3.4 Sirkelbevegelse og sentripetalkraft

Sirkelrørsle og sentripetalkraft

Sirkelrørsle er rørsle langs ei sirkulær bane. Sjølv om farten kan vere konstant, er hastigheita (vektor) ikkje konstant fordi retninga endrar seg kontinuerleg.

Viktige omgrep:
- Sentripetalakselerasjon: Akselerasjon mot sentrum
- Sentripetalkraft: Kraft mot sentrum som gir sirkelrørsle
- Vinkelfrekvens og periode

Døme:
- Planet som krinsar rundt sola
- Bil i rundkøyring
- Stein i slynge
- Satellitt i bane
- Berg-og-dal-bane

Kinematikk for uniform sirkelrørsle

Uniform sirkelrørsle: Rørsle i sirkel med konstant fart.

Grunnleggjande storleikar

Radius: $r$ [m]
- Avstand frå sentrum til objektet

Fart: $v$ [m/s]
- Farten langs banen (konstant ved uniform sirkelrørsle)

Periode: $T$ [s]
- Tid for éin full omdreiing

Frekvens: $f$ [Hz = 1/s]
- Tal på omdreiingar per sekund

Vinkelfrekvens: $\omega$ [rad/s]
- Vinkel per tid

Samanhengar

Fart og radius:

Omkrins: $C = 2\pi r$

Tid for éin omdreiing: $T$

$$v = \frac{C}{T} = \frac{2\pi r}{T}$$

Periode og frekvens:
$$f = \frac{1}{T}$$

Vinkelfrekvens:

Ei full omdreiing = $2\pi$ radianar

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

Fart og vinkelfrekvens:
$$v = \omega r$$

Oppsummering av formlar:

$$v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f = \omega r$$

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f = \frac{v}{r}$$

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{f}$$

Hastigheitsvektoren

Storleik: $|\vec{v}| = v$ (konstant)

Retning: Tangent til sirkelen (vinkelrett på radius)

Endring: Retninga endrar seg kontinuerleg, sjølv om storleiken er konstant

Viktig: Sjølv om farten er konstant, er hastigheita (vektor) ikkje konstant!

Sentripetalakselerasjon

Sidan hastigheita (vektor) endrar seg, må det vere ein akselerasjon.

Definisjon

Sentripetalakselerasjon ($a_s$ eller $a_c$): Akselerasjon mot sentrum av sirkelen.

Formel:
$$a_s = \frac{v^2}{r}$$

der:
- $a_s$ = sentripetalakselerasjon [m/s²]
- $v$ = fart [m/s]
- $r$ = radius [m]

Alternative formlar:

Med $v = \omega r$:
$$a_s = \frac{(\omega r)^2}{r} = \omega^2 r$$

Med $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T}$:
$$a_s = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$$

Retning

Alltid mot sentrum av sirkelen

Viktig: Ikkje langs rørsla (tangentiell), men vinkelrett på rørsla, mot sentrum.

Kvifor akselerasjon?

Feil tankegang: "Farten er konstant, så akselerasjon = 0"

Rett forståing: Akselerasjon er endring i hastigheit (vektor), ikkje berre endring i fart.

Endring i hastigheit:
- Sjølv om farten $|\vec{v}|$ er konstant
- Retninga til $\vec{v}$ endrar seg kontinuerleg
- $\displaystyle \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \neq 0$

Utleiing (geometrisk)

Sjå på to tett liggjande punkt på sirkelen:

Hastigheit ved punkt 1: $\vec{v}_1$ (tangent til sirkel)
Hastigheit ved punkt 2: $\vec{v}_2$ (tangent til sirkel)

Begge har storleik $v$, men ulike retningar.

Endring i hastigheit: $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$

Geometrisk analyse viser:
- $\Delta \vec{v}$ peikar mot sentrum
- $|\Delta \vec{v}| \approx v \Delta \theta$ (for liten $\Delta \theta$)

Tid: $\displaystyle \Delta t = \frac{r \Delta \theta}{v}$

Akselerasjon:
$$a = \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} = \frac{v \Delta \theta}{r \Delta \theta / v} = \frac{v^2}{r}$$

Sentripetal vs. tangentiell akselerasjon

Sentripetal akselerasjon ($a_s$):
- Mot sentrum
- Endrar retning (ikkje fart)
- Finst ved uniform sirkelrørsle

Tangentiell akselerasjon ($a_t$):
- Langs banen (tangent til sirkel)
- Endrar fart (ikkje retning)
- Null ved uniform sirkelrørsle
- Ikkje-null dersom farten aukar/minkar

Total akselerasjon (ikkje-uniform sirkelrørsle):
$$\vec{a} = \vec{a}_s + \vec{a}_t$$
$$|\vec{a}| = \sqrt{a_s^2 + a_t^2}$$

I dette kapittelet fokuserer vi på uniform sirkelrørsle: $a_t = 0$.

Sentripetalkraft

Frå Newtons 2. lov: Dersom det er akselerasjon, må det vere ei kraft.

Definisjon

Sentripetalkraft ($F_s$): Den resulterande krafta mot sentrum som gir sirkelrørsle.

Newtons 2. lov:
$$F_s = ma_s = m\frac{v^2}{r}$$

der:
- $F_s$ = sentripetalkraft [N]
- $m$ = masse [kg]
- $v$ = fart [m/s]
- $r$ = radius [m]

Alternative formlar:
$$F_s = m\omega^2 r = m\frac{4\pi^2 r}{T^2}$$

Retning

Alltid mot sentrum av sirkelen

Viktig misforståing

Feil: "Sentripetalkraft er ein ny type kraft"

Rett: Sentripetalkraft er den resulterande krafta mot sentrum. Ho kjem frå fysiske krefter:

Døme:

1. Planet rundt Sola:
- Sentripetalkraft = Gravitasjonskraft
- $F_s = F_G$

2. Bil i rundkøyring:
- Sentripetalkraft = Friksjon frå veg
- $F_s = f$

3. Stein i slynge:
- Sentripetalkraft = Snorkraft
- $F_s = T$

4. Berg-og-dal-bane (nedst):
- Sentripetalkraft = Normalkraft - Tyngdekraft
- $F_s = N - G$

5. Satellitt i bane:
- Sentripetalkraft = Gravitasjonskraft
- $F_s = F_G$

Kva skjer dersom sentripetalkraft blir fjerna?

Feil: "Objektet flyg utover frå sentrum"

Rett: Objektet held fram i rett linje tangent til sirkelen (Newtons 1. lov)

Døme: Stein i slynge
- Medan snora held: Sirkelrørsle
- Snora blir sleppt: Steinen flyg i rett linje tangent til sirkel (ikkje radielt utover!)

Sentrifugalkraft (fiktiv kraft)

Sentrifugalkraft: "Kraft utover frå sentrum"

Status: Fiktiv kraft (ikkje reell)

Når blir ho opplevd?
- I roterande referansesystem
- Du kjenner deg dytta utover i bil som svingar

Forklaring:
- Frå inertielt referansesystem: Inga kraft utover
- Kroppen din "ønskjer" å halde fram rett fram (Newtons 1. lov)
- Bilen svingar inn, du held fram rett (kjennest som dytt utover)
- Reell kraft: Friksjon frå setet (innover!)

I dette kurset: Vi bruker inertielle referansesystem og ignorerer sentrifugalkraft.

Horisontal sirkelrørsle

Døme:
- Bil i flat rundkøyring
- Skøyteløpar i kurve
- Satellitt i bane

Døme 1: Bil i rundkøyring

Situasjon: Bil køyrer i flat rundkøyring med radius $r$ og fart $v$.

Krefter:
- Tyngdekraft: $G = mg$ (nedover)
- Normalkraft: $N$ (oppover)
- Friksjon: $f$ (mot sentrum, horisontal)

Vertikal likevekt:
$$N = G = mg$$

Horisontal (mot sentrum):

Sentripetalkraft kjem frå friksjon:
$$f = F_s = m\frac{v^2}{r}$$

Maksimal fart før bilen sklir:

Maksimal friksjon: $f_{\text{maks}} = \mu_s N = \mu_s mg$

$$\mu_s mg = m\frac{v_{\text{maks}}^2}{r}$$

$$v_{\text{maks}} = \sqrt{\mu_s gr}$$

Viktig: Maksimal fart er avhengig av:
- Friksjonskoeffisient ($\mu_s$): Høgare → høgare $v_{\text{maks}}$
- Radius ($r$): Større → høgare $v_{\text{maks}}$
- Ikkje masse! (forsvinn)

Døme 2: Skrå kurve (banked curve)

Situasjon: Veg eller skøytebane som heller innover i kurven med vinkel $\theta$.

Føremon: Normalkrafta får komponent mot sentrum → mindre friksjon nødvendig

Optimal vinkel (inga friksjon nødvendig):
$$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$$

Forklaring:
- Normalkraft vinkelrett på skråning
- Komponent av N mot sentrum: $N \sin \theta$
- Denne gir sentripetalkraft
- Optimalt: $\displaystyle N \sin \theta = m\frac{v^2}{r}$ og $N \cos \theta = mg$
- Deling: $\displaystyle \tan \theta = \frac{v^2}{rg}$

Døme 3: Satellitt i bane

Situasjon: Satellitt krinsar rundt Jorda med radius $r$ (frå sentrum av Jorda).

Sentripetalkraft = Gravitasjonskraft:
$$F_G = F_s$$
$$\frac{GM_J m}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$$
$$\frac{GM_J}{r} = v^2$$
$$v = \sqrt{\frac{GM_J}{r}}$$

Viktig: Farten er berre avhengig av radius, ikkje massen til satellitten!

Periode:
$$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi r \sqrt{\frac{r}{GM_J}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_J}}$$

Dette er Keplers 3. lov: $T^2 \propto r^3$

Geostasjonær bane:
- $T = 24$ timar
- Satellitt står stille over eitt punkt på Jorda
- $r \approx 42\,000$ km frå sentrum av Jorda

Vertikal sirkelrørsle

Døme:
- Berg-og-dal-bane (looping)
- Stein i vertikal slynge
- Pendel

Utfordring: Tyngdekrafta er alltid nedover, men sentripetalkraft må vere mot sentrum.

Analyse av vertikal sirkel

Viktige punkt:
- Nedst i sirkelen: Sentripetalkraft oppover
- Øvst i sirkelen: Sentripetalkraft nedover
- Sideveges: Sentripetalkraft horisontalt

Krefter:
1. Tyngdekraft: $G = mg$ (alltid nedover)
2. Kontaktkraft (normalkraft eller snorkraft): $N$ eller $T$ (mot sentrum dersom tau, bort frå sentrum dersom sportvang)

Nedst i sirkelen

Krefter (positiv: oppover):
- Normalkraft eller snorkraft: $N$ eller $T$ (oppover)
- Tyngdekraft: $G = mg$ (nedover)

Sentripetalkraft (oppover mot sentrum):
$$F_s = N - G = m\frac{v^2}{r}$$

$$N = G + m\frac{v^2}{r} = mg + m\frac{v^2}{r} = m\left(g + \frac{v^2}{r}\right)$$

Viktig: $N > G$ (normalkraft større enn tyngdekraft)

Kjensle: Du kjenner deg tyngre (større normalkraft)

Øvst i sirkelen

To scenario:

Scenario A: Sportvang (berg-og-dal-bane)

Krefter (positiv: nedover mot sentrum):
- Tyngdekraft: $G = mg$ (nedover)
- Normalkraft: $N$ (nedover, frå sporet)

Sentripetalkraft (nedover mot sentrum):
$$F_s = G + N = m\frac{v^2}{r}$$

$$N = m\frac{v^2}{r} - mg = m\left(\frac{v^2}{r} - g\right)$$

Minimum fart for at $N \geq 0$:
$$\frac{v_{\text{min}}^2}{r} = g$$
$$v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$$

Dersom $v < v_{\text{min}}$: Vogna fell ned frå sporet (N kan ikkje vere negativ).

Scenario B: Snor (stein i slynge)

Krefter (positiv: nedover mot sentrum):
- Tyngdekraft: $G = mg$ (nedover)
- Snorkraft: $T$ (nedover, mot sentrum)

Sentripetalkraft:
$$F_s = G + T = m\frac{v^2}{r}$$

$$T = m\frac{v^2}{r} - mg = m\left(\frac{v^2}{r} - g\right)$$

Minimum fart for at $T \geq 0$:
$$v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$$

Dersom $v < v_{\text{min}}$: Snora slakkar (T kan ikkje vere negativ, berre drag).

Sideveges (90° frå lågaste punkt)

Krefter:
- Tyngdekraft: $G = mg$ (nedover, vinkelrett på radius)
- Normalkraft eller snorkraft: $N$ eller $T$ (horisontalt, mot sentrum)

Sentripetalkraft (mot sentrum):
$$F_s = N = m\frac{v^2}{r}$$

Tangentiell (langs rørsle):
$$F_t = -mg$$ (nedover komponent gir retardasjon dersom han går oppover)

Energi i vertikal sirkel

Mekanisk energi blir bevart (inga friksjon):

Nedst:
$$E_{\text{ned}} = \frac{1}{2}mv_{\text{ned}}^2 + 0$$

Øvst (høgd = $2r$):
$$E_{\text{opp}} = \frac{1}{2}mv_{\text{opp}}^2 + mg(2r)$$

Bevaring:
$$\frac{1}{2}mv_{\text{ned}}^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{opp}}^2 + 2mgr$$

$$v_{\text{opp}}^2 = v_{\text{ned}}^2 - 4gr$$

Minimum fart nedst for å kome rundt:

Øvst: $v_{\text{opp,min}} = \sqrt{gr}$

Nedst:
$$v_{\text{ned,min}}^2 = v_{\text{opp,min}}^2 + 4gr = gr + 4gr = 5gr$$
$$v_{\text{ned,min}} = \sqrt{5gr}$$