3.4 Sirkelbevegelse og sentripetalkraft

Akselerasjon -- selv når farten ikke endrer seg

Sving en stein rundt i en slynge med jevn fart. Steinen beveger seg i en sirkel uten å gå fortere eller saktere -- så akselererer den ikke? Jo, faktisk hele tiden! Dette er sirkelbevegelsens gåte, og løsningen ligger i noe vi lærte tidlig: akselerasjon er endring i hastighet, og hastighet er en vektor med både fart og retning.

Selv om farten (beløpet) er konstant, peker hastighetsvektoren stadig nye veier mens steinen går rundt. Retningen endrer seg uavbrutt, og derfor er $\displaystyle \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \neq 0$. Det finnes en akselerasjon -- og dermed, etter Newtons andre lov, en kraft.

Dette er overalt rundt oss: en planet rundt sola, en bil i rundkjøringen, en satellitt i bane, en berg-og-dal-bane i looping. Vi skal først finne ut hvor stor denne akselerasjonen er, så hvilken kraft som forårsaker den, og til slutt analysere både vannrette og loddrette sirkler. La oss begynne med å beskrive selve sirkelbevegelsen.

Å beskrive en runddans

For uniform sirkelbevegelse -- bevegelse i sirkel med konstant fart -- trenger vi noen størrelser. Radien $r$ er avstanden til sentrum. Perioden $T$ er tiden for én full omdreining, og frekvensen $\displaystyle f = \frac{1}{T}$ er antall omdreininger per sekund. Vinkelfrekvensen $\omega$ er hvor mange radianer objektet sveiper per sekund.

Disse henger sammen på en grei måte. Siden objektet tilbakelegger omkretsen $C = 2\pi r$ på én periode, er farten $\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T}$. Og siden en full runde er $2\pi$ radianer, er vinkelfrekvensen $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$. Den kanskje mest nyttige sammenhengen er at fart og vinkelfrekvens er knyttet ved $v = \omega r$. Alt henger sammen: $\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f = \omega r$.

Det helt sentrale her er hastighetsvektoren. Den har konstant størrelse $v$, men dens retning er alltid tangent til sirkelen -- vinkelrett på radien, i den retningen objektet er på vei akkurat da. Og siden den retningen dreier kontinuerlig, er hastigheten i stadig endring, selv om farten ligger fast. Det er denne uavbrutte retningsendringen som krever akselerasjon.

Sentripetalakselerasjon og sentripetalkraft

Siden hastigheten endrer retning, finnes det en akselerasjon -- og den peker, kanskje overraskende, rett inn mot sentrum av sirkelen. Vi kaller den sentripetalakselerasjon (sentripetal betyr «søkende mot sentrum»). Størrelsen er $\displaystyle a_s = \frac{v^2}{r}$, eller med $v = \omega r$: $a_s = \omega^2 r$. En geometrisk utledning bekrefter dette: over et lite tidsintervall peker endringen i hastighet, $\Delta\vec{v}$, inn mot sentrum, og regningen gir nettopp $\displaystyle a_s = \frac{v^2}{r}$.

Det er viktig å ikke forveksle denne med tangentiell akselerasjon, som ville endret farten langs banen. Ved uniform sirkelbevegelse er den tangentielle akselerasjonen null; det er bare retningen, ikke farten, som endrer seg.

Når det er en akselerasjon, krever Newtons andre lov en kraft. Sentripetalkraften er den resulterende kraften inn mot sentrum: $\displaystyle F_s = ma_s = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2 r$. Og her er den viktigste misforståelsen å rydde av veien: sentripetalkraft er ikke en ny, egen kraft. Den er bare navnet på nettoresultatet av de virkelige kreftene som peker innover. For en planet er sentripetalkraften gravitasjonen. For en bil i rundkjøring er det friksjonen fra veien. For steinen i slyngen er det snorkraften. For en berg-og-dal-bane nederst er det normalkraften minus tyngden.

Hva skjer hvis kraften forsvinner? Steinen flyr ikke radielt utover, slik mange tror. Den fortsetter rett frem langs tangenten -- Newtons første lov. Slipper du slyngen, suser steinen av gårde i en rett linje. Og den «sentrifugalkraften» du føler dyttet utover i en sving? Den er en fiktiv kraft. I virkeligheten vil kroppen din bare fortsette rett frem mens bilen svinger inn; den eneste ekte kraften er friksjonen fra setet, som dytter deg innover.

Rundkjøringer, satellitter og dødelige looper

La oss bruke alt på virkelige situasjoner. Først en bil i flat rundkjøring. Vertikalt er det likevekt, $N = mg$. Horisontalt må friksjonen levere hele sentripetalkraften: $\displaystyle f = m\frac{v^2}{r}$. Bilen sklir ut når friksjonen ikke strekker til, altså når $\displaystyle \mu_s mg = m\frac{v_{\text{maks}}^2}{r}$, som gir $v_{\text{maks}} = \sqrt{\mu_s gr}$. Legg merke til at massen forsvinner -- maks fart avhenger bare av friksjon og radius! Med $r = 40$ m og $\mu_s = 0{,}70$ blir $v_{\text{maks}} = \sqrt{0{,}70 \cdot 9{,}8 \cdot 40} = \sqrt{274{,}4} \approx 16{,}6$ m/s, altså rundt 60 km/t.

For en satellitt er sentripetalkraften gravitasjonen: $\displaystyle \frac{GM_J m}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$, som gir $\displaystyle v = \sqrt{\frac{GM_J}{r}}$. Igjen forsvinner satellittens egen masse -- banefarten avhenger bare av radien. Regner vi videre, får vi $\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_J}}$, som er Keplers tredje lov, $T^2 \propto r^3$. En geostasjonær satellitt med periode 24 timer havner rundt 42 000 km fra Jordas sentrum, og «står stille» over ett punkt.

Mest dramatisk er vertikal sirkelbevegelse, som i en berg-og-dal-bane med looping. Her er tyngdekraften alltid nedover, mens sentripetalkraften må peke mot sentrum, som skifter retning rundt loopen. Nederst peker sentrum oppover, så $\displaystyle N - G = m\frac{v^2}{r}$, altså $\displaystyle N = m(g + \frac{v^2}{r})$ -- normalkraften er større enn tyngden, og du føler deg tung. Øverst peker sentrum nedover, og både tyngde og normalkraft bidrar: $\displaystyle N + G = m\frac{v^2}{r}$, så $\displaystyle N = m(\frac{v^2}{r} - g)$. For at vognen ikke skal falle av sporet, må $N \geq 0$, som gir en minstefart $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$.

Med energibevaring (høyden øverst er $2r$) kan vi finne nødvendig fart nederst: $v_{\text{ned}}^2 = v_{\text{opp}}^2 + 4gr = 5gr$, så $v_{\text{ned,min}} = \sqrt{5gr}$. La oss regne på en looping med $r = 8{,}0$ m og vogn på 300 kg. Minstefart øverst: $\sqrt{9{,}8 \cdot 8} \approx 8{,}9$ m/s. Minstefart nederst: $\sqrt{5 \cdot 9{,}8 \cdot 8} \approx 19{,}8$ m/s (71 km/t). Og normalkraften nederst ved denne farten? Med $v_{\text{ned}}^2 = 5gr$ blir $\displaystyle N = m(g + \frac{5gr}{r}) = 6mg = 6 \cdot 300 \cdot 9{,}8 \approx 17\,600$ N -- seks ganger tyngden, altså «6g». Det er ubehagelig mye, og derfor lager man ekte berg-og-dal-baner med slakkere, dråpeformede looper.

Oppsummering

Sirkelbevegelsens store innsikt: noe kan akselerere selv med konstant fart, fordi retningen på hastigheten endrer seg uavbrutt. Denne sentripetalakselerasjonen peker inn mot sentrum og har størrelsen $\displaystyle a_s = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$, der vi knytter sammen fart, periode og vinkelfrekvens via $\displaystyle v = \omega r = \frac{2\pi r}{T}$.

Newtons andre lov gir da sentripetalkraften $\displaystyle F_s = m\frac{v^2}{r}$ -- ikke en ny kraft, men navnet på nettoresultatet av virkelige krefter innover: gravitasjon, friksjon eller snorkraft. Forsvinner den, flyr objektet rett frem langs tangenten, og «sentrifugalkraften» er bare en fiktiv følelse fra egen treghet.

Vi brukte dette på en bil i rundkjøring ($v_{\text{maks}} = \sqrt{\mu_s gr}$, uavhengig av masse), på satellitter (der gravitasjon = sentripetalkraft gir $v = \sqrt{GM_J/r}$ og Keplers tredje lov $T^2 \propto r^3$), og på vertikale looper. I en looping må farten nederst være minst $\sqrt{5gr}$ for å komme rundt, og normalkraften nederst kan bli $6mg$ -- seks ganger tyngden. Sirkelbevegelse handler altså ikke om en mystisk utoverkraft, men om at noe hele tiden trekkes inn mot midten.