3.3 Bevegelse med friksjon og luftmotstand

Når kreftene avgjør hva som beveger seg

Vi kjenner nå kreftene -- tyngde, normalkraft, friksjon, luftmotstand. Men hva skjer egentlig når de spiller sammen? Begynner en kasse på et skråplan å gli, eller blir den stående? Hvor fort kan en fallskjermhopper egentlig falle? Det er disse spørsmålene vi nå skal svare på.

Friksjon og luftmotstand har en felles egenskap som gjør dem spennende: de er ikke konstante. Statisk friksjon tilpasser seg, og luftmotstand vokser med farten. Det betyr at bevegelsen kan endre karakter underveis -- noe kan stå stille, så plutselig løsne, eller akselerere og så flate ut til konstant fart.

La oss begynne med å se nærmere på friksjonens to ansikter, så analysere skråplanet i detalj, og til slutt møte luftmotstandens viktigste konsekvens: terminalfarten.

Friksjonens to ansikter -- og det plutselige hoppet

La oss se enda nærmere på forskjellen mellom statisk og kinetisk friksjon, for den rommer en liten dramaturgi. Tenk deg at du gradvis øker kraften $F$ du dytter en kasse med.

I fase 1 står kassen stille, og den statiske friksjonen matcher deg presist: $f_s = F$, og kraften vokser pent og lineært mens kassen ikke rikker seg, helt opp til taket $f_{s,\text{maks}} = \mu_s N$. I fase 2, det kritiske punktet, er $F = \mu_s N$, og kassen er akkurat på nippet til å løsne. I fase 3 glir kassen, og nå tar den konstante kinetiske friksjonen $f_k = \mu_k N$ over.

Det dramatiske er overgangen: i samme øyeblikk som kassen løsner, hopper friksjonen brått ned fra den høye $\mu_s N$ til den lavere $\mu_k N$. Plutselig er det mye lettere å dytte, og kassen rykker fremover. Du har sikkert kjent dette når du flytter møbler -- det «slipper» med ett.

Hvorfor er $\mu_k < \mu_s$? Mikroskopisk handler det om at to flater i ro har tid til å «låse seg» sammen -- atomene danner bindinger der overflateruhetene kiler seg i hverandre, og det krever ekstra kraft å bryte dem. Når flatene først glir, hopper de over ujevnhetene uten å rekke å danne like sterke bindinger, og motstanden blir mindre. Derfor: vanskeligst å starte, lettere å fortsette.

Skråplanet -- tre skjebner avgjort av vinkelen

Et objekt på et skråplan med vinkel $\theta$ er kanskje det mest klassiske dynamikkproblemet som finnes. Tyngden splittes som vi lærte: $G_\parallel = mg\sin\theta$ trekker nedover langs planet, mens $G_\perp = mg\cos\theta$ presser inn i det, slik at $N = mg\cos\theta$. Spørsmålet er om friksjonen klarer å holde igjen mot $G_\parallel$. Svaret avgjøres av vinkelen, og gir tre mulige skjebner.

Står objektet stille? Da må statisk friksjon balansere tyngdekomponenten: $f_s = mg\sin\theta$. Dette krever at $f_s \leq \mu_s N$, som forenkles vakkert til $\tan\theta \leq \mu_s$. Altså: objektet blir stående så lenge $\theta \leq \arctan(\mu_s)$. Akkurat ved grensevinkelen $\theta_{\text{maks}} = \arctan(\mu_s)$ begynner det å gli.

Glir det med konstant fart? Det skjer hvis den kinetiske friksjonen nøyaktig balanserer tyngdekomponenten: $mg\sin\theta = \mu_k mg\cos\theta$, altså $\tan\theta = \mu_k$.

Akselererer det nedover? Det skjer når tyngden vinner over friksjonen, $\theta > \arctan(\mu_k)$, og da blir akselerasjonen $a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$.

Legg merke til at det finnes to grensevinkler, og siden $\mu_k < \mu_s$ er $\arctan(\mu_k) < \arctan(\mu_s)$. La oss regne på en kasse på 30 kg med $\theta = 20°$, $\mu_s = 0{,}45$, $\mu_k = 0{,}35$. Grensevinkelen for å løsne er $\arctan(0{,}45) = 24{,}2°$. Siden $20° < 24{,}2°$, blir kassen stående hvis du legger den forsiktig ned. Men gir du den fart? Grensevinkelen for konstant fart er $\arctan(0{,}35) = 19{,}3°$, og siden $20° > 19{,}3°$, vil den da akselerere -- om enn så vidt: $a = 9{,}8(\sin 20° - 0{,}35\cos 20°) = 9{,}8(0{,}342 - 0{,}329) \approx 0{,}13$ m/s². En kasse som blir liggende i ro, men sklir hvis den får en dytt -- alt avhenger av om vinkelen er over eller under grensene.

Luftmotstand og terminalfart -- hvorfor fallskjermen redder liv

Når noe beveger seg gjennom luft, bremses det av luftmotstand (drag). I motsetning til vanlig friksjon vokser den med farten -- ved høye farter omtrent med kvadratet av farten: $F_L = kv^2$, eller mer presist $\displaystyle F_L = \frac{1}{2}C_D \rho A v^2$, der $C_D$ er en formavhengig koeffisient, $\rho$ er lufttettheten og $A$ tverrsnittarealet. Dobler du farten, firedobles luftmotstanden. Den peker alltid motsatt bevegelsesretningen, og den omdanner bevegelsesenergi til varme.

Denne fartsavhengigheten gir et vakkert fenomen. Tenk deg et objekt som faller. Helt i starten er farten liten, luftmotstanden nesten null, og akselerasjonen er full $g$ -- rent fritt fall. Men etter hvert som farten øker, vokser luftmotstanden, og nettokraften -- og dermed akselerasjonen -- synker: $\displaystyle a = g - \frac{k}{m}v^2$. Til slutt blir luftmotstanden like stor som tyngden, nettokraften blir null, og objektet faller videre med konstant fart. Denne farten kalles terminalfarten.

Vi finner den ved å sette akselerasjonen lik null: $mg = kv_t^2$, altså $\displaystyle v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}}$, eller med den nøyaktige modellen $\displaystyle v_t = \sqrt{\frac{2mg}{C_D\rho A}}$. Tunge objekter får høyere terminalfart (derfor faller en stein fortere enn en fjær i luft), mens stort areal gir lavere -- og det er nettopp her fallskjermen virker.

Ta en fallskjermhopper på 80 kg. I buklandingsstilling med $k = 0{,}22$ kg/m blir terminalfarten $\displaystyle v_t = \sqrt{\frac{80 \cdot 9{,}8}{0{,}22}} = \sqrt{3564} \approx 60$ m/s -- altså 216 km/t, dødelig ved bakken. Ved halve terminalfarten, $v = 30$ m/s, er akselerasjonen fortsatt $\displaystyle a = 9{,}8 - \frac{0{,}22}{80}\cdot 30^2 \approx 7{,}3$ m/s², tre fjerdedeler av $g$. Men idet skjermen åpnes, hopper $k$ til rundt 100 kg/m, og terminalfarten stuper til $\displaystyle v_t = \sqrt{\frac{80 \cdot 9{,}8}{100}} = \sqrt{7{,}84} \approx 2{,}8$ m/s -- bare 10 km/t. En reduksjon på over tjue ganger. Det er forskjellen på liv og død.

Når formlene gir opp -- numerisk modellering

Luftmotstanden skaper et lite problem: fordi kraften avhenger av farten, og farten i sin tur avhenger av kraften, blir bevegelsesligningen for et fall med luftmotstand vanskelig å løse med vanlig algebra. Differensialligningen $\displaystyle \frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v^2$ har riktignok en eksakt løsning, men den krever avansert integrasjon. For mer realistiske, sammensatte krefter finnes det ofte ingen formel-løsning i det hele tatt.

Da griper vi til numerisk modellering -- akkurat den teknikken vi møtte i kapittel 1.3. Ideen er den samme: tilnærm den kontinuerlige bevegelsen med mange små diskrete steg. For hvert lille tidssteg $\Delta t$ beregner vi akselerasjonen fra kreftene akkurat nå, $\displaystyle a_i = \frac{F(x_i, v_i, t_i)}{m}$, oppdaterer farten $v_{i+1} = v_i + a_i \Delta t$, oppdaterer posisjonen $x_{i+1} = x_i + v_i \Delta t$, og rykker tiden frem. Så gjentar vi.

Det fine er at datamaskinen ikke bryr seg om at kraften endrer seg fra steg til steg -- den regner bare på nytt hver gang. Slipper du en ball med luftmotstand fra 100 m, gir simuleringen at den bruker litt lengre tid og treffer med litt lavere fart enn rent fritt fall, akkurat som vi ville vente. Mindre tidssteg gir mer nøyaktige svar, men koster regnetid -- typisk holder $\Delta t$ rundt 0,001 til 0,01 s.

Styrken er at metoden takler enhver kraft du kan tenke deg: luftmotstand som vokser med $v^2$, gravitasjon som varierer med høyden, tidsavhengige krefter. Svakheten er at den gir tall, ikke formler, og bare er en tilnærming. Men for den virkelige verden, med alle dens uryddige krefter, er numerisk modellering ofte den eneste veien frem.

Oppsummering

Når krefter spiller sammen, avgjør de hva som faktisk beveger seg. Friksjonens to ansikter ble tydeligere: statisk friksjon tilpasser seg opp til taket $\mu_s N$, men idet et objekt løsner, hopper friksjonen brått ned til den lavere kinetiske verdien $\mu_k N$ -- derfor «slipper» tunge ting plutselig.

På skråplanet avgjør vinkelen tre skjebner: objektet står stille hvis $\tan\theta \leq \mu_s$, glir med konstant fart hvis $\tan\theta = \mu_k$, og akselererer med $a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$ hvis vinkelen er enda større. Siden $\mu_k < \mu_s$, finnes en sone der noe blir liggende i ro, men sklir hvis det får en dytt.

Luftmotstand vokser med kvadratet av farten og fører til terminalfart $\displaystyle v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}}$, der luftmotstand balanserer tyngde og farten blir konstant. Fallskjermen redder liv nettopp ved å øke arealet og dermed senke terminalfarten fra rundt 60 m/s til under 3 m/s. Og fordi slike fartsavhengige krefter sjelden har pene løsninger, brukte vi numerisk modellering -- mange små steg med Eulers metode -- til å regne oss gjennom det datamaskinen, og ikke algebraen, må håndtere.