2.1 Newtons gravitasjonslov

Eplet og månen

Mennesker har alltid undret seg over hvorfor ting faller ned, hvorfor månen holder seg i bane, hva som holder planetene rundt sola. I 1687 ga Isaac Newton svaret i verket Principia Mathematica, og innsikten var revolusjonerende: det er nøyaktig den samme kraften som får et eple til å falle som holder månen i bane rundt jorda. Gravitasjon er ikke en lokal effekt nær bakken — det er en universell kraft som virker mellom alle objekter med masse, overalt i universet. Kraften avtar med kvadratet av avstanden, og denne enkle ideen forklarer alt fra fallende epler til galaksers bevegelse. Senere, i 1798, klarte Henry Cavendish å måle styrken på kraften i et laboratorium, og i 1915 utvidet Einstein hele bildet med den generelle relativitetsteorien.

Newtons gravitasjonslov

Newton fant at gravitasjonskraften mellom to objekter er proporsjonal med produktet av massene, omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden, og virker langs linjen mellom massenes sentre. Dobler du den ene massen, dobles kraften; men dobler du avstanden, faller kraften til en firedel. Skrevet ut blir loven

$$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Her er $G = 6{,}674\times 10^{-11}$ N·m²/kg² gravitasjonskonstanten, en fundamental naturkonstant med samme verdi overalt. Kraften er alltid tiltrekkende, og de to legemene trekker på hverandre med like store krefter.

Hvorfor er $G$ så ufattelig liten? Fordi gravitasjon er den klart svakeste av de fire fundamentale naturkreftene. Vi merker den bare fordi jorda er så enormt massiv. Tenk på to mennesker på $70$ kg som står $1$ m fra hverandre: de trekker på hverandre med en kraft $F = 6{,}674\times 10^{-11}\cdot 70\cdot 70/1^2 \approx 3{,}3\times 10^{-7}$ N — bare noen tideler av en mikronewton, helt umerkelig. Det var nettopp denne minimale tiltrekningen Cavendish klarte å måle med en følsom torsjonsvekt og to blykuler.

Fra gravitasjonslov til tyngdeakselerasjon

Det vi kaller tyngdekraft er rett og slett gravitasjonen mellom et objekt og jorda. Ved jordoverflaten er kraften $F_g = GM_J m/R_J^2$, der $M_J$ er jordas masse og $R_J$ er jordas radius. Men fra fysikk 1 vet vi også at $F_g = mg$. Setter vi de to uttrykkene like, kansellerer objektets masse $m$, og vi sitter igjen med

$$g = G\frac{M_J}{R_J^2}$$

Setter vi inn $M_J = 5{,}97\times 10^{24}$ kg og $R_J = 6{,}37\times 10^6$ m, får vi $g = 6{,}674\times 10^{-11}\cdot 5{,}97\times 10^{24}/(6{,}37\times 10^6)^2 \approx 9{,}82$ m/s² — akkurat den kjente verdien!

Siden $g$ avhenger av avstanden til jordas sentrum, avtar den med høyden: $g(h) = GM_J/(R_J + h)^2 = g_0(R_J/(R_J+h))^2$. På toppen av Mount Everest ($8{,}8$ km) er $g$ fortsatt $9{,}78$ m/s², og selv på romstasjonen ISS i $400$ km høyde er $g \approx 8{,}69$ m/s² — hele $89\%$ av bakkeverdien. At astronautene «svever» skyldes altså ikke fravær av gravitasjon, men at de er i fritt fall sammen med stasjonen.

Til slutt: når flere objekter trekker samtidig, gjelder superposisjonsprinsippet — den totale kraften er vektorsummen av enkeltkreftene, $\vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \ldots$. Hver kraft beregnes for seg, og retningene legges sammen som vektorer. Solas tiltrekning på månen er faktisk større enn jordas, men månen følger likevel jorda fordi begge faller sammen rundt sola.

Oppsummering

Newtons gravitasjonslov $F = Gm_1m_2/r^2$ beskriver den universelle, alltid tiltrekkende kraften mellom alle masser. Den er proporsjonal med produktet av massene og avtar med kvadratet av avstanden (invers kvadratlov), med gravitasjonskonstanten $G = 6{,}674\times 10^{-11}$ N·m²/kg². Det vi kaller tyngdekraft er gravitasjonen fra jorda, og ved å sette $mg = GM_J m/R_J^2$ får vi tyngdeakselerasjonen $g = GM_J/R_J^2 \approx 9{,}81$ m/s². Den avtar med høyden som $g(h) = g_0(R_J/(R_J+h))^2$, men er fortsatt stor på ISS — astronautene svever fordi de er i fritt fall. Når flere legemer virker samtidig, finner vi totalkraften med superposisjonsprinsippet som vektorsum.