2.1 Newtons gravitasjonslov

Gravitasjon – ei universell kraft

Menneske har alltid undra seg over kvifor ting fell ned. Kvifor blir månen halden i bane rundt jorda? Kva held planetane i bane rundt sola?

I 1687 publiserte Isaac Newton det banebrytande verket sitt Principia Mathematica, der han formulerte gravitasjonslova. Newton innsåg noko revolusjonerande: den same krafta som får eit eple til å falle, held òg månen i bane rundt jorda.

Innsikta til Newton:
- Gravitasjon er ikkje berre ei kraft som verkar nær jordoverflata
- Det er ei universell kraft som verkar mellom alle objekt med masse
- Krafta avtek med kvadratet av avstanden

Historisk kontekst:
- 1687: Newton formulerer gravitasjonslova
- 1798: Henry Cavendish måler gravitasjonskonstanten G i laboratoriet
- 1915: Einstein utvidar teorien med den generelle relativitetsteorien

Newtons gravitasjonslov

Newton oppdaga at gravitasjonskrafta mellom to objekt:
1. Er proporsjonal med produktet av massane
2. Er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom dei
3. Verkar langs linja som bind saman sentruma til massane

Dette tyder at viss du doblar éin av massane, blir krafta dobla. Men viss du doblar avstanden, blir krafta redusert til ein firedel!

Gravitasjonskonstanten G

Gravitasjonskonstanten $G$ er ein av dei fundamentale naturkonstantane. Han fortel oss kor «sterk» gravitasjonen er.

Verdi:
$$G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$$

Cavendish-eksperimentet (1798):
Henry Cavendish var den første som målte $G$ direkte. Han brukte ei torsjonsvekt med to små og to store blykuler. Ved å måle den svake tiltrekninga mellom kulene kunne han rekne ut $G$.

Kvifor er G så liten?
Gravitasjon er den svakaste av dei fire fundamentale naturkreftene. Grunnen til at vi opplever gravitasjon som sterk, er at jorda har enorm masse ($5.97 \times 10^{24}$ kg).

Døme: To menneske på 70 kg som står 1 meter frå kvarandre trekkjer på kvarandre med ei kraft på berre:
$$F = 6.674 \times 10^{-11} \cdot \frac{70 \cdot 70}{1^2} \approx 3.3 \times 10^{-7} \text{ N}$$

Dette er ca. 0.3 mikronewton – heilt umerkeleg!

Tyngdekraft som gravitasjon

Det vi kallar tyngdekraft er eigentleg gravitasjonskrafta mellom eit objekt og jorda. Ved jordoverflata har vi:

$$F_g = G\frac{M_J \cdot m}{R_J^2}$$

der $M_J$ er massen til jorda og $R_J$ er radiusen til jorda.

Frå Fysikk 1 veit vi at tyngdekrafta er $F_g = mg$. Ved å setje desse uttrykka like, får vi:

$$mg = G\frac{M_J \cdot m}{R_J^2}$$

Løyser for g:
$$g = G\frac{M_J}{R_J^2}$$

Set inn verdiar:
- $M_J = 5.97 \times 10^{24}$ kg
- $R_J = 6.37 \times 10^{6}$ m

$$g = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^{6})^2}$$
$$g = \frac{3.99 \times 10^{14}}{4.06 \times 10^{13}} = 9.82 \text{ m/s}^2$$

Dette stemmer godt med den kjende verdien $g \approx 9.81$ m/s²!

Variasjon av g med høgd

Tyngdeakselerasjonen $g$ avheng av avstanden til sentrum av jorda. I ei høgd $h$ over jordoverflata er:

$$g(h) = G\frac{M_J}{(R_J + h)^2}$$

Alternativ form:
$$g(h) = g_0 \left(\frac{R_J}{R_J + h}\right)^2$$

der $g_0 = 9.81$ m/s² er tyngdeakselerasjonen ved jordoverflata.

Døme på g ved ulike høgder:

Superposisjonsprinsippet

Når eit objekt blir påverka av gravitasjonskrefter frå fleire andre objekt, er den totale krafta summen av alle enkeltkreftene.

Superposisjonsprinsippet for gravitasjon:
$$\vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + ...$$

Dette er viktig fordi:
- Kvar kraft blir rekna ut uavhengig av dei andre
- Kreftene blir lagde saman som vektorar
- Retninga til kvar kraft må takast omsyn til

Døme: Månen mellom jorda og sola

Månen blir påverka av gravitasjon frå både jorda og sola. Den totale krafta på månen er vektorsummen av desse to kreftene. Interessant nok er tiltrekninga frå sola på månen faktisk større enn frå jorda, men månen går likevel i bane rundt jorda fordi dei to lekamane fell saman rundt sola.

Praktisk bruk:
For å finne total gravitasjonskraft på eit objekt:
1. Rekn ut krafta frå kvar enkelt lekam
2. Fastsett retninga til kvar kraft (mot den andre lekamen)
3. Dekomponer kreftene i x- og y-komponentar
4. Summer komponentane
5. Finn storleiken og retninga til resultantkrafta

Oppsummering

Newtons gravitasjonslov:
$$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Viktige punkt:
1. Gravitasjon er ei universell kraft mellom alle objekt med masse
2. Krafta er alltid tiltrekkjande og verkar langs linja mellom sentruma til massane
3. Krafta avtek med kvadratet av avstanden (invers kvadratlov)
4. Gravitasjonskonstanten $G = 6.674 \times 10^{-11}$ N·m²/kg² er ein naturkonstant

Tyngdeakselerasjon:
$$g = G\frac{M}{R^2}$$

Variasjon med høgd:
$$g(h) = g_0 \left(\frac{R}{R + h}\right)^2$$

Superposisjonsprinsippet:
- Total gravitasjonskraft = vektorsum av alle enkeltkreftene
- Kvar kraft blir rekna ut uavhengig

Praktiske bruksområde:
- Rekne ut baner for satellittar og romfartøy
- Forstå planetrørsle
- Forklare tidvatn
- Fastsetje massen til himmellekamar

Neste kapittel:
Vi skal sjå på sirkulær satellittrørsle og Keplers lover for planetbaner.