3.3 Bevegelse med friksjon og luftmotstand

Rørsle med friksjon og luftmotstand

I kapittel 3.2 såg vi på friksjonskraft og luftmotstand. No skal vi analysere korleis desse kreftene påverkar rørsle.

Hovudtema:
1. Statisk vs. kinetisk friksjon i detalj
2. Rørsle på skråplan med friksjon
3. Luftmotstand og terminalfart
4. Numerisk modellering

Statisk vs. kinetisk friksjon

Statisk friksjon ($f_s$)

Når: Inga relativ rørsle mellom overflatene

Eigenskapar:

1. Variabel storleik
- Frå 0 til maksimumsverdi
- Tilpassar seg påført kraft

2. Maksimal verdi
$$f_{s,\text{maks}} = \mu_s N$$

3. Generell regel
$$f_s \leq \mu_s N$$

4. Retning
- Motsett av krafta som prøver å skape rørsle
- Parallell med overflata

Døme: Dytte på kasse

Du dyttar horisontalt med kraft $F$ på ei kasse med masse $m$.

Viss F er liten:
- Kassa står stille
- $f_s = F$ (lik og motsett)
- $a = 0$

Aukar F gradvis:
- $f_s$ aukar tilsvarande
- Kassa står stille
- $f_s = F$ heile tida

Når $F = f_{s,\text{maks}} = \mu_s N$:
- Kassa akkurat startar rørsle
- Kritisk punkt

Når $F > \mu_s N$:
- Kassa byrjar å bevege seg
- Kinetisk friksjon tek over

Kinetisk friksjon ($f_k$)

Når: Relativ rørsle mellom overflatene

Eigenskapar:

1. Konstant storleik
$$f_k = \mu_k N$$

2. Uavhengig av fart
- I enkel modell: same $f_k$ ved alle fartar
- I røynda: varierer litt med fart

3. Alltid mindre enn maksimal statisk friksjon
$$\mu_k < \mu_s \quad \Rightarrow \quad f_k < f_{s,\text{maks}}$$

4. Retning
- Alltid motsett av rørsleretninga
- Parallell med overflata

Graf: Friksjon vs. påført kraft

Viss vi gradvis aukar krafta $F$ på ei kasse:

Fase 1: Statisk friksjon (kasse i ro)
- $F$ aukar frå 0 til $\mu_s N$
- $f_s$ aukar frå 0 til $\mu_s N$
- $f_s = F$ (lineær)
- Kasse står stille

Fase 2: Overgang (kritisk punkt)
- $F = \mu_s N$
- $f_s = \mu_s N$
- Kasse akkurat startar

Fase 3: Kinetisk friksjon (kasse bevegar seg)
- $F > \mu_s N$
- $f_k = \mu_k N$ (konstant)
- Kasse akselererer

Brå reduksjon: Når kassa startar, "hoppar" friksjonen ned frå $\mu_s N$ til $\mu_k N$.

Kvifor er $\mu_k < \mu_s$?

Mikroskopisk forklaring:

Statisk:
- Overflateruheit "låsest" saman
- Atom har tid til å danne bindingar
- Krev meir kraft å "bryte" bindingane

Kinetisk:
- Overflater glir over kvarandre
- Mindre tid til å danne bindingar
- "Hoppar" over ujamnheiter
- Mindre motstand

Praktisk konsekvens:

Det er lettare å halde noko i rørsle enn å starte rørsla.

Døme: Skuve bil
- Hardast å få han i gang ($f_s$ stor)
- Lettare å halde han rullande ($f_k$ mindre)

Rørsle på skråplan med friksjon

Skråplan med friksjon er eit klassisk problem i dynamikk.

Grunnleggjande analyse

Gitt:
- Masse: $m$
- Vinkel: $\theta$
- Friksjonskoeffisientar: $\mu_s$ og $\mu_k$

Krefter:
1. Tyngdekraft: $G = mg$ (vertikal nedover)
2. Normalkraft: $N$ (vinkelrett på skråplan)
3. Friksjon: $f$ (langs skråplan)

Splitt tyngdekraft:
- Parallell: $G_{\parallel} = mg \sin \theta$ (ned langs skråplan)
- Vinkelrett: $G_{\perp} = mg \cos \theta$ (inn i skråplan)

Likevekt vinkelrett på skråplan:
$$N = G_{\perp} = mg \cos \theta$$

Langs skråplan: Avheng av om objektet bevegar seg eller ikkje.

Tre moglege situasjonar

Situasjon 1: Objekt står stille

Vilkår: Statisk friksjon kan halde objektet.

Langs skråplan (positiv: ned):
$$G_{\parallel} - f_s = 0$$
$$f_s = G_{\parallel} = mg \sin \theta$$

For at dette skal fungere:
$$f_s \leq f_{s,\text{maks}}$$
$$mg \sin \theta \leq \mu_s mg \cos \theta$$
$$\tan \theta \leq \mu_s$$

Konklusjon: Objektet står stille viss $\theta \leq \arctan(\mu_s)$

Grensevinkel:
$$\theta_{\text{maks}} = \arctan(\mu_s)$$

Viss $\theta > \theta_{\text{maks}}$, glir objektet ned.

Situasjon 2: Objekt glir ned med konstant fart

Vilkår: Kinetisk friksjon = gravitasjonskomponent.

Langs skråplan:
$$G_{\parallel} - f_k = 0$$
$$mg \sin \theta - \mu_k mg \cos \theta = 0$$
$$\tan \theta = \mu_k$$

Konklusjon: Objektet glir med konstant fart viss $\theta = \arctan(\mu_k)$

Situasjon 3: Objekt glir ned med akselerasjon

Vilkår: Gravitasjonskomponent > kinetisk friksjon.

Langs skråplan (positiv: ned):
$$G_{\parallel} - f_k = ma$$
$$mg \sin \theta - \mu_k mg \cos \theta = ma$$
$$a = g(\sin \theta - \mu_k \cos \theta)$$

Konklusjon: Objektet akselererer nedover viss $\theta > \arctan(\mu_k)$

Oppsummering: Skråplan med friksjon

Grensevinklar:
- $\theta_1 = \arctan(\mu_k)$: Konstant fart nedover
- $\theta_2 = \arctan(\mu_s)$: Akkurat startar å gli (frå ro)

Sidan $\mu_k < \mu_s$: $\theta_1 < \theta_2$

Viss $\theta < \theta_1$:
- Står stille (viss starta i ro)
- Bremsar til stopp (viss starta med rørsle)

Viss $\theta_1 < \theta < \theta_2$:
- Står stille (viss starta i ro, $f_s$ held)
- Glir med konstant fart eller akselererer ned (viss starta med rørsle)

Viss $\theta > \theta_2$:
- Glir nedover med akselerasjon (alltid)

Luftmotstand

Definisjon: Luftmotstand er friksjonskraft frå lufta på eit objekt i rørsle.

Symbol: $F_L$ eller $D$ (drag)

Modellar for luftmotstand

Låg fart (laminær straumning):
$$F_L = bv$$

der:
- $b$ = dempingskonstant [kg/s]
- $v$ = fart [m/s]

Høg fart (turbulent straumning):
$$F_L = kv^2$$

der:
- $k$ = luftmotstandskonstant [kg/m]
- $v$ = fart [m/s]

Meir nøyaktig modell:
$$F_L = \frac{1}{2}C_D \rho A v^2$$

der:
- $C_D$ = luftmotstandskoeffisient (dimensjonslaus)
- $\rho$ = lufttettleik [kg/m³]
- $A$ = tverrsnittareal [m²]
- $v$ = fart [m/s]

Typiske verdiar:

3. Form ($C_D$):

- Straumlinjeformer → lågare $C_D$
- Difor er bilar straumlinjeforma
4. Lufttettleik ($\rho$):

- Høgd: Lufta er tynnare høgare opp
- Temperatur: Kaldare luft er tettare

Retning

Alltid: Motsett av rørsleretninga
Fall nedover: Luftmotstand oppover

Energi

Luftmotstand omdannar kinetisk energi til varme:
- Molekyl i lufta får høgare fart
- Objektet varmast opp

- Energi "forsvinn" frå systemet

Terminalfart

Definisjon: Terminalfart er den konstante farten eit objekt får når luftmotstand = tyngdekraft.

Analyse av fall med luftmotstand

Situasjon: Objekt fell vertikalt i lufta.

Krefter:
1. Tyngdekraft: $G = mg$ (nedover)
2. Luftmotstand: $F_L = kv^2$ (oppover, for høge fartar)

Newtons 2. lov (positiv: nedover):
$$mg - kv^2 = ma$$
$$a = g - \frac{k}{m}v^2$$

Tre fasar:

Fase 1: Start (v ≈ 0)

- Luftmotstand: $F_L \approx 0$ (liten fart)
- Akselerasjon: $a \approx g = 9.8$ m/s²
- Fritt fall

Fase 2: Aukar fart

- Luftmotstand aukar: $F_L = kv^2$
- Akselerasjon blir redusert: $\displaystyle a = g - \frac{k}{m}v^2$
- Akselererer framleis, men mindre

Fase 3: Terminalfart (v = $v_t$)

Vilkår: Akselerasjon = 0

$$mg - kv_t^2 = 0$$
$$kv_t^2 = mg$$
$$v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}}$$

Eigenskapar ved terminalfart:

1. Konstant fart
- $a = 0$
- Fell med $v_t$ resten av fallet

2. Avheng av masse
- Større masse → høgare $v_t$
- Difor fell stein raskare enn fjør (i luft)

3. Avheng av areal
- Større areal → større $k$ → lågare $v_t$
- Difor verkar fallskjerm

4. Avheng av form
- Straumlinjeforma → mindre $k$ → høgare $v_t$

Meir nøyaktig formel

Frå $\displaystyle F_L = \frac{1}{2}C_D \rho A v^2$:

$$v_t = \sqrt{\frac{2mg}{C_D \rho A}}$$

Typiske terminalfartar:

Tid til terminalfart

Løysinga er kompleks (krev integrasjon).

Praktiske konsekvensar

1. Fall frå stor høgd:
- Utan luftmotstand: $v$ aukar ubegrensa
- Med luftmotstand: $v$ → $v_t$ (tryggare!)

2. Fallskjerm:
- Aukar $A$ dramatisk

- Reduserer $v_t$ frå 60 m/s til 5 m/s

- Overlevast!

3. Romfartøy ved gjeninntreden:
- Svært høg fart (7000 m/s)
- $F_L$ er enorm ($\propto v^2$)

- Massiv varme
- Krev varmeskjold

Numerisk modellering

Mange dynamikkproblem kan ikkje løysast analytisk (med formlar). Døme:
- Luftmotstand avhengig av fart
- Varierande krefter
- Komplekse system

Løysing: Numeriske metodar (datamaskinar)

Eulers metode

Prinsipp: Tilnærm kontinuerleg rørsle med små diskrete steg.

Gitt:
- Startposisjon: $x_0$
- Startfart: $v_0$
- Tidssteg: $\Delta t$ (liten)

Algoritme:

For kvart tidssteg $i$:

1. Rekn ut akselerasjon:
$$a_i = \frac{F(x_i, v_i, t_i)}{m}$$

der $F$ kan avhenge av posisjon, fart og tid.

2. Oppdater fart:
$$v_{i+1} = v_i + a_i \Delta t$$

3. Oppdater posisjon:
$$x_{i+1} = x_i + v_i \Delta t$$

4. Oppdater tid:
$$t_{i+1} = t_i + \Delta t$$

5. Gjenta

Nøyaktigheit:
- Mindre $\Delta t$ → meir nøyaktig
- Men også meir berekningstid
- Typisk: $\Delta t = 0.001$ s - 0.01 s

Døme: Fall med luftmotstand

Problem: Ein ball blir sleppt frå $h = 100$ m. Bruk numerisk metode til å finne når han treffer bakken.

Gitt:
- Masse: $m = 0.5$ kg
- Luftmotstandskonstant: $k = 0.01$ kg/m
- Starthøgd: $y_0 = 100$ m
- Startfart: $v_0 = 0$ m/s

Python-pseudokode:

# Initialverdier
y = 100.0  # posisjon [m]
v = 0.0    # hastighet [m/s]
t = 0.0    # tid [s]
dt = 0.01  # tidssteg [s]

m = 0.5    # masse [kg]
k = 0.01   # luftmotstand [kg/m]
g = 9.8    # gravitasjon [m/s²]

# Løkke
while y > 0:
    # Beregn krefter
    F_G = m * g              # tyngdekraft (nedover)
    F_L = k * v**2           # luftmotstand (oppover)

    # Newtons 2. lov (positiv: nedover)
    a = g - (k/m) * v**2

    # Oppdater hastighet og posisjon
    v = v + a * dt
    y = y - v * dt          # minus fordi nedover
    t = t + dt

print(f"Tid til bakken: {t:.2f} s")
print(f"Sluttfart: {v:.2f} m/s")

Resultat:
- Utan luftmotstand: $\displaystyle t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = 4.52$ s, $v = 44.3$ m/s
- Med luftmotstand: $t \approx 4.8$ s, $v \approx 40$ m/s (terminalfart enno ikkje nådd)

Fordelar med numeriske metodar

1. Kan handtere komplekse krefter
- Luftmotstand $\propto v^2$
- Varierande gravitasjon
- Tidsavhengige krefter

2. Visuell forståing
- Kan plotte grafar
- Sjå korleis systemet utviklar seg

3. Lett å modifisere
- Endre parametrar
- Prøve ulike scenario

4. Realistiske modellar
- Nærmare røynda enn analytiske løysingar

Avgrensingar

1. Ikkje eksakt
- Tilnærmingar
- Avrundingsfeil

2. Krev datamaskin
- Kan ikkje gjerast for hand

3. Gir tal, ikkje formlar
- Må køyre på nytt for nye verdiar

4. Tidkrevjande for små $\Delta t$
- Trade-off mellom nøyaktigheit og tid