$ har total energi $\displaystyle E_{\text{tot}} = \frac{1}{2}mv^2 - GMm/R$. For akkurat å unnslippe må det nå uendelig med null fart, der både kinetisk og potensiell energi er null, altså $E_{\text{tot}} = 0$. Setter vi $\displaystyle \frac{1}{2}mv^2 = GMm/R$ og løser, kansellerer massen, og vi får unnslipningshastigheten

$$v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$$

Den er uavhengig av objektets masse og avhenger bare av himmellegemet. For jorda blir den $11{,}2$ km/s. Interessant nok er den $\sqrt{2}$ ganger større enn banehastigheten i sirkulær bane ved samme avstand.

Total energi avgjør også hva slags bane et objekt får. Er $E_{\text{tot}} < 0$, er bevegelsen bundet — objektet kan ikke unnslippe, og banen er en ellipse eller sirkel, som planeter og satellitter. Er $E_{\text{tot}} = 0$, er det grensetilfellet med en parabelbane og akkurat nok energi til å unnslippe. Er $E_{\text{tot}} > 0$, er bevegelsen ubundet: objektet unnslipper med overskuddsfart langs en hyperbel, slik interstellare objekter gjør når de suser gjennom solsystemet.

Oppsummering

Gravitasjon kan beskrives som et felt rundt en masse. Feltstyrken $\vec{g} = -GM/r^2\,\hat{r}$ er kraften per masseenhet og lik akselerasjonen objekter får — derfor faller alt like fort. Gravitasjonspotensialet $V = -GM/r$ er den skalare potensielle energien per masse, og feltet er den negative deriverte: $g = -dV/dr$. Ekvipotensialflater har konstant potensial, står vinkelrett på feltlinjene og krever null arbeid å bevege seg langs. Fra energibetraktninger får vi unnslipningshastigheten $v_{esc} = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2gR}$ (11,2 km/s for jorda), $\sqrt{2}$ ganger banehastigheten. Total energi avgjør banen: $E<0$ gir bundet (ellipse/sirkel), $E=0$ parabel, $E>0$ ubundet (hyperbel).