1.2 Bevegelse i to dimensjoner

Rørsle i to dimensjonar

I førre kapittel lærte vi om vektorar og korleis dei blir brukte til å skildre storleikar med retning. No skal vi bruke denne kunnskapen til å analysere rørsle i planet - altså rørsle som skjer i to dimensjonar samtidig.

Frå éin til to dimensjonar

I Fysikk 1 studerte vi rørsle langs ei rett linje (éin dimensjon). Vi brukte formlar som:

$$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$

No utvidar vi dette til rørsle i planet (to dimensjonar). Eit objekt kan no røre seg både horisontalt og vertikalt samtidig.

Døme på 2D-rørsle

- Skråkast: Ein ball blir kasta skrått oppover
- Sirkelrørsle: Ein bil køyrer rundt ei rundkøyring
- Prosjektilrørsle: Ei kanonkule i lufta
- Fly i vind: Eit fly som blir påverka av sidevind

For å skildre slik rørsle treng vi vektorar - posisjonsvektor, fartvektor og akselerasjonsvektor.

Posisjonsvektoren

Posisjonsvektoren $\vec{r}$ skildrar kvar eit objekt er i forhold til origo.

Definisjon

I to dimensjonar er posisjonsvektoren:

$$\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j}$$

Her er:
- $x(t)$ = x-koordinaten til objektet som funksjon av tid
- $y(t)$ = y-koordinaten til objektet som funksjon av tid
- $\hat{i}$ = einingsvektoren i x-retning
- $\hat{j}$ = einingsvektoren i y-retning

Grafisk tolking

Posisjonsvektoren er ei pil som peikar frå origo til posisjonen til objektet. Når objektet rører seg, endrar posisjonsvektoren seg over tid - han "følgjer med" objektet.

Banen (trajektoriet)

Mengda av alle posisjonar objektet passerer gjennom blir kalla banen eller trajektoriet. Viss vi teiknar alle posisjonane $(x(t), y(t))$ for alle tider $t$, får vi banekurva.

Døme:
Viss $x(t) = 2t$ og $y(t) = 3t$, rører objektet seg langs ei rett linje.
Viss $x(t) = \cos(t)$ og $y(t) = \sin(t)$, rører objektet seg i ein sirkel.

Fartvektoren

Fartvektoren $\vec{v}$ skildrar kor raskt og i kva for retning eit objekt rører seg.

Definisjon via derivasjon

Fartvektoren er den tidsderiverte av posisjonsvektoren:

$$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j}$$

Vi kan skrive dette enklare som:

$$\vec{v}(t) = v_x(t)\hat{i} + v_y(t)\hat{j}$$

der $\displaystyle v_x = \frac{dx}{dt}$ og $\displaystyle v_y = \frac{dy}{dt}$.

Grafisk tolking

Fartvektoren peikar alltid tangent til banen - altså i den retninga objektet rører seg i augneblinken.

- Lengda $|\vec{v}|$ er farten (kor raskt objektet rører seg)
- Retninga viser kva veg objektet rører seg

Samanheng med 1D-kinematikk

I éin dimensjon hadde vi $\displaystyle v = \frac{dx}{dt}$. Dette er berre x-komponenten av fartvektoren!

I to dimensjonar har vi i tillegg $\displaystyle v_y = \frac{dy}{dt}$, og desse to komponentane dannar fartvektoren.

Akselerasjonsvektoren

Akselerasjonsvektoren $\vec{a}$ skildrar korleis farten endrar seg over tid.

Definisjon via derivasjon

Akselerasjonsvektoren er den tidsderiverte av fartvektoren:

$$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dv_x}{dt}\hat{i} + \frac{dv_y}{dt}\hat{j}$$

Sidan $\displaystyle \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$, er akselerasjonen òg den andrederiverte av posisjon:

$$\vec{a}(t) = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$

Kva akselerasjon tyder i 2D

I to dimensjonar kan akselerasjonen føre til:

1. Endring i fart (objektet går raskare eller saktare)
2. Endring i retning (objektet svingar)
3. Begge delar samtidig

Dette er viktig: Sjølv om eit objekt har konstant fart, kan det ha akselerasjon viss retninga endrar seg!

Komponentar

$$\vec{a}(t) = a_x(t)\hat{i} + a_y(t)\hat{j}$$

der $\displaystyle a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ og $\displaystyle a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2}$.

Uavhengnadsprinsippet

Eitt av dei viktigaste prinsippa i 2D-kinematikk er uavhengnadsprinsippet:

Prinsippet

> Rørsle i x-retning og y-retning er uavhengige av kvarandre og kan analyserast kvar for seg.

Dette tyder at:
- Farten i x-retning påverkar ikkje farten i y-retning
- Akselerasjonen i x-retning påverkar ikkje rørsla i y-retning (og omvendt)
- Vi kan løyse to separate 1D-problem og kombinere resultata

Kvifor fungerer dette?

Newtons andre lov gjeld for kvar komponent kvar for seg:

$$F_x = ma_x \qquad F_y = ma_y$$

Viss det ikkje er noka kraft i x-retning ($F_x = 0$), er $a_x = 0$, og farten i x-retning held seg konstant - uavhengig av kva som skjer i y-retning.

Døme: Skråkast

Når ein ball blir kasta skrått oppover (og vi ser bort frå luftmotstand):
- I x-retning: Inga kraft → konstant fart $v_x$
- I y-retning: Tyngdekraft → konstant akselerasjon $a_y = -g$

Desse to rørslene skjer samtidig og uavhengig. Resultatet er ei parabelforma bane.

Konstant akselerasjon i 2D

Når akselerasjonen er konstant, kan vi bruke dei kjende kinematiske likningane - men no for kvar komponent kvar for seg.

Kinematiske likningar i 2D

For x-retning (med konstant $a_x$):

$$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$$
$$x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{1}{2}a_x t^2$$
$$v_x^2 = v_{0x}^2 + 2a_x(x - x_0)$$

For y-retning (med konstant $a_y$):

$$v_y(t) = v_{0y} + a_y t$$
$$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2}a_y t^2$$
$$v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_y(y - y_0)$$

Vektorform

Vi kan òg skrive dette på vektorform:

$$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$$

$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$$

Spesialtilfelle: Prosjektilrørsle

For prosjektilrørsle nær jordoverflata (utan luftmotstand):
- $a_x = 0$ (inga horisontal akselerasjon)
- $a_y = -g \approx -9.81$ m/s² (tyngdeakselerasjon nedover)

Frå akselerasjon til posisjon: Integrasjon

Vi har sett at derivasjon tek oss frå posisjon til fart til akselerasjon:

$$\vec{r}(t) \xrightarrow{\frac{d}{dt}} \vec{v}(t) \xrightarrow{\frac{d}{dt}} \vec{a}(t)$$

For å gå motsett veg - frå akselerasjon til fart til posisjon - bruker vi integrasjon:

$$\vec{a}(t) \xrightarrow{\int dt} \vec{v}(t) \xrightarrow{\int dt} \vec{r}(t)$$

Frå akselerasjon til fart

$$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \int_0^t \vec{a}(t')\, dt'$$

For konstant akselerasjon:
$$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$$

Frå fart til posisjon

$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \int_0^t \vec{v}(t')\, dt'$$

For konstant fart:
$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}t$$

For konstant akselerasjon (set inn $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$):
$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$$

Initialvilkår

Integrasjon innfører integrasjonskonstantar som må fastsetjast frå initialvilkår (startposisjon $\vec{r}_0$ og startfart $\vec{v}_0$).

Samanfatning: Kinematikk i 2D

Hovudpoeng

1. Vektorskildring
- Posisjon: $\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j}$
- Fart: $\vec{v}(t) = v_x(t)\hat{i} + v_y(t)\hat{j}$
- Akselerasjon: $\vec{a}(t) = a_x(t)\hat{i} + a_y(t)\hat{j}$

2. Derivasjonssamanhengar
$$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} \qquad \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$

3. Integrasjonssamanhengar
$$\vec{v} = \vec{v}_0 + \int \vec{a}\, dt \qquad \vec{r} = \vec{r}_0 + \int \vec{v}\, dt$$

4. Uavhengnadsprinsippet
Rørsle i x og y kan analyserast kvar for seg som to 1D-problem.

5. Konstant akselerasjon
$$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$$
$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$$

Framgangsmåte for oppgåver

1. Set opp koordinatsystem (x horisontal, y vertikal)
2. Finn startvilkår ($\vec{r}_0$, $\vec{v}_0$)
3. Identifiser akselerasjonen i kvar retning
4. Bruk kinematiske likningar kvar for seg for x og y
5. Kombiner resultata vektorielt